Chiziqli tеnglamalar sistеmasi. Chiziqli tenglamalar sistemasi va ularning yechimi

Misol №4: Ushbu bir jinsli sistemani tekshiring va uning notrivial yechimi mavjud bo‘lsa, bu yechimni toping:

Yechish: Bu sistema matritsasining rangi r(A)=2 4. Demak uning notrivial yechimi mavjud. Asosiy o‘zgaruvchilar sifatida x₁ va x₂ , erkli o‘zgaruvchilar sifatida x₃ va x₄ noma’lumlarni tanlashimiz hamda sistemaning uchinchi tenglamasini o‘chirib tashlashimiz mumkin (Misol №2 yechimiga qarang) va natijada berilgan sistemaga ekvivalent bo‘lgan ushbu sistemaga kelamiz:


.
Bu sistemada erkli o‘zgaruvchilarga ixtiyoriy х₃=C₁ vа х₄=C₂ qiymatlar berib, x₁ va x₂ asosiy o‘zgaruvchilarni Kramer usulida topamiz:
.
Demak, berilgan bir jinsli sistema cheksiz ko‘p notrivial yechimga ega va ular quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
.
Bu yerda C₁=C₂=0 desak, trivial yechimga, qolgan hollarda esa notrivial yechimlarga ega bo‘lamiz. Masalan, C₁= 5, C₂= –10 bo‘lganda sistemaning ushbu notrivial yechimi kelib chiqadi:
.
Bir jinsli (11) sistemaning х₁=к₁, х₂=к₂, …, х_n=к_n yechimini X=(к₁,к₂,к₃,…,к_n) satr matritsa ko‘rinishda belgilaymiz. Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasining yechimlari quyidagi xossalarga ega bo‘lishini tekshirib ko‘rish mumkin:
1-xossa. Agar X=(к₁,к₂,к₃,…,к_n) bir jinsli (11) sistemasining yechimi bo‘lsa, u holda ixtiyoriy  soni uchun
X=λ(к₁,к₂,к₃,…,к_n)= (λк₁, λк₂, λк₃,…, λк_n)
ham shu sistemaning yechimi bo‘ladi.