Департамент образования Тверской области

Закон распределения дискретного случайного вектора (X, Y) – это совокупность всех возможных значений случайного вектора (X, Y) и их вероятностей:
p_ij=P{X=x_i, Y=y_j}, где i=1, 2, …, n, j=1, 2, …, m.
n, m – число возможных значений случайных величин X и Y.
Так же, как и в непрерывном случае:
, , .
Пример 1. Качество продукции характеризуется двумя случайными величинами: X и Y. Закон распределения случайного вектора (X,Y) представлен в таблице:

yj xi	0	0,1	0,2	0,3	pi
5	0,2	0,1	0,05	0,05	0,4
6	0	0,15	0,15	0,1	0,4
7	0	0	0,1	0,1	0,2
pj	0,2	0,25	0,3	0,25

На пересечении i-той строки и j-того столбца таблицы находятся вероятности p_ij=P{X=x_i, Y=y_j}.
Найти закон распределения координат X и Y случайного вектора.
Решение. Вероятность события {X=x_i}=p_i, есть сумма вероятностей, находящихся в i-той строке. Вероятности p_i находятся в последнем столбце таблицы.
Ряд распределения случайной величины X имеет вид:

xi	5	6	7
pi	0,4	0,4	0,2

Ряд распределения Y находим, вычисляя суммы элементов столбцов таблицы. Эти вероятности p_j находятся в последней строке таблицы.
Ряд распределения случайной величины Y имеет вид:

yj	0	0,1	0,2	0,3
pj	0,2	0,25	0,3	0,25

Условное распределение компонент дискретного случайного вектора (X, Y) – это ряд распределения одной случайной величины, вычисленной при условии, что другая случайная величина приняла определённое значение, а именно:
;
Пример 2. В условиях закон распределения дискретного случайного вектора (X,Y) из примера 1, найти условное распределение случайной величины X при условии, что случайная величина Y приняла значение y₂=0,1.
Решение. Выбрав значения p_i2 из столбца таблицы, соответствующего значению y₂=0,1, и разделив их на 0,25, получаем следующее условное распределение X при условии, что Y=0,1:

xi	5	6
pX(xi|y2)	0,4	0,6

Практическая работа №11 «Построение графических изображений выборок и эмпирических функций распределения».

Для наглядного представления статистического распределения пользуются графическим изображением вариационных рядов (полигоном, гистограммой и куммулятой).
В случае дискретного распределения на оси абсцисс откладывают отдельные значения признака. Из принимаемых значений x_i проводят перпендикуляры, длины которых пропорциональны частотам m_i, затем концы соседних перпендикуляров соединяют отрезками прямых. Это полигон для дискретных вариационных рядов.
Пример. На телефонной станции проводились наблюдения над числом Х неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение часа дали следующие результаты:

Число в мин (xi)	0	1	2	3	4	5	7
Частоты (mi)	8	17	16	10	6	2	1	=60

Гистограмма строится только для интервального вариационного ряда (группированной выборки). На каждом из интервалов значений как на основании, строят прямоугольник с высотой, пропорциональной m_i. Если середины верхних сторон прямоугольников соединить отрезками прямых, а концы этой ломаной ещё соединить с серединами соседних интервалов, частоты которых равны 0, а длина равна длине соседнего интервала, то получим полигон интервального ряда.
Пример.

Выработка продавцов	Число продавцов	В процентах к итогу	Кумулятивная (накопленная) численность	Накопленная относительная частота
80-100	5	10	5	0,1
100-120	10	20	15 (5+10)	0,3
120-140	20	40	35 (15+20)	0,7
140-160	10	20	45 (35+10)	0,9
160-180	5	10	50 (45+5)	1
итого	50	100

Кумулята – график накопленных частот, сглаженное графическое изображение эмпирической функции распределения. При построении кумуляты в точке, соответствующей принимаемому значению, для дискретного ряда и в правом конце интервала для интервального ряда строится перпендикуляр, высота которого пропорциональна накопленной частоте, затем верхние концы перпендикуляров соединяются между собой с помощью прямолинейных отрезков.
«Накопленные частоты» - это и есть значения эмпирической функции распределения, а кумулята – её сглаженное графическое изображение.

Практическая работа №12 «Вычисление выборочных средней и дисперсии».

Пусть x₁, x₂, …, x_n – данные наблюдений над случайной величиной X. Средним арифметическим наблюдаемых значений случайной величины X называется частное от деления суммы всех этих значений на их число:
(1).
Если данные наблюдений представлены в виде дискретного ряда, где x₁, x₂, …, x_n – наблюдаемые варианты, а m₁, m₂, …, m_n – соответствующие им частоты, причём , то, по определению,
(2).
Вычисленное по данной формуле среднее арифметическое называется взвешенным, так как частоты m_i называются весами, а операция умножения x_i на m_i – взвешиванием.
Для интервального вариационного ряда за x_i принимают середину i-го интервала, а за m_i - соответствующую интервальную частоту:
(3).
Основные свойства среднего арифметического:

1. 
   Среднее арифметическое алгебраической суммы соответствующих друг другу значений равна алгебраической сумме средних арифметических:
   

.

2. 
   Если ряд наблюдений состоит из двух непересекающихся групп наблюдений, то среднее арифметическое всего ряда наблюдений равно взвешенному среднему арифметическому групповых средних, причём весами являются объёмы соответствующих групп:
   

.

3. 
   Среднее арифметическое постоянной равно самой постоянной:
   

4. 
   Постоянную можно выносить за знак среднего арифметического:
   

5. 
   Сумма отклонений результатов наблюдений от их среднего арифметического равна нулю:
   

6. 
   Если все результаты наблюдений увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то среднее арифметическое увеличится (уменьшится) на то же число:
   

7. 
   Если все частоты вариантов умножить на одно и то же число, то среднее арифметическое не изменится.