Chiziqli tenglamlarni yechishning taqribiy usuli. Reja: Chiziqli tenglama

Teorema. Faraz qilaylik, funksiya va boshlang‘ich yaqin- lashish quyidagi shartlami qanoatlantirsin:
1) funksiya
(4)
oraliqda aniqlangan bo‘lib, bu oraliqdan olingan ixtiyoriy ikkitax va nuqtalar uchun Lipshits shartini qanoatlantirsin:
, (5)
2) quyidagi tengsizlik bajarilsin:
(6)
U holda (1) tenglama (4) oraliqda yagona ildizga ega bo`lib, ketma-ketlik bu yechimga intiladi va intilish tezligi
(7)
tengsizlik bilan aniqlanadi.
Isboti. Ixtiyoriy uchun ni qurish mumkinligini va (4) oraliqda yotishligi hamda
(8)
bo`ladi, bundan esa

hosil bo`lib, (4) oraliqda yotishligini ko‘rsatadi. Faraz qilaylik, lar qurilgan bo`lib, ular (4) oraliqda yotsin va

tengsizliklar bajarilsin. Induksiya shartiga ko‘ra, (4) da yotadi, (4) da aniqlangan, shuning uchun ham ni qurish mumkin. Teoremaning birinchi shartidan

kelib chiqadi. va uchun induksiya shartiga ko‘ra, o‘rinli, demak . Bu , lar uchun (8) ifoda o‘rinliligini ko‘rsatadi

tengsizlik (4) oraliqda yotishini ko‘rsatadi.
Endi ketma-ketlik fundamentalhgini ko‘rsatamiz. (8) tengsizlikka ko`ra, ixtiyoriy natural son uchun

yoki (9)
Bu tengsizlikning o‘ng tomoni ga bog‘liq emasligidan va bo‘lganidan ketma-ketlikning fundamentalligi va uning limiti mavjudligi kelib chiqadi. ketma-ketlik (4) oraliqda yotganligi uchun , ham shu oraliqda yotadi. (5) shartdan ning uzluksizligi kelib chiqadi, shuning uchun ham tenglikda limitga o‘tib, (1) tenglamaning ildizi ekanligini ko‘ramiz.
Topilgan ildiz yagonadir. Faraz qilaylik, , (1) tenglamaning (4) oraliqdagi boshqa ildizi bo`lsin. (5) ga ko‘ra,

bo`lganligi uchun bu munosabat , bo`lsagina bajariladi. (9) tengsizlikda limitga o‘tsak, (7) tengsizlik kelib chiqadi. Teorema isbot bo'ldi.
Eslatma. Faraz qilaylik, tenglamaning ildizi yotgan qandaydir oraliqda ishora saqlasa va shart o'rinli bo`lsa, u holda agar musbat bo`lsa
(10)
ketma-ketlik ga monoton yaqinlashadi, bordi-yu manfiy bo`lsa, (10) ketma-ketlik ildiz atrofida tebranib unga yaqinlashadi.
Haqiqatan ham, bo`lib, bo`lsin. U holda

bu yerda , bundan

Demak,

Matematik induksiyaga asosan

ega bo`lamiz.
Shunga o‘xshash natija bo`lganda ham kelib chiqadi.
Endi holni ko‘rib chiqamiz.
Faraz qilaylik, bo`lib, bo`lsin, u holda

bo`ladi, bundan va ligi kelib chiqadi.
Shu mulohazalami yaqinlashishlar uchun qaytarsak

hosil bo‘ladi, ya’ni ketma-ket yaqinlashishlar atrofida tebranib, unga yaqinlashadi.
Bu ikkala holning geometrik talqinini quyidagi rasmda izohlaymiz.