Деформация. Деформация тензори

1.Нисбий узайиш коэфициенти. Ушбу нисбат
(13.10) нисбий узайиш коэффициенти деб аталади. Бунда ds₀ ва ds
кичик моддий кесманинг бошланғич ва актуал ҳолатлардаги узунлиги. Агар кесма координата чизиғида бўлса, нисбий узайиш коэффициенти деб белгиланади.
2. Деформация тензори ковариант компоненталарининг механик маъноси.
Актуал ҳолат учун метрик тензор компоненталари
( 13.11)
ва бошланғич ҳолат учун метрик тензор компоненталари
(13.12)
формулалар билан аниқланишини биламиз.
Бу ерда Лагранж координата системасида актуал ва бошланғич ҳолатларнинг базис векторлари орасидаги бурчаклар.

Ушбу
(13.13)

нисбатда ds_i ва ds_0i лар координата чизиғининг актуал ва бошланғич ҳолатдаги элементлари.
(13.1) ва (13.13) дан
(13.14)
тенгликни оламиз. Бундан ва деформация тензори ифодаси (13.6) дан эса
(13.15)
муносабатни оламиз. Бунда индекслар бирхил ва турли бўлган ҳолларни алоҳида қараймиз.
Агар индекслар i=j бўлса, (13.15) дан
(13.16
Ёки га нисбатан квадрат тенгламадан
(13.17)
Бундан деформация кичик бўлганда
тақрибий тенглик ўринли бўлади. (13.18)
Бошланғич ҳолатда декарт координата системаси олинса, ва демак
(13.19)
тақрибий тенглик ўринли эканини кўрамиз. Шундай қилиб, индекслар устма – уст тушганда деформация тензорининг ковариант компоненталари
бошланғич ҳолат (декарт) координата системаси ўқлари бўйлаб нисбий узайишга тенг экан.
Изоҳ. (13.6) да 0.5 кўпйтирувчи киритилиши туфайли (13.19) тенгликда кўпайтиривчи 1 га тенг.
Энди ҳолни қараймиз. Бошлағич ҳолатдаги лагранж координата системасини декарт координата системаси қилиб танлаймиз. У ҳолда
(13.20)
Бу тенгликларни эътиборга олиб,
(13.21)

белгилашни киритсак, бўлганда (13.15)

(13.22)

кўринишни олади. Бундан деформациялар кичик бўлса,

(13.23)
тақрибий тенглик ўринли бўлади,яъни

(13.24)
Демак, агар бошланич лагранж координаталари сифатида декарт координата системаси олинган бўлса, деформация тензорининг ковариант компоненталари ( ) лар ўқларида ётган моддий кесмалаар орасидаги бурчак ўзгаришининг ярмига тенг(Расм).
Демак,агар бошланич лагранж координаталари сифатида декарт координата системаси олинган бўлса, ( ) компоненталар ўқларида ётган моддий кесмалаар орасидаги бурчак ўзгаришининг ярмига тенг. нинг матрицаси
(14.14) Расм3
(14.14) кўринишга эга.
Деформация тензорининг турли индексли компоненталарини силжиш деформациялари ҳам деб аташади, чунки улар индивидуал нуқта атрофидаги қатламларни нисбий силжишини характерлайди. Расм 3 да деформациягача тўғрибурчакли параллелипед шаклида бўлган индивидуал зарра деформациядан сўнг тўғри бурчакли бўлмаган параллелипед шаклини олгани кўрсатилган. Биринчи ва иккинчи координата чизиқлари орасидаги бурчак ҳақиқатан ҳам эементар параллелипеднинг юқори қиррасидаги индивидуал нуқталар пастки қатламга нисбатан силжишига мос келади.