Chiziqli bir jinsli sistemalar

2. 2. Chiziqli bir jinsli sistemalar.

2.2.1. Teorema. Agar vektor funksiyalarning har biri biror intervalda tenglamaning yechimi bo’lsa, u holda bu funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasi ham yechim bo’ladi.
Isbot. Teoremaning shartiga ko’ra shuning uchun 2-xossadan foydalansak:
.
Teorema isbot bo’ldi.
2.2.2. Teorema. Agar vektor funksiya tenglamaning biror intervalda aniqlangan va boshlang’ich shartni qanoatlantiradigan yechimi bo’lsa,u holda intervalda .
Isbot. tenglamaning trivial yechimi mavjud. Ammo teoremaning shartiga qayd qilingan yechim shu trivial yechim bilan bir xil boshlang’ich qiymatlarga ega. Shuning uchun chiziqli sistemalar uchun mavjudlik va yagonalik teoremasiga ko’ra yechim trivial yechim bilan ustma-ust tushadi, ya’ni . Teorema isbot bo’ldi.
2.2.1. Xos qiymat ikkita haqiqiy va bir karrali bo’lgan hol.
2.2.1. Misol.
sistemani yeching.
Birinchi tenglamadan ni topib, undan hosila olamiz va ikkita tengliklarni mos ravishda tenglashtiramiz:

Quyidagicha belgilash kiritamiz va birinchi, ikkinchi tartibli hosilalarini olamiz:
,
tenglamaga etib qo’yamiz: , .
Yechim quyidagicha bo’ladi: ,
,
.
Javob: ,
.
2.2.2. Misol.
sistemani yeching.
Birinchi tenglamadan ni topib, undan hosila olamiz va ikkita tengliklarni mos ravishda tenglashtiramiz:

Quyidagicha belgilash kiritamiz va birinchi, ikkinchi tartibli hosilalarini olamiz:
, , .
Tenglamaga etib qo’yamiz: , .
Javob: ,
.
2.2.3. Misol.
sistemani yeching.
Birinchi tenglamadan ni topib, undan hosila olamiz va ikkita tengliklarni mos ravishda tenglashtiramiz:

Quyidagicha belgilash kiritamiz va birinchi, ikkinchi tartibli hosilalarini olamiz:
, , .
Tenglamaga etib qo’yamiz: , .
Yechim quyidagicha izlanadi: ,
.
,
Javob: .
.