Департамент образования Тверской области

Выборочной дисперсией значений случайной величины X называется средне арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений этой величины от их среднего арифметического:
(4).
Если данные наблюдений представлены в виде дискретного ряда, где x₁, x₂, …, x_n – наблюдаемые варианты, а m₁, m₂, …, m_n – соответствующие им частоты, причём , то выборочная дисперсия определяется формулой:
(5).
Используя равенство , последнюю формулу можно представить в виде:
(6).
Дисперсия, вычисленная по формулам 5 и 6, называется взвешенной выборочной дисперсией.


Основные свойства выборочной дисперсии:

1. 
   Дисперсия постоянной равна нулю:
   

2. 
   Если все результаты наблюдений увеличить (уменьшить) на одно и то же число С, то дисперсия не изменится: .
   
3. 
   Если все результаты наблюдений умножить на одно и то же число С, то имеет место равенство:
   

.

4. 
   Если все частоты вариантов умножить на одно и то же число, то выборочная дисперсия не изменится.
   
5. 
   Выборочная дисперсия равна разности между средним арифметическим квадратов наблюдений над случайной величиной X и квадратом её среднего арифметического:
   

Пример 1. По данным, приведённым в таблице, вычислить среднее арифметическое и дисперсию числа неправильных соединений в минуту.

Индекс	i	1	2	3	4	5	6	7
Число неправильных соединений в минуту	xi	0	1	2	3	4	5	7
Частота	mi	8	17	16	10	6	2	1
частость		8/60	17/60	16/60	10/60	6/60	2/60	1/60

Решение. Среднее арифметическое вычислим по формуле 2:

Дисперсию вычисляем по формуле 5:

Пример 2. По данным, приведённым в таблице, вычислить среднее арифметическое и дисперсию диаметра валика.



Решение. Среднее арифметическое вычислим по формуле 3:

Дисперсию вычисляем по формуле 6:

Практическая работа №13 «Решение задач на доверительный интервал».

Если в процессе эксперимента для статистики получено некоторое значение, то значит оно принадлежит области I_, вероятность которой близка к 1. Эту вероятность называют доверительной вероятностью. Её обозначают . По ней строят интервал, накрывающий значение оцениваемого параметра с вероятностью . Его и называют доверительным интервалом с уровнем доверия . Область I_ и доверительный интервал по ней строятся в соответствии с распределением вероятностей используемой статистики.

Величина уровня доверия влияет на величину интервала: чем больше уровень доверия, тем шире интервал. Уровень доверия выбирается из соображений допустимого риска.
Формула для доверительного интервала для математического ожидания  нормального распределения с уровнем доверия  для случая, когда известно среднеквадратическое отклонение распределения :
(1)
Формула для доверительного интервала для математического ожидания  нормального распределения с уровнем доверия  для случая, когда среднеквадратическое отклонение распределения  неизвестно:
(2)
Пример. Для проверки фасовочной установки были отобраны и взвешены 20 упаковок. Получены следующие результаты (в граммах):

246	247	247,3	247,4	251,7	252,5	252,6	252,8	252,8	252,9
253	253,6	254,6	254,7	254,8	256,1	256,3	256,8	257,4	259,2

Найти доверительный интервал для математического ожидания с надёжностью 0,95, предполагая, что измеряемая величина распределена нормально.
Решение. Находим точечные оценки a и :


Определяем по таблице распределения Стьюдента для доверительной вероятности =0,95 и числу степеней свободы (n-1)=19 соответствующее значение t_=2,093 и по формуле находим искомый интервал:



или 251,27 а 254,69.

Практическая работа №14 «Расчёт сводных характеристик выборки методом произведений».