Chiziqli tenglamalar sistemasining yechimi haqida kroneker kapelli teoremasi chiziqli tenglamalar sistemasini kramer usuli bilan yechish

Amaliy mashg‘ulot

CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASINING YECHIMI HAQIDA KRONEKER - KAPELLI TEOREMASI
CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASINI KRAMER
USULI BILAN YECHISH
(1)
Kroneker-Kapelli teoremasi (1) chiziqli tenglamalar sistemasining birgalikda yoki birgalikda emasligini aniqlaydi.
(1) chiziqli tenglamalar sistemasining asosiy va ozod hadlar hisobiga kengaytirilgan matritsasini tuzamiz:
A= (2)
B= (3)
Teorema. Agar A matritsa rangi B matritsa rangiga teng bo’lib, noma’lumlar soniga ham teng bo’lsa, ya’ni r(A)=r(B)=m bo’lsa, (1) tenglamalar sistemasi aniq bo’ladi, sistema birgalikda bo’lib yagona yechimga ega bo’ladi.
Agar r(A)=r(B) bo’lsa, (1) sistema birgalikda bo’lib, cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi.
Agar r(A) bo’lsa, sistema birgalikda bo’lmaydi, sistema yechimga ega bo’lmaydi.
Misollar ko’ramiz: 1. Quyidagi sistemalarni birgalikda yoki birgalikda emasligini tekshiramiz:
a)
Buning uchun asosiy va kengaytirilgan matritsa rangini topamiz:
A= ~ ~
2- satr elementlaridan 1- satr elementlarini ayiramiz:
A ~ r(A)=2
B=
bu matritsa rangini topish uchun yana yuqoridagi ishni takrorlaymiz, natijada B matritsa quyidagi ko’rinishni oladi.
B ~ , B₁ =
matritsa rangini topamiz:
M = ; r(B₁) = 3
Demak, r(B)=3 bo’lib, r(A)≠r(B) va sistema birgalikda emas.
b)
Sistema birgalikda yoki birgalikda emasligini tekshiring.
Ozod hadlar hisobiga kengaytirilgan matritsa tuzamiz:
B =
3- satr elementlaridan 1- satr elementlarini ayiramiz:
B = ~ ~
A matritsa B matritsaning qismi bo`lgani uchun r(A)=r(B)=2 ekanini ko’rish mumkin. Demak, sistema birgalikda.
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Kramer formulasi determinantlaridan foydalanib, sistema yechimini topishdir.
Sistema yechimi Kramer formulalari deb atalgan quyidagi formulalar bo’yicha topiladi:

Bu yerda Δ noma’lumlar oldidagi koeffitsiyentlardan tuzilgan kvadrat matritsa determinanti, Δ₁, Δ₂, Δ₃, …, Δ_n lar asosiy matritsada mos ravishda 1, 2, 3, …, n-ustun elementlarini ozod hadlar bilan almashtirishdan hosil bo’lgan determinantlar. Shuni ta’kidlash kerakki, sistemada noma’lumlar va tenglamalar soni teng bo’lgan hollarda Kramer formulasini qo’llash maqsadga muvofiq.
Agar Δ≠0 bo’lsa, sistema yagona yechimga ega bo’ladi.
Agar Δ=0 bo’lib, Δ₁, Δ₂, Δ₃ lardan kamida bittasi noldan farqli bo’lsa, sistema yechimga ega emas.
Agar Δ=0 bo’lib, Δ₁=Δ₂=Δ₃=…= Δ_n=0 bo’lsa, sistema aniqmas, cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi. Formulani 3 noma’lumli 3 ta chiziqli tenglamalar sistemasi misolida keltiramiz:
(1)
sistema uchun
, ,
,
Buni misollarda ko’ramiz:
2.-misol.
a) sistemani Kramer formulasi bilan yeching.
= -4+8+9-8-3+12=14
Δ≠0 bo’lgani uchun sistema aniq, yagona yechim Kramer formulalari yordamida topiladi.
= -32+8+30-8+40-24=14
= -20+32+12-40-4+48=28
= 8+80+72-64-24-30=42

b) sistemani Kramer formulasi yordamida yeching.
=256+6-18-216-32+4=266-266=0
Δ=0 Kramer teoremasiga ko’ra, sistema yoki aniqmas, yoki birgalikdamas. Δ₁ ni hisoblaymiz:
= -128+24-128-2= -234≠0
Δ=0, Δ₁≠0 bo’lgani uchun Kramer teoremasiga ko’ra sistema aniqlanmagan.
c) Kramer formulasiga ko’ra yeching.
= 20-3-12+5+8-18=33-33=0
Δ=0, demak, sistema yoki aniqmas, yoki birgalikdamas. Δ₁, Δ₂, Δ₃ larni hisoblaymiz:
= -70+15-3+5-10+63=83-83=0
= -20-21-4-5+56-6=56-56=0
= -10-5+84-35-4-30=84-84=0
Δ=0, Δ₁=Δ₂=Δ₃=0 bo’lgani uchun sistema aniqmas, cheksiz ko’p yechimga ega.
Sistemani Gauss algoritmi bilan yechamiz:

berilgan tenglama sistemaga teng kuchli.
Bu tenglamani Kramer formulasi bilan yechish mumkin.
= -10-4= -14
=5(x₃+7)-3x₃+5=5x₃+35-3x₃+5=2x₃+40=2(x₃+20)
= -2(3x₃-5)-4(x₃+7) = -6x ₃+10-4x₃-28 =
= -10x₃-18 = -2(5x₃+9)

Sistema yechimi bo’ladi.

Mustaqil yechish uchun misollar

Berilgan chiziqli tenglamalar sistemalarining birgalikda yoki birgalikda emasligini tekshiring.
3. 4.
6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
1 16
17. 18.
19.
Quyidagi tenglamalar sistemasini Kramer usulida yeching.
20. 21.
22. 23
24. 2
26. 27.
28. 29.