Chiziqli algebraik tenglamalarning tizimlarini oddiy iteratsiyalar usuli bilan yechish. Usulning hisoblash algoritmi, xatoligini baholash

To’plamlar nazariyasining asosiy qonunlari
To’pIamlar nazariyasining paydo bo’lishi. Matematikada, shu jumladan, diskret matematika, kombinatorika va graflar nazariyasida ham, turli to‘p!amlar bilan ish ko‘rishga to‘g‘ri keladi. Masalan, kutubxonadagi barcha kitoblar to‘plami, to‘g‘ri burchakli uchburchaklar to‘plami, suvda hayot kechiruvchi tirik organizmlar to‘plami, natural sonlar to‘plami, koinotdagi yulduzlar to'plami, to‘g‘ri chiziqda yotuvchi nuqtalar to‘plami va hokazo. To‘plamlar nazariyasiga fan sifatida X IX asming oxirida matematikani standartlashtirish bo‘yicha o‘z dasturini taklif etgan Kantor1 tomonidan asos solingan deb hisoblansada, to‘plamlai- bilan Kantordan oldinroq Bolsano2 shug‘ullangan. Kantor fikricha, istalgan matematik obyekt (shu jumladan, to‘plamning o‘zi ham) qandaydir to‘plamga tegishli boiishi shart. Berilgan xossaga ega boigan barcha obyektlar majmuasi uchun umumiy nomni Kantor to‘plam deb tushungan edi. Umuman olganda, to‘plam tushunchasiga qat’iy ta’rif berilmaydi, chunki uni boshqa soddaroq tushuncha orqali ifodalab boimaydi. Masalan, to‘plamni matematik ibora sifatida tushuntirishda Kantor ham to'plam so‘ziga sinonim boigan “majmua” so'zidan foydalangan. Umuman olganda, to'plam so'zining lug'aviy ma’nosiga ko'ra, uni tashkil etuvchilami bir joyga to'plash (yig'ish, jamlash) tushunilsada, matematikada to'plam deganda bunday yig'ish talab etilmaydi, balki bu tashkil etuvchilarni birgalikda to'plam sifatida qarash uchun ularning barchasiga tegishli qandaydir umumiy xossaning (belgining) mavjudligi yetarlidir. 1- ta ’rif. To'plamni tashkil etuvchilar shu to ‘plamning elementlari deb ataladi. To'plamlar nazariyasida to'plamning elementlari bir-biridan farqli deb hisoblanadi, ya’ni muayyan bir to‘plamning elementlari takrorlanmaydi. To'plamni tashkil etuvchi elementlar soni chekli yoki cheksiz boiishi mumkin. Birinchi holda chekli to‘plamga, ikkinchi holda esa, cheksiz to‘plamga ega bo'lamiz. To'plamlarni belgilashda, odatda, lotin yoki grek alifbosining bosh harflari, uning elementlari uchun esa alifboning kichik harflari qoilaniladi. To'plamni tashkil etuvchi elementlar figurali qavslar orasiga olinib ifodalanishi mumkin. Masalan, A to'plamning a ,b ,c,d ,...,z elementlardan tuzilganligini A = {a,b,c,d,...,z} ko'rinishda yozish mumkin. Ko'pincha (masalan, cheksiz to'plam yoki to'plamning elementlari juda ko'p bo'lgan holda) to'plamni belgilashda figurali qavslar orasida, avvalo, to'plamni tashkil etuvchi elementning umumiy belgisi yozilib, undan so'ng “I” yoki (ba’zan “/”) belgisi qo'yiladi, keyin esa, ifodalanayotgan to'plamning barcha elementlariga xos shartlar yoziladi. Bunda, yozuvni murakkablashtirmaslik maqsadida, ba’zi qisqartirishlarga yoki tushuntiruvchi so'zlaming qavslardan tashqarida yozilishiga yo'l qo'yiladi. Masalan, toq natural sonlar to'plamini В deb belgilasak, uni В = {m | m = 2n — 1} , bunda n - natural son, yoki В — {m | m = 2n — 1, n E N} ko'rinishda1 yozish mumkin.
To‘pIamlarning aksiomatik nazariyasi haqida tushunchalar. XX asming boshiga kelib, Kantorning matematikani standartlashtirish bo'yicha dasturining asosi boigan va “to'plamlarning sodda nazariyasi” deb ham ataluvchi to‘plamlar nazariyasi mukammal emasligi ma’lum bo'ldi. To‘plamlarning sodda nazariyasini o‘rganish jarayonida Rassel1 paradoksga2 kelib qoldi. Kantorning to‘plamlar nazariyasi ichki ziddiyatga ega ekanligi Rassel paradoksi sifatida ifodalangan. Rassel paradoksi. Faraz qilaylik, К - o‘zini element sifatida o‘zida saqlamagan barcha to‘plamlar to‘plami bo‘lsin. U holda, К - o‘zini element sifatida saqlaydimi? Agar bu savolga “ha” deb javob berilsa, К to‘plamning aniqlanishiga ko‘ra, u ATning elementi bo‘lmasligi kerak - ziddiyat. Agar “yo‘q” deb javob berilsa, yana К to‘plamning aniqlanishiga ko‘ra, u to‘plam sifatida К ning elementi bo‘lishi kerak - yana ziddiyat. Hozirgi zamon to‘plamlar nazariyasi aksiomalar3 tizimiga asoslangandir. Qandaydir aksiomalarga asoslangan nazariya aksiomatik nazariya deb yuritiladi4. To‘plamlarning aksiomatik nazariyasida bunday aksiomalar tizimi sifatida standart tizim hisoblangan Sermelo5-Frenkel6 aksiomalari tizimini keltirish mumkin. To‘plamlar nazariyasida, ko‘pincha, bu tizimga tanlash aksiomasi deb ataluvchi aksiomani ham qo‘shib olib, tanlash aksiomasi qatnashgan Sermelo-Frenkel aksiomalari tizimi bilan ish koiiladi. Bu aksiomalar tizimidan tashqari boshqa aksiomalar tizimlaridan ham foydalaniladi. Masalan, fon Neyman7-Bemeys8-Gyodel9 tizimi. Quyida tanlash aksiomasi qatnashgan Sermelo-Frenkel aksiomalari tizimiga kiruvchi ba’zi aksiomalarni keltiramiz. Hajmiylik aksiomasi. Ikkita A va В to‘plamlar faqat va faqat aynan bir xil elementlardan iborat bo‘lsagina tengdir. Bo‘sh to‘plam aksiomasi. Birorta ham elementga ega boimagan to'plam, ya’ni bo‘sh to‘plam mavjud. Bo‘sh to'plam uchun 0 belgisi qo'llaniladi. Juftlik aksiomasi. Ixtiyoriy A va В to‘plamlar uchun shunday С to'plam mavjudki, bu to'plam elementlari faqat A va В to'plamlardan iboratdir (ya’ni, A va В to'plamlar С ning yagona elementlaridir). С to'plam {A,B} ko'rinishda belgilanadi. Ushbu {A,B} ifoda A va Я ning tartiblanmagan juftligi deb yuritiladi. Agar A va В to'plamlar teng bo'lsa, u holda С bitta elementdan iboratdir. Tanlash aksiomasi. Bo'sh bo'lmagan va o'zaro kesishmaydigan to'plamlar majmuasidagi har bir to'plamdan bittadan “vakil”-element tanlab, shu elementlar to'plami C n i tuzish mumkin. X to'plam shu majmuaning qanday elementi bo'lishidan qat’i nazar X va С to'plamlar faqatgina bitta umumiy elementga ega bo'ladi. Albatta, bu aksiomalar (shu jumladan, tanlash aksiomasi qatnashgan Sennelo-Frenkel aksiomalari tizimining boshqa aksiomalari ham) bizga o'z-o'zidan oydin bo'Igan tasdiqlarga o'xshab tuyuladi, chunki bizning tafakkurimiz to'plamlar majmuasini chekli deb tassavvur qilishga o'rgangan. To'plamlar majmuasi chekli bo'Igan holda, masalan, tanlash aksiomasini tushunish qiyin emas. Tanlash aksiomasi cheksiz to'plamlar uchun qo'llansa, ba’zan, tortishuvlarga sabab bo'luvchi juda qiziq tasdiqlar vujudga keladi. Bu fikmi tasdiqlash maqsadida Banax'-Tarskiy2 paradoksi (shaming ikkilanishi) va Xausdorf3 paradoksi mavjudligini ta’kidlaymiz. Yuqorida keltirilgan aksiomalardan, jumladan, hajmiylik aksiomasidan, to'plamlar bo'yicha ko'plab tasdiqlarni isbotlashda foydalanamiz. Hajmiylik aksiomasini boshqacha ifodalash ham mumkin. A to'plamning har bir elementi В to'plamda ham mavjud va, aksincha, В to'plamning har bir elementi A to'plamda ham mavjud bo'lsa, u holda A va В to'plamlar tengdir. A va В to‘plamlarning tengligini A = В yoki В = A ko'rinishda ifodalaymiz. Aslida, A = В bo'lsa, u holda A va В to'plamlar aynan bitta to'plamning har xil belgilanishidir. Masalan, o'nlik sanoq tizimidagi yozuvning oxirgi raqami 1, 3, 5, 7 yoki 9 raqamlaridan biri bo‘Igan natural sonlar to'plamini A bilan, bimi qo'shganda ikkiga qoldiqsiz boiinadigan natural sonlar to‘plamini esa В bilan belgilasak, u holda A = В bo‘ladi. A = В yozuv to'plamlardagi elementlarning qaysi tartibda joylashishiga bogiiq emas. Albatta, to‘plamdagi elementlarni qaysi tartibda qo‘yish masalasi ham dolzarbdir. A va В to‘plamlar teng bo‘lmasa, u holda bu holat А ф В yoki В Ф A ko'rinishda ifodalanadi. To'plamlar nazariyasida quw at eng muhim tushunchalardan biri boiib, u to‘plamlarni taqqoslashda katta ahamiyatga egadir. To‘plamning quwati tushunchasi, uning chekli yoki cheksiz bo'lishiga qarab ta’riflanadi. Quwat tushunchasi to'g'risida batafsil ma’lumotni to'plamlar nazariyasiga bag‘ishlangan manbalardan topish mumkin. Diskret matematikada, asosan, chekli to‘plamlar bilan ish ko'riladi. Shu sababli, to'plamning quwati tushunchasini faqat chekli to‘ plamlar uchun keltirish bilan chegaralanamiz. 2- t a ’rif. Chekli to'plamning elementlari soni shu to'plamning quwati deb ataladi. Berilgan A to'plamning quw ati |л| ko'rinishda belgilanadi. 1-misol. Ushbu to'plamlar berilgan bo'lsin: A = {a}, В = {a,b}, С = {a,b,c, d,e} ,D = {1,2,3,...,n), E = {m \ m = 2z}, F = {2,3,5, 7,...,p ,...}, bu yerda n - natural son, z - butun son, p - tub son. Berilgan oltita to'plamdan to‘rttasi - A , В , С va D to‘plamlar chekli, E va F to'plamlar esa cheksiz to'plamlardir. Bundan tashqari, |^| = 1, |i?| = 2 , |cj = 5 va [d| = n . ш Berilgan A to'plamga a element tegishliligi a G A yoki А Э a ko'rinishda belgilanadi va “ a tegishli A ” deb o'qiladi. “Tegishli” iborasining o‘rniga, ba’zan, “qarashli” yoki “taalluqli” iborasi ham qo'llaniladi. Qandaydir b ning A to'plamga tegishli emasligi, ya’ni Zoning A to'plam elementi bo'lmasligi be~ A , b
3- t a ’ r i f . Agar В to ‘plamning har bir elementi A to ‘plamda ham mavjud b o ‘Isa, и holda В to ‘plam A to ‘plamning qism to‘plami deb ataladi. В to‘plam A to‘plamning qism to‘plami ekanligi В c A yoki А з В ko‘rinishda belgilanadi. Tabiiyki, bu belgilashlar A va В to‘plamlarning teng bo‘lgan holini ham nazarda tutadi. AczB va В с A bo‘lishidan A = В kelib chiqadi. Bu tenglik to‘plamning o‘zi o‘zining qism to‘plami bo‘la olishi mumkinligini ko‘rsatadi, ya’ni A c A (yoki A 3 A ) ko‘rinishdagi yozuv ham ma’noga egadir. Har qanday to‘plamning o‘zi o‘zining qism to‘plami bo‘la olishi to‘plamlarning refleksivlik xossasi deb yuritiladi. 4- t a ’rif. В to ‘plamning hamma elementlari A to ‘plamda bor bo ‘lib, shu bilan birga A to ‘plamda В ga kirmagan element(lar) ham topilsa, и holda В to ‘plam A to ‘plamning xos qism to‘plami deb ataladi. В to‘plam A to‘plamning xos qism to‘plami bo‘lishi В a A yoki A zd В ko‘rinishda belgilanadi. Ta’kidlash kerakki, A A yoki A zd A deb yozish mumkin emas1. Shuning uchun, bu holatni ifodalash maqsadida, har qanday to‘plam “o‘zi о ‘zining xosmas qismi” degan iboradan foydalaniladi. To‘plamlar nazariyasida bo‘sh to‘plam har qanday bo‘sh bolmagan A to‘plamning qism to‘plami deb qaraladi, ya’ni 0 cz A . Tabiiyki, bo‘sh to‘plamning quvvati nolga teng, ammo bo‘sh to‘plamni yagona element sifatida saqlovchi to‘plamning quvvati birga tengdir, ya’ni |0 | = O, lekin |{0}| = 1- Qandaydir a tasdiqning o‘rinli bo'lishidan boshqa b tasdiqning o‘rinli boiishi kelib chiqsa, bu holat a => b deb belgilanadi. Masalan, (A e В va В c A) => A = В . 5- t a ’ r i f . Agar a va b tasdiqlar uchun a =$ b va b=> a bo ‘Isa, и holda bu tasdiqlar o ‘zaro ekvivalent tasdiqlar deb ataladi. a va b tasdiqlaming o‘zaro ekvivalentligi a <=> b deb belgilanadi.