Chjimin Guo matematika va axborot fanlari maktabi, ÿ Muallif: Zhiming Guo

y(t, ·)C[0,h(t)] = 0.
u = 1 - d(¯u + a).
Quyidagi teorema shuni ko'rsatadiki, hÿ ning chekliligi u va y ning ikkala turini ham yo'q bo'lib
ketishiga olib keladi.
ÿ
(33)
t > T, 0 < x < h(t),
y
Lemma 3.5 va 3.6 ni qo'llash orqali biz ushbu limni olamiz
,
u¯ = 1 - dy, u = 1 - dy, ¯ y¯ = ¯u + a va y = u + a.
y(t, ·)C[0,h(t)] = 0. Demak, T > 0 borki,
barcha t ÿ T va 0 ÿ x ÿ h(t) uchun y(t, x) < e, bu yerda 0 < e << 1. u(t, x) > 0 va yx(t, h(t)) < 0 boÿlgani
uchun, u holda
va lim tÿ+ÿ
ÿ
hamma uchun t > 0 va 0 < x < h(t),
lim inf
tÿ+ÿ
bu yerda ui = 1 - dy¯i, u¯i = 1 - dyiÿ1 , yi = ui + a va ¯yi = ¯ui + a uchun i = 1, 2, 3, · · ·
ÿÿÿÿÿÿÿ
ÿÿÿÿÿÿÿ
t > T,
va bu shuni anglatadi
ÿ
ÿÿÿÿÿÿÿÿ
ÿÿÿÿÿÿÿÿ
x ÿ [0, h0].
Shunday qilib,
Isbot. u(t, x) > 0 va ux(t, h(t)) < 0 boÿlganligi uchun y ni qanoatlantiradi.
Gipotezadan (H1) osongina ¯u = u = u degan xulosaga kelishimiz mumkin
2-qadam. Haqiqatan ham, monotonligi to'g'ridan-to'g'ri xulosa bo'lgan quyidagi ketma-
ketliklarni olish uchun yuqoridagi strategiyani davom ettirishimiz mumkin.
ux(t, 0) = 0,
t > 0,
Machine Translated by Google

---

tÿ+ÿ
y0ÿ
'
tÿ+ÿ
tÿ+ÿ
tÿ+ÿ
0
Erkin chegaraga ega Lesli-Gower modeli
11
h0
h(T) > bo'lgan T > 0 mavjud
ÿÿÿÿ
Birinchidan, hÿ > sifatida
Lemma 4.4. Agar hÿ < ÿ bo'lsa, hÿ ÿ bo'ladi
y
,
y(t, ·)C[0,h(t)] = 0.
1
p
t > T,
0 < x < h(T).
p
qarama-qarshilikni olish uchun.
Ushbu bo'limda biz erkin chegara muammosi uchun tarqalish va yo'q bo'lishni tartibga soluvchi ba'zi
mezonlarni olamiz (4).
, [2] ning 3.2-qismiga binoan, bizda mavjud
2
h(T) >
2
:= hÿ. Bundan tashqari, h0 ÿ hÿ im
y0(x)dxÿ1 .
2
(t) > 0 barcha t > 0 uchun, keyin yuqoridagi argumentlar bilan birgalikda mumkin
,
2
k
bu 4.3 teoremaga ziddir.
t > T, 0 < x < h(T),
2 1 - dde 4.3
teoremaga ziddir.
p
a
h0 ÿ bo'lganda hÿ = +ÿ ekanligini ko'ring
y(T, x) = y(T, x),
p
ÿÿÿÿ
D
1
2
k
1
. Bunday e uchun 1 - d
de mavjud
Isbot. Lemma 4.4 ning isboti [13] dagi 5.1 teoremasining isboti bilan aslida bir xil. 4.3 teorema bo'yicha biz
bilamizki, agar hÿ < ÿ bo'lsa, u holda
µ¯ = µ1 :=
min 1, 2
D
ÿ
p
a
Lemma 4.5. Faraz qilaylik, (4) masaladagi dastlabki h0 nuqta shunday bo'lsinki, h0 < hÿ. U0 va y0 ga qarab µ > 0
mavjud bo‘lib , µ ÿ µ bo‘lganda hÿ = +ÿ bo‘ladi. ¯ Aniqrog'i, bizda
Chunki h(T) >
ÿÿÿÿÿ
ÿÿÿÿÿ
h(T) > 1 ÿ dde u(t, x) quyidagi
masalaning yechimi
bo‘lishi uchun T > 0 mavjud:
D
0 < x < h(T).
Ikkinchidan, hÿ > sifatida
ÿxu(t, 0) = u(t, h(T)) = 0,
p
k
.
D
k
ÿ
p
va y(t, x) ÿ e, t > T va x ÿ [0, h(T)] uchun. Mayli
lim
tÿ+ÿ
k
Nihoyat, h
(36)
D
Quyida hÿ > deb faraz qilamiz
ÿtu ÿ ÿxxu = u(1 ÿ dé ÿ u), t > T va 0 < x < h(T) uchun,
D
max 1, r
D
u(T, x) = u(T, x),
2
hÿ = +ÿ bo'ladi .
va u(t, x) > 0,
barcha t > T va 0 < x < h(T) uchun. Quyidagi tenglamaning yechimi y(t, x) bo‘lsin
k
Taqqoslash printsipiga ko'ra, bizda y(t, x) ÿ y(t, x), barcha t > T va 0 < x < h(T) uchun.
2
p
p
(35)
ÿ h0
lim inf y(t, x) ÿ lim inf y(t, x) > 0, tÿ+ÿ
[2] ning 3.2-taklifi lim inf u(t, x) ÿ lim inf u(t, x) > 0 ni beradi, bu
,
u(t, ·)C[0,h(t)] = 0, lim
ÿty ÿ Dÿxxy = ky 1 ÿ
D
ÿxy(t, 0) = y(t, h(T)) = 0,
k
t > T,
min 1, 2
4.3. Yoyilish va yo'q bo'lishning keskin mezonlari
¯
p
,
Taqqoslash printsipi bo'yicha bizda u(t, x) ÿ u(t, x), barcha t > T va 0 < x < h(T) uchun. beri
hÿ > bo'ladigan e > 0 mavjud
min 1, 2
p
Machine Translated by Google

---

hÿ ÿ 1 > 0, chunki h0 < hÿ. h0 ni
aniqlang
0
u0ÿ
'
maksimal {u0ÿ, y0ÿ}
0
0
12
Y. Liu, Z. Guo, M. El Smaily va L. Vang
2
h0
Isbot. Biz Lemma 5.2 ni [13] ni, Lemma 3.8ni [5] ni va [7] ning 1 xulosasini isbotlash uchun xuddi
shunday usulni qo'llaymiz. e = bo'lsin
ÿ
y(t, h(t)) = 0,
ÿ k,
2
2
ÿty ÿ Dÿxxy = ky 1 ÿ
Lemma 3.2 bo'yicha bizda h(t) ÿ h(t) va y(t, x) ÿ y(t, x), t > 0 va 0 < x < h(t) uchun. Foydalanish
h¯(t)
¯
u(0, x) = u0(x),
qayerda
,
p
2
t > 0,
µ2 = maksimal
1, 1 - d(1 + th)
M =
0 ÿ y ÿ 1 uchun;
u(t, h(t)) = 0,
p
t > 0,
(1 + e) 2 soat 2
y 2
ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ
ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ
t = 0.
y
.
0 ÿ x ÿ h¯(t) uchun
h(0) = h0,
2
ÿ h0
ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ
ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ
bu erda b =
e
(t) = ÿµr(t, h(t)),
0 ÿ x ÿ h(0),
2
' h
Lemma 3.7 ning [5], agar h(0) = h0 < hÿ ÿ
dan hÿ = +ÿ kelib chiqsa.
t > 0,
va
2 + e
V (y) = cos
D
ÿxu(t, 0) = 0,
t > 0, 0 < x < h(t),
1 min
2
[5] ning 3.7-Lemmasidan biz h(0) = h0 < hÿ ÿ va µ ÿ µ2 ekanligini bilamiz, bu esa h(ÿ) = +ÿ ekanligini
bildiradi. Shunday qilib, µ ÿ min{µ1, µ2} h(ÿ) = +ÿ ekanligini bildiradi. Demak, µ ÿ min{µ1, µ2}
bo‘lganda hÿ = +ÿ bo‘ladi.
k
a
2
p
va
e ÿbt) t ÿ 0 uchun
t = 0.
y(0, x) = y0(x),
Isbot. Biz quyidagi muammoni ko'rib chiqamiz:
2
x
(t) = ÿµu(t, h(t)),
t > 0,
Faraz qilaylik, y0ÿ ÿ 1 + th va u0ÿ ÿ 1. Bu M2 = 1 + th. Biz quyidagi muammoni ko'rib chiqamiz
1
t > 0,
(37)
cos
2 D
Lemma 4.6. Faraz qilaylik, (4) masaladagi h0 boshlang'ich ma'lumotlari h0 < hÿ bo'lsin. U0(x) va y0(x)
ga qarab µ > 0 mavjud bo‘lib , µ ÿ m bo‘lganda hÿ < ÿ bo‘ladi .
ÿxy(t, 0) = 0,
ÿtu ÿ ÿxxu = u(1 ÿ d(1 + th) ÿ u), t > 0, 0 < x < h(t),
u0(x) dxÿ1 .
ÿ 1 > 0, as h0(1 + e) < hÿ (1 + e)
2h 2
p
h0 = h(0),
ÿ
¯h(t) = h0(1 + e -
u¯(t, x) = ¯y(t, x) = Me ÿbtV
(38)
va µ ÿ µ, bizda h(ÿ) = +ÿ mavjud. Keyin
0 ÿ x ÿ h0,
Bundan tashqari, agar y0ÿ ÿ 1 + th va u0ÿ ÿ 1 bo‘lsa , µ¯ = min {µ1, µ2} ,
p
1
t > 0,
h
p
Machine Translated by Google

---

1
0
'
0
tÿ+ÿ
2
tÿ+ÿ
0
'
Erkin chegaraga ega Lesli-Gower modeli
13
2
2
5. Tarqalish tezligi
0
(l), V
u¯x(t, 0) = ¯yx(t, 0) = 0,
ÿ
g
U(s0) < min
0ÿxÿh0
h(t) h(t) sÿ ÿ lim inf ÿ
lim sup tÿ+ÿ
Barcha x ÿ [0, h0] uchun h0 ÿ h¯(0), u¯(0, x) ÿ u0(x) va ¯y(0, x) ÿ y0(x) boÿlgani uchun , 3.2 Lemma shuni
koÿrsatadiki, h. (t) ÿ h¯(t) da [0, +ÿ). t ÿ +ÿ ni olib, olamiz
(42)
1 ÿ
5.1 teoremani isbotlash. Avval lim sup ÿ sminni isbotlaymiz . Lemma 3.7 dan biz bilamiz
y¯t ÿ Dy¯xx ÿ ky¯ 1 ÿ
Agar µ ÿ µ
= 2(1 + r)pM u¯t
ÿ u¯xx ÿ u¯(1 ÿ u¯) ÿ Me ÿbtV (( p )
V (s0) ÿ 1 ÿ
lU (l) ÿ u0ÿ, gV (l) ÿ y0ÿ barcha l ÿ [0, h0] uchun.
Ushbu bo'limda biz (4) da ko'rsatilgan erkin chegara sharoitida tarqalish tezligi uchun yuqori va
pastki chegaralarni olamiz. Hisob-kitoblar taniqli parametrlar bo'yicha berilgan.
t > 0,
ÿ 1 ÿ b) ÿ 0,
(1+e)2h2
y0(x)
t
Lemmalar 4.4 va 4.6 h0 o'rnatilganda D parametri bo'yicha tarqalish va yo'q bo'lish uchun
boshqa mezonlarga olib keladi .
y¯
(p)) ÿ (0, 0) p ÿ +ÿ sifatida. Keyin, biz l ni tanlashimiz mumkin
ÿ jilmayish,
hÿ ÿ ¯h(ÿ) = h0(1 + d) < hÿ.
,
t
ÿ 0,
M1 + a
(M1 + a),
Bundan tashqari, D, k, µ, r ga qarab s0 > h0 mavjud, shundayki
5.1 teorema. (u, y, h) hÿ = ÿ bilan (4) masala yechimi bo‘lsin va shuni eslaylik.
eh0beÿbt
h¯ÿ (t) + µ[¯ux(t, ¯h(t)) + rÿ¯x(t, h¯(t))] ÿ
t > 0, 0 < x < h¯(t),
V (x) ÿ
4kh2
Lemma 4.7. Ruxsat etilgan h0 > 0 uchun Dÿ = bo'lsin. Keyin,
ÿ Men ÿbtV ((p )
1
(40)
Bu Lemma 4.4 bilan birgalikda isbotni to'ldiradi.
D
t
,
t > 0.
2
keyin to'g'ridan-to'g'ri hisoblash hosil bo'ladi
,
u0(x)
smin = 2 max 1, ÿ Dk .
2µ(1 + r)pM
eh2 b(2 + e) 0
t > 0, 0 < x < h¯(t),
V (s0) < min
0ÿxÿh0
Bu erda sÿ - Lemma 3.8 da ko'rinadigan doimiy.
p2
(i) agar 0 < D ÿ Dÿ bo'lsa, tarqalish sodir bo'ladi (4.1
ta'rifga qarang).
1
¯ keyin tarqalish sodir bo'ladi. Agar m ÿ m bo'lsa, u holda yo'qoladi
u¯(t, h¯(t)) = ¯y(t, ¯h(t)) = 0,
g
2
,
l
Keyin,
(39)
ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ
U(x) ÿ l
(41)
h(t)
(ii) Faraz qilaylik, Dÿ < D ÿ k. Agar µ ÿ µ bo‘lsa,
yuzaga keladi (4.1 ta’rifga qarang).
ÿ k ÿ b) ÿ 0, (1
+ e) 2h 2
eh2 b(2 + e)
U(s0) ÿ 1 ÿ
bu (U(p), V (l)) ÿ (0, 0) va (U va g ÿ 1
shundayki
t > 0,
Machine Translated by Google

---

tÿ+ÿ
tÿ+ÿ
tÿ+ÿ
(s0)) < smin.
'
2
2
'
sÿ = lim
tÿ+ÿ
14
Y. Liu, Z. Guo, M. El Smaily va L. Vang
6. Mavjudlik va yagonalikni isbotlash
h(t) h(t) ÿ lim inf
y¯t ÿ Dy¯xx ÿ ky¯ 1 ÿ
(43)
Ushbu bo'lim mahalliy mavjudligi va asosiy muammoni hal qilishning o'ziga xosligi haqidagi
natijalarni isbotlashga bag'ishlangan (4).
t > 0,
Bundan tashqari,
M1 + a
= jilmayish.
y(t, h(t)) = 0,
+ U(s0) l
ÿ 1
ÿ µ(lUÿ (s0) + grV
t
ÿ
gV (s0)
(g - 1) V - g - 1
u¯(0, x) > u0(x), y¯(0, x) > y0(x), 0 ÿ x ÿ h0 uchun;
,
Keyin, Lemma 3.2 bo'yicha, biz t ÿ 0 uchun h(t) ÿ s(t) ga ega bo'lamiz.
Keyin hisoblab, (42) dan shuni olamiz
t > 0.
ÿ 0.
u¯(t, s(t)) = ¯y(t, s(t)) = 0 barcha t ÿ 0 uchun;