Chiziqli algebra elementlari. Determinantlarni hisoblash qoidalari

Chiziqli algebra elementlari.
Determinantlarni hisoblash qoidalari.
Ikkinchi tartibli determinantlar quyidagicha yoziladi:

Ikkinchi tartibli determinantni hisoblash uchun diagonal elimentlarini ko‘paytirib, natijalarni ayirish kerak:

Uchinchi tartibli determinantlar quyidagicha yoziladi:

Bu yerdagi a_ij(i=1,2,3, j=1,2,3) sonlardan iborat bo‘lib, determinantning elementlari deyiladi. Uchinchi tartibli determinantda 3 ta satr va 3 ta ustun bo‘lib, jami 9 ta elementdan iborat bo‘ladi.
Uchinchi tartibli determinantlarni hisoblashda uchburchak, Sarrius, yoyib yozish usullari mavjud.

1. 
   Uchburchak qoidasi. Uchinchi tartibli determinantlar uchburchak qoidasi bo‘yicha quyidagi hisoblanadi.
   

2. 
   Sarrius usuli
   

bu yerda tutashtirilgan elementlar o’zaro ko’paytirilib, asosiy diagonalga parallel tutashtirilganlari alohida qo’shilib «+» ishora bilan, yon diagonalga parallel tutashtirilganlari alohida qo’shilib «-» ishora bilan olinib, natijalar qo’shiladi.

3. 
   Yoyib yozish usuli. Determinantni birinchi satr elementlari bo‘yicha yoysak, quyidagicha bo‘ladi.
   

n ta satr va n ta ustundan tashkil topgan quyidagi determinantgan - tartibli determinant deyiladi va quyidagicha yoziladi.

Determinantlarning asosiy xossalari.
1. Determinantda satrlarini mos ustunlari bilan almashtirib yozilsa, determinantning qiymati o‘zgarmaydi.
2. Determinantni istalgan ikki satrini (ustunini) o‘zaro almashtirilsa, determinant qiymatining faqat ishorasi o‘zgaradi.
3. Determinantda biror ustun (satr) elementlari boshqa ustun (satr)ning mos elementlariga proporsional bo‘lsa, bunday determinantni qiymati nolga teng bo‘ladi.
4. Determinantda biror ustun (yoki satr)ning hamma elementlari m umumiy ko‘paytuvchilarga ega bo‘lsa, m-ni ko‘paytuvchi qilib, determinantning belgisidan tashqariga chiqarish mumkin.
5. Determinantning biror ustuni (satri)ning hamma elementlarinim (m0) soniga ko‘paytirib, boshqa ustun (satri)ga qo‘shilsa, determinantning qiymati o‘zgarmaydi.
Minorlar va algebraik to‘ldiruvchilar. n-tartibli determinantning ixtiyoriy r-ta satr va r-ta ustunlaridan (1 ≤ r ≤ n) tuzilgan M determinantga r-tartibli minor deyiladi. a_ke–elementga mos algebraik to‘ldiruvchi quyidagicha aniqlanadi
A_kl=(-1)^k+l M_kl .
Chiziqli tenglamalar sistemasini Кramer usuli bilan yechish
Uchta noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin

Asosiy va yordamchi determinantlarni tuzamiz:

Agar  0 bo‘lsa, sistema yagona
x = , y = , z =
yechimlarga ega bo‘ladi.
Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish
Chiziqli tenglamalar sistemasini bo‘lganda Кramyer usuli bilan yechish qiyinlashadi. Bunday holda, chiziqli tenglamalar sistemasini Gaussning ketma – ket noma’lumni yo‘qotish usuli bilan yengilroq yechish mumkin.
Tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish usulini misol yordamida ko‘rib chiqamiz.
Misol.
Birinchi tenglamani mos ravishda 1 ga, -2 ga, -1ga ko‘paytirib ikkinchi uchinchi, to‘rtinchi tenglamalarga qo‘shamiz.

Ikkinchi tenglamani uchunchi teglamaga va ikkinchi tenglama-ni -2 ga to‘rtinchi tenglamani 3 ga ko‘paytirib qo‘shsak

Uchinchi tenglamani (-5) ga ko‘paytirib, to‘rtinchi tenglamani 3 ga ko‘paytirib qo‘shsak

oxirgi tenglamadan ni 3 - tenglamaga qo‘ysak , ikkinchi tenglamadan va birinchi tenglamadan yechimi kelib chiqadi. Demak, chiziqli tenglamalar sistemasining echimi (1; 1; -1; 1).
Mavzuga doir namunaviy misollarni yechish
1-misol. Ushbu determinantni yoyib yozish usuli bilan hisoblang.
=4(4-24)+2(20-12)+4(20-2)=8
2-misol. Chiziqli tenglamalar sistemaning Кramer usuli bilan yeching:

Yechish: Sistemaning asosiy  determinantini hisoblaymiz. Masalan, yoyib yozish usuliga asosan (Laplas teoremasi)

Demak, berilgan tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega. Endi _x, _y, _z determinantlarni hisoblamiz:


Кramer formulasiga asosan sistemaning yechimi x=1, y= -1, z=2 bo‘ladi.
1-20 misollarda chiziqli tenglamalar sistemasini Кramyer usuli bilan yeching.
1. 2. 3.
_{4. 5}. 6.
7. ₈. 9.
10. ₁₁. ₁₂.
13. ₁₄. ₁₅.
_{16. 17}. ₁₈.
19. ₂₀

Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemalarini Gauss usuli bilan yeching

1) 2)
3) 4)