Chiziqli tenglamalar sistemasi

Mustaqil yechish uchun topshiriqlar:

1. Determinantlar yordamida quyidagi tenglamalar sistemasi yechil- sin:

1) 2) 3)
4) 5) 6) .

7) 8)

9) 10)

11) 12)

Javob: 1) ; 2) ; 3; 4) ; 5) cheksiz ko’p yechimlarga ega; 6) yechimga ega emas; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ; 12) .

2. Quyidagi sistema yechilsin:

Javob:

3. Quyidagi sistemalarni Gauss usuli bilan yechilsin.

1) 2) ,

3) 4)

Javob: 1) ; 2); 3); 4)

4. Quyidagi tenglamalar sistemasi matritsa usuli bilan yechilsin:

1) 2)
3) ; 4) .

Javob: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
m ta satr va n ta ustundan iborat to’g’ri to’rtburchak shaklidagi ta sondan tashkil topgan jadval x tartibli matritsa, uni tashkil etgan sonlar esa matritsaning elementlari deyiladi. Matritsa quyidagi ko’rinishda yoziladi.

=

Agar matritsa m=n≠1 bo’lsa, u kvadrat matritsa; () bo’lsa, to’g’ri burchakli matritsa deyiladi. Masalan:

Matritsa 2x3 tartibli matritsadir.

Agar A va B matritsalar bir xil tartibli va ularning mos elementlari o’zaro teng bo’lsa, ya’ni shart bajarilsa, ular teng matritsalar deyiladi va uni A=B kabi yoziladi. Masalan,

A= va B= matritsalar o’zaro tengdir.

Diagonal elementlaridan boshqa barcha elementlari nolga teng bo’lgan kvadrat matritsa diagonal matritsa deyiladi.

Masalan: = ; matritsalar diagonal matritsaga misol bo’la oladi.

Barcha diagonal elementlari 1 ga teng bo’lgan n-tartibli diagonal matritsa n-tartibli birlik matritsa deyiladi va u E bilan belgilanadi. Masalan:

va =

matritsalar mos ravishda ikkinchi va uchinchi tartibli birlik matritsalardir.

Barcha elementlari nolga teng bo’lgan ixtiyoriy m x n tartibli matritsa nol matritsa deb ataladi va u 0 bilan belgilanadi.

Demak,

=; =; =

Agar m x n tartibli matritsada m=1 bo’lsa, u holda

A=

bo’lib, unga satr matritsa deyiladi. Agar n=1 bo’lsa u holda B=

bo’lib, unga ustun matritsa deyiladi.

Ikkita m x n tartibli.

A, va

matritsalar mos elementlari yig’indilaridan (ayirmalaridan) tashkil topgan m x n tartibli matritsa A va B matritsalar yig’indisi (ayirmasi) deb ataladi va A+B (A-B) kabi belgilanadi.

Yuqorida aytilganlardan

2

3

4

bo’lishi ravshan.

Biror son va matritsani qaraymiz. matritsa quyidagidan iborat bo’ldi.

;
A va B matritsalar hamda ixtiyoriy va sonlar uchun quyidagilar o’rinlidir:

)=;

2(A+B)=;

3 (.

va matritsalarning ko’paytmasi deb shunday =( matritsaga aytiladiki, uning elementlari ushbu

yig’indilar kabi aniqlanadi va AB kabi yoziladi.

Ko’paytma matritsa mavjud bo’lishi uchun A matritsaning ustunlari soni B matritsaning satrlari soniga teng bo’lishi kerak. Aytaylik,

bo’lsin. U holda AB matritsa quyidagicha aniqlanadi.

=

Aytaylik A va B matritsalar quyidagi ko’rinishda bo’lsin:

A= , B=

u holda AB ko’paytma quyidagicha aniqlanadi.

AB=

Matritsalar ko’paytmasi va yig’indisi quyidagi qonunlarga bo’ysunadi hamda ushbu xossalarga ega bo’ladi:

I. A=C, B=A.

II. A=AB+AC, C=AC+BC.

III. AE=EA=A, 0A=0, A0=0, 00=0.

A kvadrat matritsani o’zaro m marta ko’paytirish natijasida hosil bo’lgan kvadrat matritsa A matritsaning m darajasi deyiladi va kabi yoziladi.

Uning uchun quyidagilar o’rinlidir:

1. =, 2. ()^к =.

3. (^m=^mm, 4. =E. 5. =0.

Berilgan n-tartibli A kvadrat matritsaga teskari matritsa deb A^-1 bilan belgilanuvchi va AA^-1=A^-1A=E( E-n–tartibli birlik matritsa) shartni qanoatlantiruvchi n-tartibli kvadrat matritsaga aytiladi.

Berilgan A matritsaga teskari matritsa mavjud bo’lishi uchun uning determinanti nolga teng bo’lmasligi kerak.

Berilgan n-tartibli A kvadrat matritsaga teskari matritsa quyidagidek aniqlanadi.

Berilgan 3- tartibli A-kvadrat matritsaga teskari matritsa quyidagicha aniqlanadi:

Ikkinchi tartibli.

kvadrat matritsa uchun teskari matritsa quyidagicha aniqlanadi.

Bu yerda yozuv A matritsaning determinanti ekanligini bildiradi.

A matritsaga qarama – qarshi matritsa deb matritsaga aytiladi. Ya’ni,

A= bo’lsa, -A= bo’ladi.

B=( matrisa A=( matrisaning transponirlangani deyiladi, agar i va j indekslarning barcha mumkin bo’lgan qiymatlarida shart bajarilsa.

A matritsaning transponirlangani kabi belgilanadi. Agar A matritsa m x n tartibli bo’lsa, uning transponirlangan n x m tartibli bo’ladi.

Matritsani transponirlanganini topish transponirlash amali deyiladi.

Quyida A va matritsalar keltirilgan:

A=,

Demak, A matritsaga transponirlangan matritsani topish uchun A matritsaning satrlarini mos ustunlari bilan almashtirish kerak ekan.

Har qanday matritsaning ixtiyoriy ravishda tanlangan k ta satr (k≤min (m,n)) va ustunlarning kesishmasida joylashgan elementlari dan tuzilgan k- tartibli determinant bu matritsaning k- tartibli minori deyiladi.

Berilgan A matritsaning rangi deb uning noldan farqli minorining eng katta tartibiga aytiladi.

Matritsaning rangi R(A) yoki r (A) bilan belgilanadi.

n ta , noma’lumli n ta chiziqli tenglamalardan iborat ushbu

sistemani qaraymiz.Bu sistemaning koeffitsientlaridan tuzilgan tartibli

matritsani hamda ozod hadlardan iborat ustun qo’shilgan tartibli kengaytirilgan

=,

matritsalarni qaraymiz. Berilgan sistemaning yechimi yuqoridagi matritsalarning rangiga bog’liqdir.

Teorema (KronekerKapelli teoremasi). Berilgan sistema birgalikda bo’lishi uchun A matritsa va kengaytirilgan matritsalarning ranglari bir xil bo’lishi zarur va yetarlidir. Ya’ni, rang A=rang