Quyidagi ketma-ketliklarning dastlabki 10ta hadini toping 55. javob. 1,-1,1,-1,1

Quyidagi ketma-ketliklarning dastlabki 10ta hadini toping
55. javob.1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1....

56. javob .....

57. javob 1,1,1,1,1,1,1,1,1,......
58 javob .....
2.Taqinlashuvchi ketma ketlik. Yaqinlashuvchi ketma- ketlik,ketma-ketlikninglimiti tushunchalarini kiritishda va ular ustida gap yuritganda ketma-ketliklarning qariyib hamma elementlari ya’ni ketma-ketlikning chekli sondagi elementlaridan boshqa hamma elementlari ,degan jumladan foydalanish juda qulay buladi. Masalan ushbu

Ketma-ketlikning qariyib hamma elementlari musbat chunki uning birinchi 10ta hadi manfiy, 11-hadi 0 va qolgan barcha elementlari esa musbatdir.
ketma-ketlik berilgan bulsin. Agar biror son topilib quyidagi ikkita shart bajarilsa:
1.ketma-ketlikning qariyib hamma elementlari dan katta ixtiyoriy sondan kichik bulsa ,
2.ketma=ketlikning qariyib hamma elementlari dan katta ixtiyoriy sondan katta bulsa ,ketma ketlik ga yaqinlashadi yoki uning limiti ga teng deyiladi va quyidagicha yoziladi:
(1)
Ushbu ta’rif qo’yidagi ta’rifga teng kuchlidir .
2-ta’rif. ketma-ketlik berilgan bulsin. Agar biror son topilsa va ixtiyoriy son uchun biror musbat butun son topilib barcha larda ushbu

Tengsizlik bajarilsa sonni ketma-ketlikning limiti yoki ketma-ketlik ga yaqinlashadi deyiladi va quyidagicha yoziladi:

Hamma ketma-ketliklar ham yaqinlashuvchi bulavermaydi. Chekli limitga ega bulmagan ketma ketliklar uzoqlashuvchi deyiladi ketma- ketlikning qariyib barcha elementlari ixtiyoriy M sonidan katta bo’lsa ,bu ketma-ketlik ga uzoqlashadi deyiladi va quyidagicha yoziladi:

Xuddi shunday ketma-ketlikning qariyib bacha elementlari ixtiyoriy M sonidan kichik bo’lsa ketma-ketlik ga uzoqlashadi deyiladi va u quyidagicha yoziladi

Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar ustidagi arifmetik amallar qo’yidagi teoremada ifodalangan .

1-teorema Agar bo’lsa

bo’ladi.
1-misol. Qo’yidagi tengsizliklarni ketma-ketlik limitining tarifidan foydalanib isbotlang:

1)buni ko’rstisk uchun avval 1-tarifsagi 1 shartni bajarilishini tekshiramiz. Buning uchun ixtiyoriy sonni olaylik. Endi qanday k larda tengsizlik bajarilishini topaylik. Bu tengsizlik tensizlik bajariladigan butun k larda o’rinlidir . N agar tengsizlikni qanoatlantiruvchi butun son bulsa , barcha larda tengsizlik bajariladi. SHunday qilib berilgan ketma-ketlikning birinchi N-1 hadidan tashqari barcha hadlari b dan kichik buladi.
Demak 1-shart bajarildi.
Endi 2-shartni tekshiramiz . BU ketma-ketlikda 2-shatrning bajarilishini tekshirish juda oson . Xaqiqatsan ham ,ixtiyoriy manfiy a<0 sonni olsak , bu ketma ketlikning barcha hadlari a dan katta. Demak 2-shart ham bajariladi.
2)endu ushbu
(1)
Ketma-ketliklarning 2 ga yaqinlashishini ya’ni
(2)
Ekanligini tarif yordamida kursatamiz .
Birinchi shartning bajarilishini tekshiramiz.Ixtiyoriy b>2 son olamiz . u holda n toq son bo’lsa agar n juft bo’lsa tengsizlik barcha larda bajariladi .Shunday qilib ,agar N ushbu tengsizlikni qanoatlantiradigan butun son bo’lsa ketma-ketlining dastlabki N hadidan tashqari qolgan barcha hadlari tengsizlikni qanoatlantiradi. Masalan agar b=2,0001 bo’lsa , dasrlabki 1000 hadidan keyingi barcha hadlari tengsizlikni qanoatlantiradi.
Endi 2- shartning bajarilishini tekshiramiz. Buning uchun ixtiyoriy a<2 sonni olamiz . Agar n juft bo’lsa

Agar n toq bo’lsa ,

Tengsizlik barcha larda bajariladi. Demak ,N ushbu tengsizlikni qanoatlantiradigan butun son bo’lsa, ketma-ketlikning dastlabki N ta hadidan keyingi barcha hadlari tengsizlikni qanoatlantiradi. Demak 2-shart ham o’rinli ekan /
Endi 2) misolni 2-tarifdan foydalanib yecgamiz. Buning uchun ixtiyoriy sonni olaylik n qanday butun son bulganda.

Tengsizlik o’rinli bo’ladi ? Bu tengsizlik ya’ni tengsizlikni qanoatlantiradigan n larda bajariladi. Demak, N ushbu tengsizlik bajariladigan eng kichik butun son bo’lsa, barcha n>N larda (3) tengsizlik bajariladi. Bu mulohazalar (2) ni isbotlaydi.
2- misol Qo’yidagi limitlarni xisoblang:

1)Bu limit 1-teoremaga asosan quyidaadgicha topiladi:

Bu yerda biz ifodadan foydalandik / Bu ifodani bevosita limitning tarifiga asosan isbotlash ham mumkin .Yuqoridagi birinchi misolning birinchisini etiborga olsak 1- teoremaga asosan quyidagiga ega bo’lamiz.

2)1- teorema va uzoqlashuvchi ketma-ketliklarning tarifiga asosan qo’yidagiga ega bo’lamiz.

3)1- teoremaga asosan qo’yidagi topiladi.

Limitni hisoblash uchun avval formuladan keyin 1- teoremadan foydalanib qo’yidagini hisoblaymiz.

Qo’yidagi ifodalarni ketma-ketlik limitining ta’rifidan foydalanib isbotlang:
59.
60.
Qo’yidagi limitlarni toping
61.
62. javob 2
63.
64. javob 0
65.
66. javob 0
67. javob
68. javob 2
69 javob .
70. javob
6-mavzu FUNKSIYA LIMITINING TA’RIFI

1. 
   Tarif to’plm va son berilgan bo’lsa .Agar nuqtaning ixtiyoriy atrofida X to’plamning dan farqli biror elementi yotsa , nuqtani X to’plamning quyuqlanish yoki limit nuqtasi deyiladi.
   
2. 
   Tarif funksiya to’plamda aniqlangan va nuqta X tuplamning quyuqlanish nuqtasi bulsin .Agar biror A son topilib ixtiyoriy son uchun biror son topilsa va X to’plamning tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha x elementlari uchun qo’yidagi
   

(1)