Chiziqli tenglamlarni yechishning taqribiy usuli. Reja: Chiziqli tenglama

Algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlarini ajratish metodi.
Tenglamalarning ildizlarini taqribiy topish uchun qo’llaniladigan usullarda uning ildizlari ajratilgan, ya’ni shunday yetarli kichik oraliqlar topilganki, bu oraliqda tenglamaning bittagina ildizi joylashgan, deb faraz qilinadi. Bu oraliqning biror nuqtasini boshlang‘ich yaqinlashish deb, tanlangan metod bilan berilgan aniqlikda topish mumkin. Demak, tenglama ildizlarini taqribiy topish masalasi ikki qismdan iborat:
1) ildizlami ajratish, ya’ni shunday oraliqchalarni ko‘rsatish kerakki, unda tenglamaning bitta va faqat bitta ildizi bo’lsin;
2) ildizning taqribiy qiymati - boshlang‘ich yaqinlashishni berilgan aniqlikda hisoblash.
Matematik analizdan ma’lum bo`lgan quyidagi teoremalardan ildizlarni ajratishda foydalaniladi.
Teorema. funksiya oraliqda uzluksiz bo`lib, oraliqning oxirlarida turli ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u holda tenglamaning bu oraliqda hech bo`lmaganda bitta ildizi bor. Agar mavjud bo`lib, u oraliqda ishorasini saqlasa, u holda oraliqda ning ildizi yagonadir.
Teorema. funksiya da analitik bo‘lib, shart o‘rinli bo‘lsa, tenglamaning da yotadigan ildizlari soni toqdir.
Algebraik
(1)
tenglama ildizlarining soni va ulami ajratish masalasini ko‘raylik.
Dekart teoremasi. Karraliklarining karrasi bilan hisoblaganda (1) tenglamaning musbat ildizlari soni

koeffitsiyentlar sistemasida (nolga teng koeffitsiyentlar e’tiborga olinmaydi) ishora almashtirish soniga teng yoki undan juft songa kamdir.
Gyua teoremasi. (1) tenglamaning koeffitsiyentlari haqiqiy bo`lib, uning barcha ildizlari haqiqiy bo`lsa, koeffitsiyentlar uchun
,
Tengliklar o`rinli.

1. 
   tenglamada , deb hisoblaymiz.
   

Teorema 1. Agar

bo`lsa, u holda (1) tenglamaning barcha ildizlari
(2)
halqa ichida yotadi.
Isboti. Faraz qilaylik bo`lsin. Modulning xossasiga ko`ra


Agar deb olsak, u holda tengsizlik kelib chiqadi, ya’ni ning shunday qiymatlarida ko‘phad nolga aylanmaydi, demak (1) tenglamaning ildizi yo‘q. (2) tengsizlikning chap tomonini ko‘rsatish uchun deb, ga ega bo‘lamiz, bu yerda Yuqorida isbot qilinganiga ko‘ra, ko‘phadning ildizlari

Tengsizlikni qanoatlantiradi, bundan esa

kelib chiqadi.
Bu teoremadagi va - (1) tenglama musbat ildizlarining mos ravishda quyi va yuqori chegaralaridir. Xuddi shuningdek, va - manfiy ildizlarning mos ravishda quyi va yuqori chegarasi bo‘ladi.