Деформация. Деформация тензори

Маъруза № 9 (2-курс)
Деформация. Деформация тензори.
Деформация. Муҳитнинг ихтиёрий кўчишида кичик зарранинг деформацияси. Грин ва Альманси деформация тензорлари1. Деформация. Муҳитнинг ихтиёрий кўчишида кичик зарранинг деформацияси.
Муҳит моддий кесмалари узунлигининг ва улар орасидаги бурчакларнинг ўзгариши деформация деб аталади. Деформацияни аниқлаш учун муҳитнинг икки ҳолати - бошланғич ва актуал, яъни деформацияланган ҳолатлари таққосланади. Жисмнинг турли қисмларида деформация турли бўлиши мумкин. Шуни эътиборга олиб, деформациянинг миқдорий характеристикаларини аниқлаш учун кичик зарра (бирор М нуқтанинг кичик атрофи) деформациясини қараймиз.
Муҳитдаги бирор ҳажмнинг икки ҳолатини қарайлик (Расм 1):

Расм1.
а) биринчи ҳолат. Уни жисмнинг бошланғич ҳолати деймиз;
б)иккинчи ҳолат. Уни жисмнинг актуал ёки деформацияланган ёки охирги ҳолати деймиз.
Бунда иккинчи ҳолатнинг деформацияси биринчи ҳолатга нисбатан қаралади. Тескарисини, яъни б) ни биринчи ҳолат деб ҳам олиш мумкин.
Бошланғич ҳолатда бирор фазовий координата системасини,қулайлик учун декарт координата системасини киритамиз. Индивидуал нуқтанинг (зарранинг) бошланғич ҳолатдаги координатасини , шу зарраларнинг актуал ҳолатдаги координатасини деб белгилаймиз. Ушбу координаталар системаси орасидаги боғланиш
(13.1)
узлуксиз ва ўзаро бирқийматли деб ҳисоблаймиз. Бунда:

1. 
   муҳитда узулишлар юз бермайди;
   
2. 
   Муҳитнинг икки нуқтаси(зарраси) битта фазовий нуқтага тушмайди ва битта зарра иккита фазовий нуқтада жойлашмайди.
   

Қаралаётган жисмда кичик зарра - ихтиёрий М нуқта (Расм1 да а)) нинг кичик атрофини қараймиз.(М нуқтанинг бошланғич ҳолатдаги координатаси деб ва актуал ҳолатдагиси (Расм1 да б)) деб олинди). Актуал ҳолатда М нуқтанинг кичик атрофи
Бунда (13.1) га кўра
(13.2)
Шундай қилиб кичик зарранинг ўзгариши: 1) унинг маркази М билан бирга кўчиши; 2) барча кичик веторларнинг векторларга айланишидан иборат. (13.2) даги М нуқтага боғлиқ , бироқ га боғлиқ бўлмаган матрица дисторсия матрицаси деб аталади. Демак (13.2) чизиқли, яъни аффин алмаштириш. Аффин алмаштиришнинг кичик заррада содир бўладиган ўзгаришларни ойдинлаштирадиган хоссаларини келтирамиз.

1. 
   Тўғри чизиқлар тўғри чизиққа, параллел тўғри чизиқлар - параллел тўғри чизиқларга, паралеллограм – паралеллограмга ўтади. Бундан қаралаётган атрофдаги барча параллел кесмалар бирхил чўзилиши келиб чиқади.
   
2. 
   Иккинчи тартибли сиртлар иккинчи тартибли сиртларга ўтади, хусусан сфера эллипсоидга ўтади ва бунда сферанинг қўшма диаметрлари эллипсоиднинг қўшма диаметрларига ўтади. Эллипсоидда битта ўзаро перпендикуляр қўшма диаметрлар учлиги бор. Бу учлик сферанинг қўшма диаметрларидан пайдо бўлган. Сферанинг барча қўшма диаметрлари ўзаро перпендикуляр. Юқорида айтилганлардан аффин алмаштиришда ҳеч бўлмаганда битта шундай ўзаро перпндикуляр ўқлар учлиги мавжудки, деформациягача шу ўқларга параллел бўлган ўзаро перпендикуляр тўғри чизиқлар деформациядан кейин ҳам ўзаро перпендикуляр бўлади. Бу ўқлар деформациянинг бош ўқлари дейилади.
   
3. 
   Аффин алмаштиришда ҳажмнинг нисбий ўзгариши ажратилган ҳажмнинг шаклига боғлиқ эмас. Демак ҳажмнинг нисбий ўзгаришини ҳисоблаганда ихтиёрий қулай шаклини олиш мумкин, масалан сфера ёки параллелипед.
   

Хулоса.Кичик зарранинг ихтиёрий силлиқ ўзгариши қуйидагилардан ташкил топади:

1. 
   Илгарилама кўчиш,
   
2. 
   Бош ўқларнинг бурилиши билан аниқланган бурилиш,
   
3. 
   Бош ўқлар бўйлаб чўзилиш ёки сиқилиш.