D. K. S. Makdonald. Termoelektrik hodisalar negiziga kirish

2.2. Boltsman tenglamasi.

Agar metall tayoq yoki boshqa o'tkazgich o’zgarmas T haroratda muvozanatda bo'lsa va unga elektr yoki magnit maydonlar ta'sir qilmasa, f taqsimlash funksiyasi, f₀ "muvozanat" qiymatiga ega bo'ladi.

40-bet.

Metalldagi erkin elektronlar uchun bu odatda Fermi-Dirak taqsimoti sifatida qabul qilinadi:

(26)

bu erda E - v_x, v_y, v_z tezlikli elektronning energiyasi; 𝜻 - elektronlarning kimyoviy potensiali. Agar biz yarimo'tkazgich bilan maxsus ishlayotgan bo'lsak va Maksvell statistikasini to'g'ri deb taxmin qilsak, unda biz quyidagicha yozishimiz mumkin:

. (26a)

26 va 26a tenglamalarni to'g'ridan-to'g'ri taqqoslanganda yarimo'tkazgichda quyidagicha ekanligini ko'rsatadi:

(44-tenglama, 46-bet)

Agar o'tkazgichga elektr maydoni yoki harorat gradienti qo'llanilsa, muvozanatni taqsimlash funktsiyasi doimiy ravishda buziladi, chunki elektronlar elektr maydon tomonidan tezlashadi yoki harorat gradienti ostida bir nuqtadan ikkinchisiga tarqalishga intiladi. Shu bilan birga, elektronlarning panjara tebranishlari nopoklik atomlari yoki boshqa tarqalish mexanizmlari bilan "to'qnashuvi" ni ham aniq hisobga olish kerak bo'ladi, chunki ular odatda narsalarni yana bir bor normal holatga qaytarishga moyil bo’ladi. Shunday qilib, yopiq zanjirdagi o’tkazgichga elektr maydoni ta’sir qilganda, boshlang’ich o’tish davridan keyin barqaror elektr toki paydo bo’ladi. Bu oqim doimiy ravishda elektron taqsimot funksiyasini muvozanatdan uzoqlashtirishga harakat qilayotgan elektr maydoni va elektron taqsimot funksiyasini muvozanat holatiga qaytarishga intiladigan to'qnashuvlar (elektr qarshilik) o'rtasidagi dinamik muvozanatni ifodalaydi. Bundan tashqari, elektr maydoni bir muncha vaqt o'chirilsa, oqim tezda nolga tushadi, bu to'qnashuvlar o'z-o'zidan oldingi holatini qanday tiklashini ko'rsatadi.

41-bet.

Bu umumiy holat analitik tarzda Boltsman tenglamasi deb ataladi va uni quyidagicha yozish mumkin:


, (27)
yoki:


,

bu erda tenglamaning chap tomonida to'qnashuvlar bo'lmaganda elektr yoki magnit maydonlar va harorat gradientlari tomonidan ishlab chiqarilgan, o'ng tomonida esa to'qnashuvlarning taqsimlash funktsiyasiga ta'siri hisobga olinadi. 27 tenglamadan elektr maydoni E va harorat gradienti dT/dx quyidagicha bo'ladi:

(28)

To'qnashuvlar haqidagi eng oddiy taxminimizni quyidagicha yozamiz:

. (29)

29 tenglama shuni anglatadiki, qanday kuchlar yoki harorat gradientlari muvozanatni buzsa ham:

1. 
   to'qnashuvlar doimo elektron taqsimlash funktsiyasini umumiy muvozanat holatiga qaytarishga intiladi;
   
2. 
   qayta tiklash tezligi har doim taqsimlash funktsiyasining (f – f₀) umumiy muvozanatdan aniq chiqib ketishiga chiziqli proporsionaldir; va
   
3. 
   τ bilan aniqlangan tiklanish tezligi muvozanatdan og'ishning barcha turlari uchun doimiydir.
   

Bu shartlar umuman to'g'ri emas, lekin ular Drude oddiy modelining fizik elementlariga chambarchas mos keladi va transport muammolarini ko'rib chiqish uchun juda foydali boshlang'ich nuqtani tashkil qiladi.

42-bet.

Keng ma'noda aytish mumkinki, elektronlarning atrof-muhit bilan katta burchakli kvazi-elastik to'qnashuvi to’g’ri bo'lganda, 29-sonli tenglamaning 2 va 3-shartlari taxminan bajariladi. Bu odatda, taxminan aytsak, yuqori haroratlarda (T ) elektronlarning termal tarqalishi bilan yoki elektronlar kiritma atomlari tomonidan sochilganda sodir bo'ladi. 29 bilan 28 - tenglamadan foydalanib, 28-tenglikning chap tomoniga f=f₀ ni qo’yish orqali f uchun bevosita taxminiy yechim topiladi:


. (30)

elektr tokining zichligi elektron taqsimlash funktsiyasi f bo'yicha juda umumiy tarzda berilgan:

(31)

va energiya oqimining zichligi - (vaqt birligida birlik maydonda elektronlar tomonidan tashiladigan energiya):

. (32)


J_x va ham f=f₀ bo'lganda, ya'ni elektronlar umumiy muvozanatda bo'lganda (biz kutganimizdek) yo'qoladi.
Keling, elektr o'tkazuvchanligiga qanday erishilganligini ko'rsatish uchun 31 tenglamadan foydalanamiz.

43-bet.

30-tenglamaga dT/dx = 0 ni qo’yamiz, shunda metall taxmin qilingan izotermik bo'ladi va shuning uchun 31 tenglamadan quyidagi hosil bo’ladi:

, (33)
25-tenglama yordamidan. Shunday qilib, elektr o'tkazuvchanligi quyidagicha ifodalanadi:


. (34)

Agar biz 29-tenglikdagi τ – bo’shashish vaqtini Drudning "o'rtacha erkin yo'li" l bilan yozish orqali aniqlasak, bu Drude formulasiga (21-tenglama) to'g'ridan-to'g'ri mos keladi:

l=vτ. (35)

Issiqlik o'tkazuvchanligi k uchun mos keladigan ta'rif quyidagicha bo’ladi:

.

Zeebek potentsialini yoki mutlaq termoEYuKni olish uchun, biz birinchi navbatda, harorat gradienti mavjud bo'lganda va kontaktlarning zanglashiga yo'l qo'yilmaganda (ya'ni, ochiq tutashuv shartlari) o'tkazgichda hosil bo'lgan elektr maydonini aniqlashimiz kerak. Umuman olganda o'tkazgichning mutlaq termoEYuKi tomonidan berilganligini ko'rsatish mumkin (masalan, Leech 1959, MacDonald 1958larga qarang):

, (36)

bu erda ɡ - materialdagi o'tkazuvchanlik zaryadlarining birlik musbat zaryadi uchun termodinamik (Gibbs) erkin energiyasi. Agar bizda muqobil ravishda bo’lsa:

,

44-bet.

keyin bunday yozishimiz mumkin:


. (36a)

Agar o'tkazuvchanlik elektronlari bo'lsa, u holda 36-tenglamani qayta yozish mumkin:

, (37)^*

bu erda 𝜻 - o'tkazuvchanlikdagi electron uchun Gibbsning erkin energiyasi yoki Fermi energiyasi(Wilsonning (1936) 257- yoki (1953) 8.42.1-tenglamalariga qarang).

45-bet.

Harorat gradienti ham, elektr maydoni ham mavjud bo'lganda, biz 30 va 31- tenglamalardan quyidagilarga ega bo’lamiz:


, (38)
bu erda qulaylik uchun dv_x dv_y dv_z larning o’rniga 𝗱𝘃 ni yozamiz.Biz J_x=0 (ochiq elektron) ni talab qilamiz va oldingidek τ ni doimiy deb, faraz qilsak, quyidagicha bo’ladi:


(39a)


(39b)

Agar biz izotrop erkin elektron gaz bilan ishlaymiz deb faraz qilsak, masalan, E=1/2m ²>, u holda 39b-ifodadan quyidagi hosil bo’ladi:

, (40)
elektronlar statistikasi haqidagi har qanday taxminlar o’ziga xos mustaqildir. Shunday qilib, 37-tenglamadan:


. (41)

Agar biz, ayniqsa, Fermi-Dirak statistikasiga bo'ysunuvchi erkin elektronli metallni 26 tenglamada berilgan deb hisoblasak, u holda:

, (42a)

bu yerda 𝜻₀ - absolyut noldagi Fermi energiyasining (kimyoviy potensial) qiymati. (Umuman, Compare Mott va Jones, 1936, 178-bet yoki Wilson, 1953, 144-bet,)

. (42b)

46-bet.

Shuningdek, Fermi-Dirac erkin elektronlari uchun:


(14-betdagi, 9-tenglamaga qarang)

Fermi statistikasiga bo'ysunuvchi erkin elektronlar uchun Hense:

, (43)

bu τ doimiy qabul qilingan holda 1-bobda ilgari berilgan 18 va 15b-tenglamalarga mos keladi.

Agar boshqa tomondan, Maksvell statistikasiga bo'ysunadigan o'tkazuvchanlik elektronlari bo'lgan yarimo'tkazgichni ko'rib chiqsak, u holda:
. (44)

(Wilson, 1953, 231-bet yoki 26a tenglama bilan solishtiring) 41-tenglamadan topamiz:

(45)

agar τ doimiy bo'lsa, avval berilgan 19-tenglamaga mos keladi.

Agar endi biz, t elektron energiyasining E funksiyasi bo'lishiga imkon berish orqali tahlilimizni umumlashtirmoqchi bo'lsak, masalan, 38-tenglamadan ko'rinib turibdiki, jalb qilingan integrallarni baholash uchun elektron statistikasi (masalan, degeneratsiyalangan Fermi gazi yoki Maksvell) haqida aniq taxminlar qilishimiz kerak; avvalroq metall yoki yarimo'tkazgich uchun alohida munosabatlar berilgan (masalan, 18 va 19 tenglamalar). Ammo, bu alohida turdagi umumlashtirish zudlik bilan to'liq oqlanadimi yoki yo'qligi biroz shubhali bo'lishi mumkin.

47-bet.

Biz τ ning barcha turdagi buzilishlar uchun qat'iy o’zgarmas doimiy ekanligi haqidagi qulay taxmindan voz kechganimizdan so’ng, Boltsmanning dastlabki 28-tenglamadagi (df/dt)_to’qnashuv ning aniq shaklini diqqat bilan tekshirishimiz kerak bo’ladi. Keng ma'noda, biz beshta asosiy yo'nalishni taklif qilamiz, bu erda biz tarqalish muammolarini hal qilishda ishtirok etadigan taxminlarni diqqat bilan ko'rib chiqishimiz kerak.