Деформация. Деформация тензори

2.Грин ва Альмансининг деформация тензорлари.
Грин ва Альмансининг деформация тензорларини киритиш учун Лагранж координата системси дан фойдаланамиз. Лагранж координаталари – ҳарбир индивидуал нуқта учун фиксирланган, деформация жараёнида ўзгармайдиган параметрлар. Шунинг учун М нуқтанинг координатаси деформациягача бўлса, деформациядан кейин ҳам бўлади. Худди шундай ҳам бир хил бўлади. Демак координата системасининг ўзи муҳит билан бирга деформацияланади (Расм2).
Расм2.

Бошланғич ва актуал ҳолатлардаги базис векторлар ва метрик тензорларни қуйидагича белгилаймиз

ва (13.3)
Маълумки, бунда М нуқтадан чиқувчи злементар кўчиш векторлари узунлигиниг квадрати қуйидаги тенгликлар билан аниқланади
ва (13.4)
Бундан
(13.5)
(13.5) да
(13.6)
белгилашни киритсак, (13.5) тенгликдан
(13.7)
кўринишда ёзилади. Бошланғич ҳолат базис векторлар ёрдамида ҳосил қилинган ушбу
(13.8)
тензор Гриннинг деформация тензори(Лагранж деформация тензори) деб аталади. Актуал ҳолатдаги базис векторлар ёрдамида ҳосил қилинган
(13.9)
тензорни эса Альмансининг деформация тензори ёки Эйлер деформация тензори деб аталади. Бу (13.8) ва (13.9) тензорларда бирхил (13.6) формула билан аниқланган.
Изоҳ.
1) тензор компоненталари эканлиги (13.6) дан ёки (13.7) ва тензорларни бўлиш теоремасидан келиб чиқади;
2) ҳақиқатан дефомацияни характерловчи миқдор эканлиги (13.7) дан кўриниб турибди. Агар нолга тенг бўлса, ds=ds₀ ва деформация йўқ бўлади;
3) (13.6) да 0.5 кўпайтирувчи олиниш сабабини нинг механик маъносини(кейинроқ) тахлил қилганда кўрамиз.
4) битта тензор компоненталари ёрдамида иккита ва тензорларни киритиш мумкинлиги координата системасидан бошқа координата системасига ўтишда базис векторларни алмаштириш


бирхил алмаштриш матрицаси ёрдамида амалга оширилишидан(тензор таърифидан) келиб чиқади.