Chiziqli tеnglamalar sistеmasi. Chiziqli tenglamalar sistemasi va ularning yechimi

Misol: Ushbu sistemani Gauss usulida yeching:

Yechish: Bu sistemadan noma’lumlarni birin-ketin yo‘qotamiz.
1-qadam. Sistemaning ikkinchi va uchinchi tenglamalardan х₁ noma’lumni
yo‘qotamiz. Kasr sonlarga kelmaslik va bu orqali hisoblashlarni soddalashtirish maqsadida buni quyidagicha amalga oshiramiz. Dastlab 1-tenglamani ikkala tomonini –3 soniga, 2-tenglamani esa 2 soniga ko‘paytirib, ularni o‘zaro qo‘shamiz. So‘ngra 1-tenglamani ikkala tomonini –2 soniga ko‘paytirib, hosil bo‘lgan tenglamani 3-tenglamaga qo‘shamiz. Natijada quyidagi ekvivalent sistemaga kelamiz:
.
2-qadam. Oldingi qadamda hosil qilingan sistemaning 2-tenglamasini –8 soniga, 3-tenglamasini 17 soniga ko‘paytirib o‘zaro qo‘shamiz:

Dastlab bu uchburchakli sistemaning 3- tenglamasidan х₃=3 ekanligini topamiz.
So‘ngra bu natijani sistemaning 2- tenglamasiga qo‘yib, undan х₂ = –2 ekanligini aniqlaymiz. Yakuniy qadamda х₂ = –2 va х₃ = 3 natijalarni sistemaning 1- tenglamasiga qo‘yib, undan х₁ =1 ekanligini topamiz. Demak berilgan sistemaning yagona yechimi х₁ =1, х₂ = –2 va х₃ =3 ekan.
4.5. n noma’lumli m ta chiziqli tenglamalar sistemasi. Endi (1) sistemani m≠n holda yechish masalasi ustida to‘xtalib o‘tamiz. Bunda doimo m≤n, ya’ni tenglamalar soni noma’lumlar sonidan katta emas deb hisoblashimiz mumkin. Agar m>n bo‘lsa, unda noma’lumlarni yo‘qotish usulidan quyidagicha foydalanib, m≤n holga kelamiz. 1-qadamda sistemaning ikkinchi va undan keyingi barcha tenglamalaridan x₁ noma’lumni yo‘qotib, ularda faqat x₂, x₃, …, x_n noma’lumlar qatnashishiga erishamiz. 2-qadamda sistemaning uchinchi va undan keyingi barcha tenglamalaridan x₂ noma’lumni yo‘qotib, ularda faqat x₃, x₄, …, x_n noma’lumlar qatnashishiga erishamiz. Bu jarayonni davom ettirib, (n–1)-qadamda n-tenglama va undan keyingi tenglamalarda faqat bitta x_n noma’lum qolishiga erishamiz. Navbatdagi qadamda n- tenglamadan foydalanib, (n+1)-tenglama va undan keyingi barcha tenglamalardan oxirgi x_n noma’lumni yo‘qotamiz. Natijada bu tenglamalar o‘rnida 0=b_k ( k=n+1, n+2, …, m) ko‘rinishidagi ifodalar paydo bo‘ladi. Agar (1) sistema birgalikda, ya’ni yechimga ega bo‘lsa, unda hamma b_k sonlar nollardan iborat bo‘ladi va aksincha. Agar b_k sonlardan kamida bittasi noldan farqli bo‘lsa, unda (1) sistema birgalikda emas, ya’ni yechimga ega bo‘lmaydi. Ikkala holda ham sistemada qolgan tenglamalar soni n ga teng yoki undan kichik bo‘ladi, chunki qolgan tenglamalar orasida ham 0=b_k ko‘rinishdagi ifodalar bo‘lishi mumkin.
Misol sifatida m=4, n=3 bo‘lgan ushbu sistemani qaraymiz:
.
Bu sistemaning 1-tenglamasidan foydalanib keyingi tenglamalaridan x₁ noma’lumni yo‘qotamiz:
.
Hosil bo‘lgan sistemaning 2-tenglamasidan foydalanib keyingi tenglamalaridan x₂ noma’lumni yo‘qotamiz:
.
Demak berilgan sistema m=2, n=3 (m) bo‘lgan ushbu sistemaga ekvivalent ekan:
.

Shunday qilib (1) sistemada m≤n bo‘lsin. Bu sistema yechimga ega, ya’ni (3) va (6) matritsalarning ranglari teng va r(A)=r(A^b)=r bo‘lsin. Bunda r≤m bo‘ladi. Agar r=m=n bo‘lsa, unda sistemaning asosiy determinanti ∆=|A|≠0 bo‘ladi, ya’ni oldin ko‘rib o‘tilgan holga kelamiz va sistema yechimini matritsalar, Kramer yoki Gauss usullaridan birining yordamida topamiz.

Endi (1) sistema matritsasining rangi r(А)=rm bo‘lishini eslatib o‘tamiz ). Bunga oldin qaralmagan m=n, ammo ∆=|A|=0 bo‘lgan hol ham kiradi. Bu holda matritsaning biror r-tartibli M bazis minorini (§3, 6-ta’rif) qaraymiz. (1) sistemaning koeffitsiyentlari shu bazis minorga kirgan r ta tenglamalarini qoldirib, qolgan m–r ta tenglamasini o‘chirib tashlaymiz. Bunga sabab shuki, bu m–r ta tenglamani qoldirilgan r ta tenglamalardan hosil qilish mumkin, ya’ni ular noma’lumlar to‘g‘risida yangi ma’lumot bermaydi. Qoldirilgan r ta tenglamalarni (1) sistemaning dastlabki r ta tenglamasi deb qarash mumkin (aks holda sistemadagi tenglamalar o‘rnini almashtirish orqali bunga erishib bo‘ladi). Bu holda (1) sistemaga ekvivalent bo‘lgan ushbu sistemaga kelamiz:



Bu sistemaning tenglamalaridagi koeffitsiyentlari bazis minorga kirgan noma’lumli (ularni х₁, х₂, …, х_r deb olishimiz mumkin) qo‘shiluvchilarni o‘z joyida qoldirib, boshqa х_r+1, х_r+2, …, х_n noma’lumli qo‘shiluvchilarni tenglamalarni o‘ng tomoniga o‘tkazib, quyidagi sistemaga kelamiz:
(10)

(10) sistemadagi х₁, х₂, …, х_r noma’lumlar asosiy o‘zgaruvchilar, qolgan n–r ta х_r+1, х_r+2, …, х_n noma’lumlar esa erkli o‘zgaruvchilar dеb ataladi. Erkli o‘zgaruvchilarga ixtiyoriy bir х_r+1=C₁, х_r+2=C₂, …, х_n=C_n–r qiymatlarni beramiz. Unda (10) х₁, х₂, …, х_r asosiy o‘zgaruvchilarga nisbatan r noma’lumli r ta chiziqli tenglamalar sistemasini ifodalaydi. Bu sistemaning asosiy determinanti M bazis minordan iborat bo‘lib, noldan farqlidir. Unda (10) sistema yagona yechimga ega bo‘lib, uni matritsalar yoki Kramer yoki Gauss usulida topish mumkin. Demak asosiy х₁, х₂, …, х_r o‘zgaruvchilarning qiymatlari х_r+1=C₁, х_r+2=C₂, …, х_n=C_n–r erkli o‘zgaruvchilar qiymatlariga bog‘liq holda aniqlanadi, ya’ni

ko‘rinishda bo‘ladi. Unda (1) yoki unga ekvivalent (10) sistema cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lib, ular

ustun matritsani tashkil etadi va sistemaning umumiy yechimi deyiladi. Bunda C₁=0, C₂=0, …, C_n–r=0 holga mos keladigan X bazis yechim deb ataladi.