Chiziqli tеnglamalar sistеmasi. Chiziqli tenglamalar sistemasi va ularning yechimi

2-xossa. Agar X₁=(к₁,к₂,к₃,…,к_n) vа X₂=(l₁,l₂,l₃,…,l_n) bir jinsli (11) sistemaning yechimlari bo‘lsa, u holda ixtiyoriy C₁ va C₂ sonlar uchun
X= C₁X₁+ C₂X₂ = (C₁к₁+C₂l₁, C₁к₂+C₂l₂,…, C₁к_n+C₂l_n)
ham (11) sistеmaning yechimi bo‘ladi. Bunda C₁X₁+ C₂X₂ algebraik yig‘indi X₁ va X₂ yechimlarning chiziqli kombinatsiyasi deyiladi.
9-TA’RIF: (11) sistemaning qandaydir X₁, X₂, …, X_к yechimlari chiziqli bog‘liqmas deyiladi, agarda
C₁X₁+C₂ X₂+ …+C_к X_к=О
tеnglik faqat va faqat C₁=C₂=…=C_к=0 bo‘lganda bajarilsa. Aks holda bu yechimlar chiziqli bog‘liq deyiladi. Bu yerda O=(0,0, …,0)=O_1×n –nol satr matritsani ifodalaydi.
Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasi yechimlarining har qanday chiziqli kombinatsiyasi yana shu sistemaning yechimi bo‘lishi yuqoridagi xossalardan kelib chiqadi. Shuning uchun shunday chiziqli bog‘liq bo‘lmagan yechimlarni topish kerakki, ular orqali sistemaning barcha qolgan yechimlari chiziqli ifodalansin.
10-TA’RIF: Agar (11) bir jinsli tenglamalar sistemaning har qanday X yechimini qandaydir chiziqli bog‘liq bo‘lmagan X₁, X₂, …, X_к yechimlarning chiziqli kombinatsiyasi ko‘rinishida ifodalab bo‘lsa, unda X₁, X₂, …, X_к fundamental yechimlar sistemasi deyiladi.
3-TЕORЕMA: Agar (11) chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasining matritsaning rangi r(A)<n bo‘lsa, bu sistemaning har qanday fundamental yechimlar sistemasi n–r ta X₁, X₂, …, X_n–r yechimdan iborat bo‘ladi va umumiy yechim X ularning
X= C₁ X₁+C₂ X₂+ …+C_n–r X_n–r
chiziqli kombinatsiyasi ko‘rinishida bo‘ladi. Bu yerda C₁, C₂, …, C_n–r –ixtiyoriy o‘zgarmas sonlardan iboratdir.
Endi n noma’lumli m та chiziqli tenglamadan iborat bir jinsli bo‘lmagan (1) va unga mos keluvchi bir jinsli (11) sistemalarning yechimlari orasidagi bog‘lanishlarni ko‘rib chiqamiz. Buning uchun ularning AX=B va AX=О matritsaviy yozuvlaridan foydalanamiz.
4-TЕORЕMA: Agar X₁ va X₂ bir jinsli bo‘lmagan sistemaning ixtiyoriy ikkita yechimi bo‘lsa, unda X= X₁ – X₂ bir jinsli sistemaning yechimi bo‘ladi.
Isbot: Matritsalarning xossalari va AX₁=B, AX₂=B tengliklarga asosan
AX=A(X₁ – X₂)= AX₁ –A X₂=B–B=О.
5-TЕORЕMA: Agar X₁ va X₀ mos ravishda bir jinsli bo‘lmagan (1) va bir jinsli (11) sistemalarning yechimlari bo‘lsa, unda X= X₁ ± X₀ bir jinsli bo‘lmagan (1) sistemaning yechimi bo‘ladi.
Isbot: Matritsalarning xossalari va AX₁=B, AX₀=О tengliklarga asosan
AX=A(X₁ ± X₀)= AX₁ ±A X₀=B–О=B.
Bu teoremalardan ko‘rinadiki, bir jinsli bo‘lmagan (1) sistemaning umumiy X yechimini topish uchun uning birorta xususiy X₁ yechimi bilan tegishli bir jinsli sistemaning umumiy X₀ yechimini bilish kifoya. Bu holda X=X₁+X₀ tenglik o‘rinli bo‘ladi. Keyinchalik bu tasdiq boshqa tur tenglamalar uchun ham o‘rinli bo‘lishini ko‘ramiz.