Chiziqli bo`lmagan algebraik tenglamalar tizimini echish usullari

Ixtiyoriy chiziqli tenglamalar sistemasining yechimini topish
Quyida ixtiyoriy chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin.
(15)
(15) sistemaning asosiy matritsasi va kengaytirilgan matritsasining rangi r ga teng bo’lsin, u holda (15) tenglamalar sistemasida r ta tenglamalar sistemasi chiziqli erkli. qolgan tenglamalar esa r ta tenglamaning chiziqli kobinatsiyasidan iborat bo’ladi.
Faraz qilaylik. asosiy matritsada bazis minor matritsaning chap yo’qori burchagida bo’lsin (agar chap burchagida bo’lmasa tenglamalar va noma’lumlarni almashtirib bunga erishish mumkin). Quyidagi matritsa hosil bo’lgan tenglamalar sistemasining matritsasi bo’lsin.



Ushbu matritsaning chap yo’qori burchagidagi minor bazis minor bo’lsin. Bazis minordagi koeffitsientlar oldidagi noma’lumlarni tengliklarning chap qismida olib qolib qolgan noma’lumlarni o’ng tomonga olib o’tib quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
(16)
noma’lumlar o’rniga sonlarni olamiz va quyidagi tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz.
(17)
Bazis minor bo’lgani uchun (17) tenglamalar sistemasini Kramer usuli bo’yicha echsak,
, (18)
bu erda jq1,2, …, r. ― M minordagi j - ustunda d₁, d₂, …, d_r elementlar turgan determinantni tushunamiz. Demak, x_jqc_j ( jq1,2, …, r) deb olsak, unda (c₁, c₂, …,c_r, c_rQ1, …,c_n) lar (3) ixtiyoriy chiziqli tenglamalar sistemasining echimi bo’ladi.
(18) formula (15) chiziqli tenglamalar sistemasining ixtiyoriy echimini o’z ichiga olishini isbotlaylik. ( ) lar (15) ning ixtiyoriy echimi bo’lsin. U holda (16) tenglamalar sistemasining echimi bo’ladi. (16) sistemaning echimlari sonlar orqali Kramer formulasiga ko’ra (18) formula yordamida bir qiymatli aniqlanadi. Agar deb olsak, (15) ning ixtiyoriy echimi (18) formula bilan aniqlanishi kelib chiqadi.
Misol: Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini eching.

Chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda ekanligini tekshiraylik, buning uchun Kronekr–Kapelli teoremasidan foydalanamiz, ya’ni asosiy matritsasi va kengaytirilgan matritsasining ranglari tengligini ko’rsatamiz:
  , bo’lgani uchun rangAqrang q2 va M bazis minor bo’ladi. Endi esa, tenglamalar sistemasini echaylik. Shu erda quyidagi narsaga e’tibor bermog’ligimiz zarur, bazis minordagi koeffitsientlar oldidagi noma’lumlarni tengliklarning chap qismida olib qolib qolgan noma’lumlarni o’ng tomonga olib o’tamiz

va x₁qc₁, x₄qc₄, x₅qc₅ deb olsak

ni hosil qilamiz va bu tenglamalar sistemasini echamiz

x₃q2Q2c₄, x₂q1–c₄–3c₄–c₅ .Demak, (c₁, 1–c₄–3c₄–c₅, 2Q2c₄, c₄, c₅ ) umumiy echim bo’ladi. Agar x₁q1, x₄q1, x₅q1 deb olsak x₃q4, x₂q–4 bo’ladi, ya’ni (1,–4,4,1,1) xususiy echim bo’ladi.