Chiziqli akslantirishlar va chiziqli operatorlar. Chiziqli akslantirishlar ustida amallar

5.2.1. Ta’rif. Aytaylik, A va V F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazolar, va lar A hamda V larning bazislari bo’lsin. akslantirish chiziqli akslantirish bo’lsin va faraz qilaylik ga teng bo’lsin.



matrissa va bazislarga o’zaro bog’liq bo’lgan f chiziqli akslantirishning matritsasi deb ataladi.

5.2.2. Teorema. Aytaylik, A va V F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazolar, va lar A hamda V larning bazislari bo’lsin. va lar va ning larga mos matritsalari bo’lsin. U holda

(1) ning dagi matritsasi bo’ladi.

(2) Agar , u holda akslantirishning bazisdagi matritsasi bo’ladi.

Isbot.

1. 
   Barcha lar va uchun quyidagi tenglik mavjud:
   

Bundan kelib chiqadiki chiziqli akslantirishning bazislardagi matritsasi.

2. 
   Barcha lar va uchun quyidagi tenglik mavjud:
   

.

Bundan kelib chiqadiki chiziqli akslantirishning bazislardagi matritsasi.

5.2.3. Natija. Aytaylik, A va V F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazolar va ga teng bo’lsin. vektor fazo ga izomorfikdir.

Isbot. va bazislar va ga tegishli bo’lsin. akslantirishni topamiz. Har bir uchun , ning bazislardagi matritsasi. 5.2.2. teorema yuqoridagi akslantirishni chiziqli ekanini ko’rsatadi.

Aytaylik va da aniqlangan elementlar bo’lsin. 5.1.12 teoremaga ko’ra, akslantirish yagona chiziqli akslantirish shuning uchun ga teng bo’ladi. ning bazislardagi matritsasi. Yuqoridagilardan akslantirish suryektiv bo’ladi.

Nihoyat, chiziqli akslantirishlar va mos xolda lar va ning bazislarga mos matritsalari bo’lsin. Farazimizdan uchun bo’ladi. U holda

.

ning ixtiyoriy elementi bo’lsin. 4.2.16 teoremaga ko’ra, , bo’ladi. U holda

,

bu esa ni keltirib chiqaradi. Shundan, akslantirish inyektiv va shuning uchun akslantirish izomorfizmdir.

5.2.4. Natija. Aytaylik, A va V F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazolar bo’lsin. vektor fazo chekli o’lchamli va

.

Isbot. va bo’lsin. 5.2.3 natijadan izomorfizm ga va 5.1.9 natijadan ga egamiz. ga teng demak

.

va lar mos xolda va dagi bazislar bo’lsin. ning bazislarga mos matritsasi bo’lsin. ning ixtiyoriy elementi bo’lsin. 4.2.16 teoremadan, uchun va tengliklar mavjud. Va

.

4.2.16 teoremadan tenglik mavjud va quyidagi matritsa tenglamasiga kelamiz

.