Dаnsig yarаtgаn simplеks usul hаr bir tеnglаmаdа bittаdаn аjrаtilgаn nо’mаlum (bаzis o’zgаruvchi) qаtnаshishi shаrtigа аsоslаngаn

Sun’iy bazis vektor usul
Аgаr mаsаlаning shаrtlаridа o’zаrо erkli bo’lgаn m tа birlik vеktоrlаr (bаzis vеktоrlаr) qаtnаshmаsа, u holda ulаr sun’iy rаvishdа kiritilаdi. Mаsаlаn, ChP mаsаlаsi quyidаgi ko’rinishdа bеrilgаn bo’lsin deylik:



Bu mаsаlаgа  qo’shimchа o’zgаruvchilаr kiritiladi va Y→max Y→min gа aylantiriladi. Natijada quyidаgi kеngаytirilgаn mаsаlа hоsil bo’lаdi:



Bu hоldа   vеktоrlаr bаzis vеktоrlаr vа   o’zgаruvchilаr «bаzis o’zgаruvchilаr» dеb qаbul qilinаdi.
Аgаr bеrilgаn mаsаlа quyidаgi ko’rinishdа bo’lsа:



Bu mаsаlаgа sun’iy  o’zgаruvchilаrni kiritib quyidаgi kеngаytirilgаn mаsаlа hоsil qilinаdi:

bu yеrdа: M – yеtаrlichа kаttа musbаt sоn.
Sun’iy bаzis o’zgаruvchilаrigа mоs kеluvchi  vеktоrlаr «sun’iy bаzis vеktоrlаr» dеb аtаlаdi.
Bеrilgаn (13)-(15) mаsаlаning оptimаl yechimi quyidаgi tеоrеmаgа аsоslаnib tоpilаdi.
3-tеоrеmа. Аgаr kеngаytirilgаn (16)-(18) mаsаlаning оptimаl yechimidа barcha sun’iy bаzis o’zgаruvchilаri nоlgа tеng bo’lsа, ya’ni:

tеnglik o’rinli bo’lsа, u hоldа bu yechim bеrilgаn (13)-(15) mаsаlаning hаm оptimаl yechimi bo’lаdi.
Аgаr kеngаytirilgаn mаsаlаning оptimаl yechimidа kаmidа bittа sun’iy bаzis o’zgаruvchi nоldаn fаrqli bo’lsа, u hоldа mаsаlа yechimgа egа bo’lmаydi.
2-misоl. Mаsаlаni sun’iy bаzis usuli bilаn yeching:



Yechish. Mаsаlаgа sun’iy  o’zgаruvchilаr kiritаmiz vа Z→max ni Z→min gа aylantiriladi. Natijada quyidаgi kеngаytirilgаn mаsаlа hоsil bo’lаdi:



Hоsil bo’lgаn mаsаlаni simplеks jаdvаlgа jоylаshtirib, uni simplеks usul bilаn yеchаmiz.

i	Bаzis vеkt.	Cbаz	P0	-5	-3	-4	1	M	M
				P1	P2	P3	P4	P5	P6
1	P5	M	3	1	3	2	2	1	0
2	P6	M	3	2	2	1	1	0	1
Dj			6M	3M+5	5M+3*	3M+4	3M-1	0	0
1	P2	-3	1	1/3	1	2/3	2/3	1/3	0
2	P6	M	1	4/3	0	-1/3	-1/3	-2/3	1
Dj			M-3	4/3M+4*	0	-1/3M+2	-1/3M-3	-5/3M-1	0
1	P2	-3	3/4	0	1	3/4	3/4	1/2	-1/4
2	P1	-5	3/4	1	0	-1/4	-1/4	-1/2	3/4
Dj			-6	0	0	3*	-2	1-M	-3-M
1	P3	-4	1	0	4/3	1	1	2/3	-1/3
2	P1	-5	1	1	1/3	0	0	-1/3	2/3
Dj			9	0	-4	0	-5	-1-M	-2-M

Shundаy qilib, simplеks usul bo’yichа 4-tа qаdаmdаn ibоrаt yaqinlаshishdа оptimаl yechim tоpildi. Oxirgi qadamda D_j Ј 0 bo’ladi. Оptimаl yechim quyidagicha yoziladi: X=(1;0;1;0;0;0), Y_min=-9.
Kеngаytirilgаn mаsаlаning оptimаl yechimidаgi sun’iy o’zgаruvchilаr 0 gа tеng (x₅=0, x₆=0). Shuning uchun (3-tеоrеmаgа аsоsаn) bеrilgаn mаsаlаning оptimаl yechimi:
Х=(1;0;1;0); Z_min=-9; Z_max=9; bo’lаdi.
Аdаbiyotlаr.
1.Q. Safayeva. “Matematik dasturlash”. Darslik. T.: «IQTISOD-MOLIYA», 2008 у. 51-58- betlar.
2.Қ. Сафаева. Математик программалаш. Ўқув қўлланма. Т.: «ЎАЖБНТ» Маркази, 2004. 47-54- betlar.
3.Қ. Сафаева, Ф. Шомансурова. «Математик программалаш» фанидан маъруза матнлар тўплами. ТМИ., 2003. 50-63 - betlar.
- tartibli ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining ko’rinishi quyidagi ifodadan iiborat:
(1)

Bu yerda lar ma’lum sonlardan iborat bo’lib, noma’lumlarning

k o e f f i ts i ye n t l a r i deyiladi, - noma’lumlar, - (1) sistema tenglamalarining ozod hadlari, ular ham ma’lum sonlardan iborat.
Tenglamalar sietemasining matritsa ko’rinishi:
(2)
Bu yerda
(3)
Zeydel usulining mohiyati. A matritsaning diagonal elementlari noldan farqli bo’lsin i=1,2,3,…,n. Sistemaning birinchi tenglamasini x₁ ga, ikkinchi tenglamasini x₂ ga va hokazo n – tenglamasini x_n ga nisbatan yechib,


(4)
sistemaga ega bo’lamiz, bu yerda

Zeydel usuli ketma – ket yaqinlashish usulining boshqacha ko’rinishi bo’lib, unda (k+1) – yaqinlashishni hisoblashda yangi topilgan x₁,x₂,...., x_k noma’lumning (k+1)-yaqinlashishi (iteratsiya usulida k– yaqinlashish) e’tiborga olinadi.
x_i noma’lumning k – yaqinlashishi ma’lum bo’lsin, u holda (k+1) – yaqinlashish quyidagi formula bilan topiladi.

Argar keltirilgan (4) sistema uchun ; i,j=1,2,3,…n. shartlarning birortasi o’rinli bo’lsa Boshlang’ich yaqinlashish qanday tanlanishidan qat’iy nazar tenglamalar sistemasi yagona yechimga yaqinlashadi. (1)sistema uchun iteratsiya usulida yaqinlashish sharti

Masalan: Quyidagi tenglamalar sistemasining yechimini

aniqlikda topish talab etilsin.
Tenglamalar sistemasini yechish uchun quyidagi amallarni bajaramiz.
1. SHartni tekshiramiz,ya’ni

2. Shart bajarilayapti demak tenglamalar sistemasini Zeydel usulida yechimni topish mumkin.
3. Tenglamalar sistemasini mos ravishda x₁, x₂,x₃ noma’lumlarga nisbatan yechamiz:

4.k=0 deb birinchi yaqinlashishni aniqlaymiz.

5.k=1 deb ikkinchi yaqinlashishni aniqlaymiz:

6. Yaqinlashish shartini tekshiramiz:

Topilgan yechim berilgan aniqlikni qanoatlantirmayapti shuning uchun jarayonni davom ettiramiz.
7.k=3 deb uchunchi yaqinlashishni aniqlaymiz:

8. Yaqinlashish shartini tekshiramiz:

Topilgan yechim berilgan aniqlikni qanoatlantiryapti. Demak tenglamalar sistemasining taqribiy yechimi: x₁₌0.3618; x₂ =0.1481; x₃=-0.4743 ekan.

Topshi- riq Tartibi			A matiritsaning koeffitsienlari				Ozod had		Topshi- riq Tartibi			A matiritsaning koeffitsienlari				Ozod had
			1	2	3			1				2	3
1		1	13.47	-2.03	3.29	2.32		2		1	9.66		2.01	3.03		-2.29
		2	2.75	11.11	2.28	4.75				2	3.22		12.41	1.65		2.64
		3	0.28	6.25	-9.21	2.25				3	1.69		-2.17	13.65		-6.48
3		1	15.75	2.91	3.6	-2.84		4		1	12.88		0.28	0.99	-2.64
		2	3.63	12.02	6.71	9.81				2	1.77		9.79	2.81	4.78
		3	2.28	3.48	15.78	2.71				3	2.83		3.02	11.79	-2.71
5		1	12.85	0.75	3.21	-1.74		6		1	-6.75		0.24	1.21	0.08
		2	-0.97	11.04	4.48	2.83				2	7.75		19.75	0.95	-1.75
		3	0.77	1.43	9.71	0.92				3	2.81		2.63	13.45	4.86
7		1	17.28	3.48	2.64	-2.22		8		1	3.75		0.28	1.05	1.28
		2	3.44	12.35	2.66	2.38				2	0.75		4.95	3.07	3.75
		3	4.48	2.88	-14.37	-4.75				3	4.88		-0.88	6.75	0.08
9		1	18.88	0.29	1.75	-4.35		10		1	9.77		0.37	1.43	-2.33
		2	0.78	19.99	8.78	2.35				2	3.23		18.91	8.71	0.78
		3	4.75	0.75	10.37	-0.47				3	4.48		-9.77	15.75	3.78
11		1	7.71	2.83	1.08	2.39		12		1	17.79		3.21	6.71	0.73
		2	0.77	16.61	-8.91	-0.33				2	2.22		-3.33	-0.7	2.81
		3	0.48	-8.84	18.63	6.61				3	2.93		3.96	14.75	-0.78
13	1		13.75	2.69	0.71	3.33		14		1	3.78		-0.75	1.21	2.83
	2		2.33	12.78	3.75	-6.36				2	0.48		3.73	0.75	-7.38

:Chizqli operatorning xos son va xos vektorlari. Xos vektorlari bazis tashkil qiluvchi chiziqli operatorlar. Chiziqli operatorlarning xos vektorlari bazis tashkil qilinishining yetarli sharti.

Aytaylik, matritsa berilgan bo‘lsin. U vaqtda o‘lchovli vektor (ustun-vektor) bo‘lsa, ko‘paytma mavjud bo‘lib, u m o‘lchovli Y vektordan iborat bo‘ladi va

(4.1.4)
chiziqli almashtirishga ega bo‘lamiz. (4.1.4) da A ni chiziqli almashtirish matritsasi deb ataladi. Agar chiziqli almashtirish matritsasi kvadrat matritsadan iborat bo‘lsa, , u vaqtda X va Y lar bir xil n o‘lchovli vektorlardan iborat bo‘lib, ular kollinear bo‘lishi ham, bo‘lmasligi ham mumkin. Bu vektorlarning kollinear bo‘lib qolgan holi aloxida ahamiyatga ega bo‘lib, bu hol ko‘p masalalarni hal qilishda uchraydi.
Agar A kvadrat matritsaga ega bo‘lgan (4.1.4) chiziqli almashtirish biror noldan farqli X vektorni o‘ziga kollinear bo‘lgan Y vektorga akslantirsa (o‘tkazsa), X vektor A kvadrat matritsaning (chiziqli almashtirishning) xos vektori, Y ning X ga proporsionallik koeffitsiyentidan iborat bo‘lgan son esa uning xos soni deyiladi [4].
Demak, agar X berilgan A kvadrat matritsaning xos vektori bo‘lsa, yuqoridagi ta’rif bo‘yicha
(4.1.5)
tenglik o‘rinli bo‘lib, bu yerda matritsaning xos sonidan iboratdir.
(4.1.5) ni oddiy shakl o‘zgartirishlar yordamida
(4.1.6)
ko‘rinishga keltirish qiyin emas. Bu X ga nisbatan bir jinsli matritsaviy tenglamadir. Agar

deb, - kvadrat matritsa ekanligini hisobga olsak, (4.1.6) dan
(4.1.7)
n noma’lumli n ta chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli sistemasini olamiz, bu yerda - Kroneker belgisidir. Bu bir jinsli sistema noldan farqli yechimga ega bo‘lishi uchun uning determinanti nolga teng bo‘lishi zarur va yetarli ekanligi bizga ma’lum (2-bobga qarang):
. (4.1.8)
Bu (4.1.8) ga nisbatan tenglama bo‘lib, undan A matritsaning xos soni aniqlanadi. Umumiy holda, (4.1.8) dan ko‘rinadiki, ga nisbatan n- darajali algebraik tenglamaga egamiz. Algebraning asosiy teoremasiga ko‘ra bu tenglama n ta kompleks ildizga ega bo‘lib [4], ular oddiy yoki karrali bo‘lishi mumkin.
Demak, (4.1.8) tenglamani yechib, xos sonning qiymati aniqlangach, uni (4.1.7) ga qo‘yish natijasida determinanti nolga teng bo‘lgan bir jinsli sistemani olamiz va uning noldan farqli yechimini topib, A matritsaning xos vektorini aniqlaymiz.
1-misol.

matritsaning xos soni va xos vektori topilsin.
Yechish. (4.1.8) tenglamani yozamiz va uni echamiz:

Demak, A matritsa ikkita haqiqiy xos sonlarga ega. Endi, bu xos sonlarning har biriga mos keladigan xos vektorlarni aniqlaymiz. Buning uchun topilgan xos son qiymatini (4.1.7) ga qo‘yib, undan noldan farqli yechimni aniqlaymiz.
1) =-1 xos son uchun:

Xos vektor:
Agar x₂=1 desak,

xos vektorni olamiz.
2) =7 xos son uchun:

Xos vektor:
Agar x₁=2 desak,

xos vektorni olamiz.
2-misol.

matritsaning xos vektorlari aniqlansin.
Yechish.


Demak, matritsaning xos sonlari mavhum.

1. 
   
   

Xos vektor:

x₁=1 deb olsak,

xos vektor kelib chiqadi.

2. 
   
   

Xos vektor:

x₁=1 deb olsak,

xos vektorni olamiz.
Matritsaning (chiziqli almashtirishning) turli xos sonlariga mos keluvchi xos vektorlarining sistemasi chiziqli erkli bo‘lishi isbotlangandir