Davriy bo'lmagan signallar spektorlarni qabul qilish Signalning spektral xossalari

Davriy bo'lmagan signalning spektral xarakteristikalari
Yagona signal radiotexnikada davriy bo'lmagan signal sifatida qaralganligi sababli, uning spektrini topish uchun biz signalni davriy signal sifatida davr bilan ifodalaymiz. Berilgan davr uchun Furye qatorini o‘zgartirishdan foydalanamiz. Buning uchun oling:

Olingan ifodani tahlil qilish shuni ko'rsatadiki, da , komponentlarning amplitudalari cheksiz kichik bo'ladi va ular doimiy ravishda chastota o'qida joylashgan. Keyin, bu vaziyatdan chiqish uchun biz spektral zichlik tushunchasidan foydalanamiz:

Olingan ifodani kompleks Furye qatoriga almashtiramiz, biz quyidagilarni olamiz:

Nihoyat, biz olamiz:

Bu erda spektral zichlik va ifodaning o'zi to'g'ridan-to'g'ri Furye konvertatsiyasidir. Signalni uning spektridan aniqlash uchun teskari Furye konvertatsiyasi qo'llaniladi:

Furye transformatsiyasining xossalari
To'g'ridan-to'g'ri va formulalaridan teskari o'zgarishlar Furye, agar signal o'zgarsa, uning spektri ham o'zgarishi aniq. Quyidagi xususiyatlar o'zgartirilgan signal spektrining o'zgarishlardan oldin signal spektriga bog'liqligini o'rnatadi.
1) Furye konvertatsiyasining chiziqlilik xossasi

Biz signallar yig'indisining spektri ularning spektrlari yig'indisiga teng ekanligini aniqladik.
2) Signalning spektri vaqt o'tishi bilan o'zgargan
Signal siljishda amplituda spektri o'zgarmasligi, faqat faza spektri qiymatga o'zgarishi aniqlandi.
3) Vaqt shkalasini o'zgartirish

ya'ni signal bir necha marta kengayganda (toraysa), bu signalning spektri torayadi (kengaydi).
4) Siqilish spektri
5) Signal hosilasi spektri
Teskari Furye konvertatsiyasining chap va o'ng tomonlarining hosilasini oling.

Signalning hosilasi spektri asl signalning spektriga ko‘paytirilishiga teng ekanligini, ya’ni amplituda spektri o‘zgarib, faza spektri o‘zgarishini ko‘ramiz.
6) Signalning integral spektri
Teskari Furye konvertatsiyasining chap va o'ng tomonlarining integralini oling.

Ko'ramizki, signal hosilasi spektri asl signalning spektriga teng bo'ladi:
7) Ikki signal mahsulotining spektri

Shunday qilib, ikkita signal mahsulotining spektri ularning spektrlarining konvolyutsiyasi koeffitsientga ko'paytiriladi.
8) Ikkilik xususiyati
Shunday qilib, agar spektr qandaydir signalga mos kelsa, u holda yuqoridagi spektrga mos keladigan shakldagi signal yuqoridagi signalga to'g'ri keladigan shakldagi spektrga mos keladi.
Furye tasvirlari - Furye seriyasining murakkab koeffitsientlari F(j w k) davriy signal (1) va spektral zichlik F(j w) davriy bo'lmagan signal (2) - bir qator umumiy xususiyatlarga ega.
1. Chiziqlilik . Integrallar (1) va (2) funktsiyani chiziqli o'zgartirishni amalga oshiring f(t). Shuning uchun funktsiyalarning chiziqli birikmasining Furye tasviri ularning tasvirlarining o'xshash chiziqli birikmasiga teng. Agar f(t) = a 1 f 1 (t) + a 2 f 2 (t), keyin F(j w) = a 1 F 1 (j w) + a 2 F 2 (j w), qayerda F 1 (j w) va F 2 (j w) - signallarning Furye tasvirlari f 1 (t) va f 2 (t), mos ravishda.
2. Kechikish (davriy funktsiyalar uchun vaqtning kelib chiqishini o'zgartirish) . Signalni ko'rib chiqing f 2 (t), bir muddat kechiktirildi t Signalga nisbatan 0 f 1 (t) bir xil shaklga ega: f 2 (t) = f 1 (t – t 0). Agar signal bo'lsa f 1 rasmi bor F 1 (j w), keyin signalning Furye tasviri f 2 teng F 2 (j w) == . ga ko'paytirish va bo'lish, biz atamalarni quyidagicha guruhlaymiz:
Chunki oxirgi integral F 1 (j w), keyin F 2 (j w) = e -j w t 0 F 1 (j w) . Shunday qilib, signal bir muddat kechiktirilganda t 0 (vaqtning kelib chiqishini o'zgartirish), uning spektral zichligi moduli o'zgarmaydi va argument w ga kamayadi t 0 kechikish vaqtiga mutanosib. Shuning uchun signal spektrining amplitudalari kelib chiqishiga bog'liq emas va kechikish bilan dastlabki fazalar. t 0 w ga kamayadi t 0 .
3. Simmetriya . Yaroqli uchun f(t) tasvir F(j w) konjugat simmetriyaga ega: F(– j w) = . Agar f(t) juft funksiya bo‘lsa, Im F(j w) = 0; toq funksiyasi uchun Re F(j w) = 0. Modul | F(j w)| va Re-ning haqiqiy qismi F(j w) - juft chastotali funksiyalar, arg argumenti F(j w) va Im F(j w) - g'alati.
4. Differentsiatsiya . To'g'ridan-to'g'ri o'zgartirish formulasidan qismlarga bo'linib, biz signal hosilasi tasvirining ulanishini olamiz. f(t) signalning o'zi tasviri bilan
Mutlaq integrallanadigan funksiya uchun f(t) integral bo'lmagan a'zo nolga teng, demak, da, va oxirgi integral dastlabki signalning Furye tasvirini ifodalaydi. F(j w) . Shuning uchun hosilaning Furye tasviri df/dt aloqa orqali signalning o'zi tasviri bilan bog'liq j w F(j w) - signalni farqlashda uning Furye tasviri ko'paytiriladi j w. Xuddi shu munosabat koeffitsientlar uchun ham amal qiladi F(j w k dan cheklangan chegaralar ichida integratsiya bilan aniqlanadi - T/2 dan + gacha T/2. Haqiqatan ham, mahsulot tegishli chegaralar ichida
Chunki, funksiyaning davriyligi tufayli f(T/2) = f(– T/2), a = = = (- 1) k, u holda bu holda integraldan tashqaridagi atama yo'qoladi va formula
bu erda o'q ramziy ma'noda to'g'ridan-to'g'ri Furye konvertatsiyasining ishini bildiradi. Bu munosabatni ko'p farqlash uchun ham umumlashtirish mumkin: uchun n-chi hosila bizda: d n f/dt n (j w) n F(j w).
Olingan formulalar funksiyaning ma'lum spektridan hosilalarining Furye tasvirini topish imkonini beradi. Bu formulalarni differentsiallash natijasida Furye tasviri soddaroq hisoblangan funksiyaga kelgan hollarda ham foydalanish qulay. Shunday qilib, agar f(t) qismli chiziqli funktsiya, keyin uning hosilasi df/dt bo'lak konstanta bo'lib, uning uchun to'g'ridan-to'g'ri o'zgartirish integralini elementar tarzda topish mumkin. Funktsiya integralining spektral xarakteristikalarini olish f(t) uning tasvirini ajratish kerak j w.
5. Vaqt va chastota ikkiligi . To'g'ridan-to'g'ri va teskari Furye o'zgarishlarining integrallarini taqqoslash ularning o'ziga xos simmetriyasi to'g'risida xulosa chiqarishga olib keladi, agar teskari o'zgartirish formulasi qayta yozilsa, 2p omil tenglamaning chap tomoniga o'tkazilsa, aniqroq bo'ladi:
Signal uchun f(t), bu vaqtning juft funksiyasi f(– t) = f(t) spektral zichlik bo'lganda F(j w) - haqiqiy qiymat F(j w) = F(w), ikkala integral kosinus Furye konvertatsiyasining trigonometrik shaklida qayta yozilishi mumkin:
O'zaro almashtirish bilan t va w to'g'ridan-to'g'ri va teskari o'zgarishlarning integrallari bir-biriga aylanadi. Bundan kelib chiqadiki, agar F(w) vaqtning teng funksiyasining spektral zichligini ifodalaydi f(t), keyin funksiya 2p f(w) - signalning spektral zichligi F(t). G'alati funktsiyalar uchun f(t) [f(t) = – f(t)] spektral zichlik F(j w) sof xayoliy [ F(j w) = jF(w)]. Bu holda Furye integrallari sinus o'zgarishlar ko'rinishiga keltiriladi, shundan kelib chiqadiki, agar spektral zichlik jF(w) toq funksiyaga mos keladi f(t), keyin qiymat j 2p f(w) signalning spektral zichligini ifodalaydi F(t). Shunday qilib, bu sinflar signallarining vaqtga bog'liqligi va uning spektral zichligi grafiklari bir-biriga dualdir.
Radiotexnikada signallarning spektral va vaqtinchalik tasviri keng qo'llaniladi. Signallar o'z tabiatiga ko'ra tasodifiy jarayonlar bo'lishiga qaramasdan, tasodifiy jarayonning individual amalga oshirilishi va ba'zi bir maxsus (masalan, o'lchash) signallarni deterministik (ya'ni ma'lum) funktsiyalar deb hisoblash mumkin. Ikkinchisi odatda davriy va davriy bo'lmaganlarga bo'linadi, ammo qat'iy davriy signallar mavjud emas. Signal shartni qondirsa, davriy deyiladi
vaqt oralig'ida , bu erda T doimiy qiymat, davr deb ataladi va k har qanday butun sondir.
Davriy signalning eng oddiy misoli garmonik tebranish (yoki qisqacha garmonik).
bu yerda amplituda, = chastota, dumaloq chastota, garmonikaning boshlangich fazasi.
Muhimligi Radiotexnika nazariyasi va amaliyoti uchun garmonika tushunchasi bir qator sabablar bilan izohlanadi:

1. 
   garmonik signallar faqat amplituda va fazani o'zgartirib, statsionar chiziqli elektr zanjirlari (masalan, filtrlar) orqali o'tganda o'z shakli va chastotasini saqlab qoladi;
   
2. 
   garmonik signallar juda sodda tarzda ishlab chiqariladi (masalan, LC osilatorlari yordamida).
   

Davriy bo'lmagan signal - bu cheklangan vaqt oralig'ida nolga teng bo'lmagan signal. Davriy bo'lmagan signalni davriy deb hisoblash mumkin, ammo cheksiz katta davrga ega. Davriy bo'lmagan signalning asosiy xususiyatlaridan biri uning spektridir. Signal spektri - signal tarkibidagi turli garmonikalar intensivligining ushbu harmonikalarning chastotasiga bog'liqligini ko'rsatadigan funktsiya. Davriy signalning spektri - Furye seriyasi koeffitsientlarining ushbu koeffitsientlar mos keladigan harmoniklarning chastotasiga bog'liqligi. Davriy bo'lmagan signal uchun spektr signalning to'g'ridan-to'g'ri Furye konvertatsiyasi hisoblanadi. Demak, davriy signalning spektri diskret spektr (chastotaning diskret funksiyasi), davriy bo'lmagan signal esa uzluksiz spektr (uzluksiz) spektr bilan tavsiflanadi.
Diskret va uzluksiz spektrlar turli o'lchamlarga ega ekanligiga e'tibor qarataylik. Diskret spektr signal bilan bir xil o'lchamga ega, uzluksiz spektrning o'lchami esa signal o'lchamining chastota o'lchamiga nisbatiga teng. Agar, masalan, signal elektr kuchlanishi bilan ifodalangan bo'lsa, u holda diskret spektr voltsda [V] va doimiy spektr har bir gerts uchun voltsda [V/Hz] o'lchanadi. Shuning uchun "spektral zichlik" atamasi uzluksiz spektr uchun ham qo'llaniladi.
Avval o'ylab ko'ring spektral tasvir davriy signallar. Matematika kursidan ma'lumki, Dirixle shartlarini qanoatlantiradigan har qanday davriy funksiya (zaruriy shartlardan biri energiyaning chekli bo'lishi sharti) trigonometrik shaklda Furye qatori bilan ifodalanishi mumkin:
bu erda signalning davrdagi o'rtacha qiymatini aniqlaydi va doimiy komponent deb ataladi. Chastota signalning asosiy chastotasi (birinchi garmonikaning chastotasi) deb ataladi va uning ko'paytmalari yuqori harmonikalar deb ataladi. (3) ifoda quyidagicha ifodalanishi mumkin:
a va b koeffitsientlari uchun teskari munosabatlar shaklga ega
1-rasmda ketma-ket (6) trigonometrik shakli uchun davriy signalning amplituda spektri grafigining tipik ko'rinishi ko'rsatilgan:
Ifodani ishlatish (Eyler formulasi).
(6) o‘rniga Furye qatorining murakkab shaklini yozishimiz mumkin:
Bu erda koeffitsient harmonikaning murakkab amplitudalari deb ataladi, ularning qiymatlari (4) va Eyler formulasidan kelib chiqqan holda, quyidagi ifoda bilan aniqlanadi:
(6) va (9) ni taqqoslab shuni ta'kidlaymizki, Furye seriyasining murakkab shaklidan foydalanganda k ning manfiy qiymatlari "salbiy chastotalar" bo'lgan komponentlar haqida gapirishga imkon beradi. Shu bilan birga, salbiy chastotalarning ko'rinishi rasmiy xarakterga ega va haqiqiy signalni ifodalash uchun murakkab belgilarni qo'llash bilan bog'liq.
Keyin (9) o'rniga biz quyidagilarni olamiz:
[amplituda / gerts] o'lchamiga ega va 1 Gerts diapazoni uchun signal amplitudasini ko'rsatadi. Shuning uchun bu uzluksiz chastota funksiyasi S(jw) murakkab amplitudalarning spektral zichligi yoki oddiygina spektral zichlik deb ataladi. Biz bir muhim holatga e'tibor qaratamiz. (10) va (11) ifodalarni solishtirsak, w=kwo uchun ular faqat doimiy koeffitsient bilan farq qilishini ko'ramiz.
bular. T davriga ega davriy funktsiyaning murakkab amplitudalarini intervalda berilgan bir xil shakldagi davriy bo'lmagan funksiyaning spektral xarakteristikasidan aniqlash mumkin. Yuqoridagilar spektral zichlik moduliga nisbatan ham to'g'ri keladi:
Bu munosabatdan kelib chiqadiki, davriy bo'lmagan signalning uzluksiz amplitudali spektri konverti va davriy signalning chiziqli spektri amplitudalari konverti shakli bir-biriga mos keladi va faqat masshtab jihatidan farq qiladi. Keling, davriy bo'lmagan signalning energiyasini hisoblaylik. Tengsizlikning (14) ikkala qismini s(t) ga ko‘paytirib, cheksiz chegaralarda integrallash natijasida hosil bo‘ladi:
Bu yerda S(jw) va S(-jw) murakkab konjugat miqdorlardir. Chunki
Bu ifoda davriy bo'lmagan signal uchun Parseval tengligi deyiladi. U signalning umumiy energiyasini aniqlaydi. Bundan kelib chiqadiki, w chastotasi atrofida chastota diapazoni 1 Gts uchun signal energiyasidan boshqa narsa yo'q. Shuning uchun funksiya ba'zan s(t) signalining spektral energiya zichligi deb ataladi. Endi biz Furye transformatsiyasining asosiy xossalarini ifodalovchi spektrlarga oid bir qancha teoremalarni isbotsiz keltiramiz.
Chastota javobining shakli dampingning spektral tasviridan boshqa narsa emas sinusoidal signal. Bundan tashqari, ma'lumki, bitta elektr tebranish davrining amplituda-chastota xarakteristikasi xuddi shunday shaklga ega.
Ayrim qurilmalarning amplituda-chastota xarakteristikasi shakli va signal xossalari oʻrtasidagi bogʻliqlik nazariy elektrotexnika va nazariy radiotexnika asoslarida oʻrganiladi. Qisqacha aytganda, bizni endi nima qiziqtirishi kerak.
Tebranish zanjirining amplituda-chastota xarakteristikasi konturda ushbu tebranish konturining zarba qo'zg'alishi paytida paydo bo'ladigan signalning chastota spektri tasviriga to'g'ri keladi. Ushbu fikrni ko'rsatish uchun 1-3-rasm ko'rsatilgan, unda tebranuvchi konturga zarba berilganda yuzaga keladigan namlangan sinusoid ko'rsatilgan. Bu signal o'z vaqtida beriladi O m ( a) va spektral ( b) tasvir.