Chiziqli algebraik tenglamalarning tizimlarini oddiy iteratsiyalar usuli bilan yechish. Usulning hisoblash algoritmi, xatoligini baholash

Funkciyalarni kesmada eng kichik kvadratlar usuli bilan yaqinlashtirish. Bunday yaqinlashtirishning koeffitsientlarini bitta ma'noli aniqlashga bo'ladiganini asoslash.
Аmaliy masalalarda uchraydigan masalalarning koʼrinishi koʼpincha murakkab boʼlib, ularning analitik ifodasini topish mumkin emas. Bunday hollarda berilgan murakkab funktsiyani oʼrganish qulayroq boʼlgan soddaroq funktsiya bilan yoki differentsial tenglamalarning xususiy sonli yechimlarga mos keladigan birorta funktsiya bilan almashtirish maqsadga muvofiqdir.
Buning uchun erkli oʼzgaruvchi argemuent bilan funktsiyaning sonli mos qiymatlari orasidagi munosabatni funktsional bogʼlanishning taqribiy yoki aniq analitik ifodasini interpolyatsiya formulalari yoki eng kichik kvadratlar usuli orqali tuzish mumkin.
Koʼpincha turmushda kuzatishlar va tajribalar orqali empirik formulalarni keltirib chiqarish mumkin.
Masalan: haroratning koʼtarilishi yoki aksincha pasayishini, simob ustunining koʼtarilishi yoki pasayishiga qarab bilish mumkin. Demak, harorat bilan simob ustini oʼrtasidagi chiziqli bogʼlanish borligini tajriba orqali bilish mumkin.
Eng kichik kvadratlar usuli birinchi marta 1874 yilda Gauss tomonidan ishlab chiqilgan boʼlib, ayrim adabiyotlarda bu usul Gauss usuli deb ataladi.
Faraz qilaylik, - haqiqiy Gilbert fazosi bo' 'sin. da zich to'plamda aniqlangan, qiymatlari ga tegishli chiziqli operatorni deb belgilaylik va

tenglamani ko'raylik. Bu yerda va yechim . (1) tenglama yechimga ega bo' Isin deylik.
(1) tenglamaga quyidagi

funksionalni mos qo'yamiz va (1) ni yechish masalasini shu funksionalni da minimumga erishtiruvchi elementni aniqlash masalasiga almashtiramiz, ya'ni

Bu tenglamadan ayonki, tenglamaning yechimi bo 'ladi. tenglamani yechish o'rniga (2) funksionalning minimumini topishga asoslanib, tenglamani yechish metodi kichik kvadratlar metodi deyiladi.
funksionalni quyidagicha minimumga erishtiramiz. ga tegishli chiziqli erkli funksiyalar sistemasini tanlaymiz va (1) tenglamaning yechimiga -yaqinlashishni

ko'rinishda izlaymiz. Noma'lum koeffitsiyentlar

funksional minimumga erishsin deb topiladi.
Biz quyidagi

chiziqli chegaraviy masalani kichik kvadratlar metodi bilan yechish sxemasini keltiramiz.
Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyalar sistemasini qaraymiz:

1. 
   .
   
2. 
   .
   
3. 
   Ixtiyoriy chekli uchun funksiyalar sistemasi chiziqli erkli.
   
4. 
   da to'liq bo'lsin.
   (4), (5) chegaraviy masalaning taqribiy yechimini (3) ko'rinishda izlaymiz. (3) funksiya (5) chegaraviy shartlarni ixtiyoriy va lar uchun qanoatlantiradi. larni shunday tanlaylikki,
   

minimal qiymatga ega bo'lsin.
Ma'lumki,

Bundan lar bo'yicha birinchi tartibli xususiy hosilaiar olib nolga tenglaymiz va hosil bo'lgan chiziqli algebraik tenglamalarni hosil qilamiz:

Buni quyidagicha yozamiz:

bu yerda

(6) tenglamalar sistemasining matritsasi funksiyalar sistemasi uchun tuzilgan Gram matritsasidir.
(6) tenglamalar sistemasining yechimga ega bo'lishi faqat funksiyalar sistemasining xususiyatlariga bog'liq bo'lmay, qaralayotgan chegaraviy masalaga ham bog'liq bo'ladi, xususan,

bir jinsli chegaraviy masala faqat trivial yechimga ega bo'lishi kerak.
Quyidagi teorema o'rinli.
Teorema. Agar (7) chegaraviy masala faqat nol yechimga ega bo'lsa, u holda (6) chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining matritsasi maxsusmas bo'lib, (6) yagona yechimga ega.