Dərslik respublikanın universitetlərinin fizika fakültələrinin tələbələri üçün "Atom fizikası"
Download 18.1 Mb. Pdf ko'rish
|
|
Ё114. Atom və ion radiusları Elektronlar dalğa xassəsinə malik olduğuna görə atomun ölçüsünü dəqiq təyin etmək olmaz. Lakin sərbəst atomun radiusu olaraq atomun xarici elektron buludunun baş maksimumunun nüvədən olan nəzəri hesablanmış məsafəsini götürmək olar. Bu, atomun orbital radiusu adlanır. Praktikada isə bir-biri ilə bu və ya digər növ kimyəvi rabitə yaratmış atomların radiusu effektiv radius adlanır. Atomların effektiv radiusları molekulların və kristalların quruluşunu öyrənməklə təyin edilir. Qeyd edək ki, atom və ion radiusu anlayışları şərtidir. Çünki həmin anlayışlar molekul və ya kristal daxilində atomlar arasındakı məsafələrə əsasən təyin edilir. Bu məsafələr isə yalnız atomların növündən deyil, həm də onlar arasındakı kimyəvi rabitənin xarakterindən və maddənin aqreqat halından da asılıdır. Atom və ionları şərti olaraq kürə şəklində qəbul etsək, onda nüvələr arası d məsafəsini iki qonşu hissəciyin radiuslarının cəminə bərabər hesab etmək olar. Aydındır ki, hər iki hissəcik eynidirsə, onda onların hər birinin radiusu d/2 olar. Məsələn, natrium kristalında nüvələr arası məsafə 3,2 Å olduğundan, natrium üçün metallik atom radiusu 1,6 Å olar. Na 2 molekulunda isə nüvələr arası məsafə 3,08 Å olduğundan natrium atomu üçün kovalent radius 1,54 Å olur. Beləliklə, eyni bir element üçün atom radiusu kimyəvi rabitənin növündən asılıdır. Atomların kovalent radiuslarının ölçüsü həm də kimyəvi rabitənin tərtibindən asılıdır. Məsələn, birqat, ikiqat və üçqat rabitələrdə karbon atomunun kovalent radiusu, uyğun olaraq, 0,77; 0,67 və 0,6 Å-dır. Atom və ionları bir-birinə toxunaraq tərpənməz yerləşən kürəciklər hesab etmək olmaz. Məlumdur ki, hətta mütləq sıfır temperaturunda molekul və kristallarda nüvələrin rəqsi hərəkəti baş verir (Ё94). Bir çox hallarda atom və ionların radiuslarından kiçik məsafələrdə elektron buludunun sıxlığı sıfra qədər azalmış olur. Digər tərəfdən isə atomun və ionun digər hissəciklərə təsir edə biləcəyi məsafə onların şərti radiusundan xeyli böyük ola bilər. Nəhayət, atom və ionların "ölçüləri" onların öz qonşuları ilə qarşılıqlı təsirindən də asılıdır. Bəsit maddələrdə və həm də üzvi birləşmələrdə atom radiusu r at. , qeyri-üzvi birləşmələrdə isə ion radiusu r
anlayışlarından istifadə edilir. Atom radiusları üç növə bölünür: metallar üçün atomların metallik atom radiusları, qeyri-metallar üçün atomların kovalent radiusları və təsirsiz qazlar üçün atom radiusları. Hal-hazırda əksər metalların quruluşu yaxşı məlumdur. Metallarda istənilən iki qonşu atomun mərkəzləri arasındakı məsafəni yarıya bölərək metallik atom radiusunu tapmaq olar. Metallik atom radiusları 114.1 cədvəlində Å-lə verilmişdir (Q. B. Bokiy, DAN SSSR, 69, 459, 1953). Bu cədvəldən görünür ki, Mendeleyev cədvəlində hər bir dövrdə soldan sağa doğru getdikcə metallik atom radiusları kiçilir. Buna səbəb elektron laylarının sayı eyni qaldığı halda nüvənin yükünün artması və deməli, elektronların nüvə tərəfindən cəzb olunmasının artmasıdır. d–təbəqələri dolmaqda davam edən atomlar (əlavə yarımqrup) üçün, xüsusilə də VIII qrupa daxil olan atomlar üçün, r at. nisəbətən yavaş azalır. Lantanidlər və aktinidlər üçün isə bu azalma daha zəifdir. Məsələn, Ce atomundan
753 (1,83 Å) Lu atomuna (1,74 Å) qədər r at. cəmisi 0,09 Å azalmış olur. Əsas yarımqruplarda yerləşən elementlər üçün atom radiusları yuxarıdan aşağıya doğru artır, çünki bu atomlarda elektron laylarının sayı artır. Əlavə yarımqrup elementləri üçün isə birinci elementdən ikinciyə keçdikdə r
artır,
ikinci elementdən üçüncü elementə keçdikdə r at. azalır. Bunu isə "lantanid sıxılması" ilə izah etmək olar. 114.2 cədvəlində qeyri-metalların kovalent radiusları Å ilə verilmişdir. Qeyd edək ki, qeyri-metalların kovalent radiusları da uyğun bəsit maddələrin molekullarında və kristallarında qonşu atomlar arasındakı məsafənin yarısına bərabər götürülür. Metal atomlarında olduğu kimi, dövri sistemin qruplarında sıra nömrəsi böyük olan qeyri-metal atomları üçün r at. böyük olur. Bu da elektron laylarının sayının artması ilə əlaqədar olaraq baş verir. Mendeleyev cədvəlindəki dövrlərdə qeyri-metal atomlarının radiusunun sıra nömrəsindən asılılığı isə mürəkkəbdir. Məsələn, ikinci dövrdə r at. əvvəlcə azalır, sonra isə artmağa başlayır. Bu qanunauyğunluq kimyəvi rabitənin xüsusiyyətləri ilə izah olunur. Belə ki, Li 2 molekulundan N 2 molekuluna doğru atomlar arasındakı məsafə azalır. Çünki bu molekullarda rabitənin möhkəmliyi getdikcə artır və həm də nüvənin yükünün artması hesabına atomların ölçüləri kiçilir. N 2 molekulundan F 2 molekuluna doğru isə rabitənin uzunluğu artır, möhkəmliyi isə azalır. 114.3 cədvəlində ikinci dövr atomları daxil olan eyni nüvəli ikiatomlu molekulların rabitə enerjisi (kkal/mol) və rabitənin uzunluğu (Å) verilmişdir.
Cədvəl 114.1 Metal
Metal
r at. Metal
r at. Metal
r at. Li
Be Na
Mg Al
K Ca
Sc Ti
V Cr
Mn Fe
Co Ni
1,55 1,13
1,89 1,60
1,48 2,36
1,97 1,64
1,46 1,34
1,27 1,30
1,26 1,25
1,24 Cu
Zn Rb
Sr Y Zr Nb Mo
Tc Ru
Rh Pd
Ag Cd
In 1,28
1,39 2,48
2,15 1,81
1,60 1,45
1,39 1,36
1,34 1,34
1,37 1,44
1,56 1,66
Cs Ba
La Hf
Ta W Re Os Ir
Pt Au
Hg Tl
Pb Ce
2,68 2,21
1,87 1,59
1,46 1,40
1,37 1,35
1,35 1,38
1,44 1,60
1,71 1,75
1,83 Pr
Eu Gd
Tb Dy
Ho Er
Tm Yb
Lu Th
Pa U Np 1,82 2,02
1,79 1,77
1,77 1,76
1,75 1,74
1,98 1,74
1,80 1,62
1,53 1,50
Təsirsiz qazların atomlarının (He, Ne, Ar, Kr, Xe) radiusları, uyğun olaraq, 1,22; 1,60; 1,91; 2,01 və 2,20 Å-dır. Bu kəmiyyətlər həmin maddələrin alçaq temperaturlarda mövcud olan kristallarında atomlar arası məsafələrə əsasən tapılmışdır. Göründüyü kimi, burada da atomun sıra nömrəsi artdıqca r at. böyük olur. Həm də görünür ki, təsirsiz qaz atomlarının radiusu uyğun dövrlərdə qeyri-metal atomlarının radiusundan böyükdür. Bu, onunla izah oluna bilər ki, təsirsiz qazların kristallarında atomlar arasındakı qarşılıqlı təsir çox zəifdir; digər qeyri-metalların molekullarında isə möhkəm kovalent rabitə mövcuddur.
754
Qeyd edək ki, ionlaşma potensialı atomun sıra nömrəsindən periodik asılıdır və bu asılılıq dövri sistemin həm qrupları, həm də dövrləri üzrə özünü aydın şəkildə büruzə verir. Mendeleyev cədvəlində hər bir qrupda ionlaşma potensialı, atomun sıra nömrəsi artdıqca, azalır. Bu, onunla izah olunur ki, elektron konfiqurasiyasının növü saxlansa da, atomun ölçüləri böyüyür. Bu baxımdan lantanidlər müstəsnalıq təşkil edir. Belə ki, lantanidlərdə nüvənin yükü artdıqca daha uzaq səviyyələrdə yerləşən elektronlar meydana çıxmır və nəticədə "lantanid sıxılması" baş verir. Bu isə z artdıqca lantanidlərdə ionlaşma potensialının da artmasına səbəb olur.
Cədvəl 114.2 Atom
Atom
R at. Atom
r at. H B C N O F 0,37
0,80 0,77
0,55 0,60
0,71 Si
P S Cl Ge As
1,18 0,95
1,02 0,99
1,15 1,25
Sc Br
Te J 1,16 1,14 1,35
1,33
Cədvəl 114.3 Molekul Li 2 B 2 C 2 N 2 O 2 F 2 E rab 25 69 144 225 118 37 Rabitənin Uzunluğu 2,67 1,59 1,24 1,10 1,21 1,42
Qeyd edək ki, ionlaşma potensialı atomun sıra nömrəsindən periodik asılıdır və bu asılılıq dövri sistemin həm qrupları, həm də dövrləri üzrə özünü aydın şəkildə büruzə verir.
Mendeleyev cədvəlində hər bir qrupda ionlaşma potensialı, atomun sıra nömrəsi artdıqca, azalır. Bu, onunla izah olunur ki, elektron konfiqurasiyasının növü saxlansa da, atomun ölçüləri böyüyür. Bu baxımdan lantanidlər müstəsnalıq təşkil edir. Belə ki, lantanidlərdə nüvənin yükü artdıqca daha uzaq səviyyələrdə yerləşən elektronlar meydana çıxmır və nəticədə "lantanid sıxılması" baş verir. Bu isə z artdıqca lantanidlərdə ionlaşma potensialının da artmasına səbəb olur. Məsələn, NaF kristalının rentgenoqramına əsasən müəyyən edilmişdir ki, Na və F atomlarının nüvələri arasındakı məsafə 2,31 Å-dir. Deməli, Na + ionunun radiusu 0,95 Å olmalıdır. 114.4 cədvəlində bəzi ionlar üçün r ion qiymətləri Å ilə verilmişdir. Bu cədvəldən görünür ki, ionun yükü böyük olduqca ion radiusunun (r
) dəyişməsi atom radiusunun (r
) dəyişməsi ilə müqayisədə daha çoxdur. Məsələn, =0,80 Å; =0,60 Å; =0,63 Å; =0,52 Å və s. Bu, onunla izah olunur ki, atomların müsbət ionlara (kationlara) çevrilməsi elektron təbəqələrinin ölçülərinin kiçilməsinə səbəb olur və özü də elektron çatışmazlığı çox olduqca bu kiçilmə daha çox olur. + 2
r + 4 Mn r + 3 Cr r + 6 Cr r 114.4 cədvəlinə əsasən ion radiusları üçün aşağıdakı qanunauyğunluqları müəyyən
755
etmək olar. Oxşar elektron quruluşuna və eyni yükə malik olan ionlar üçün elektron laylarının sayı çox olduqca ion radiusu da böyük olur. Eyni sayda elektronu olan ionlar (izoelektron ionlar) üçün yük artdıqca ion radiusu kiçilir. Məsələn, Cl − ,S 2+ , K
+ , Ca
2+ sırasında ion radiusları, uyğun olaraq, 1,81; 1,74; 1,33 və 0,99 Å -dir. Müsbət ionlar üçün bu azalma daha güclüdür. Bunun iki əsas səbəbi vardır: birincisi, ionun yükü artdıqca elektronlar nüvə tərəfindən daha güclü cəzb olunurlar; ikincisi, yükü böyük olan ionlar əks işarəli yükə malik olan ionlarla daha güclü qarşılıqlı təsirdə olur ki, bu da ionlar arası məsafənin və deməli, ion radiuslarının kiçilməsinə səbəb olur. Mənfi ionların yükü artdıqca elektronlar ionun mərkəzindən itələnir. Lakin ikinci amil olduğu kimi qalır və özü də elektronların ionun mərkəzindən itələnməsinə nisbətən daha böyük olur. Təsirsiz qazların atomlarındakı kimi xarici elektron təbəqəsinə (s– və p–təbəqələr) malik olan ionların radiusu, xarici layda d–elektronları olan ionların radiusundan böyükdür. Məsələn, K + və Rb
+ ionlarının radiusları 1,33 Å və 1,47 Å olduğu halda Cu +
dövrlərdə s– və p–elementlərdən (əsas yarımqrup) d–elementlərə (əlavə yarımqrup) keçdikdə nüvənin yükü artır. Məsələn, z K =19, z Cu =29. Dövrlərdə həm də d–elementlərin eyni yüklü ionlarının radiusu z artdıqca kiçilir. Məsələn, =0,80 Å, =0,69 Å -dir.
triadalarda göstərir. + 2
r + 2 Ni r Analoji olaraq, lantanidlərin ionlarının da radiusu elementin sıra nömrəsi artdıqca kiçilir. Məsələn, Ce 3+ ionunun radiusu 1,07 Å, Lu 3+ ionunun radiusu isə 0,85 Å-dir. Bu qanunauyğunluq isə lantanid sıxılması adlanır. Lantanidlərin ionlarında elektron laylarının sayı eynidir. Nüvənin yükünün artması elektronların nüvəyə cəzb olunmasını gücləndirir və nəticədə ionların radiusu kiçilir. Nəhayət, ion radiuslarının dəyişməsi periodikdir. Qeyd edək ki, əksər hallarda ion radiusu anlayışı da şərti xarakter daşıyır. Belə ki, müxtəlif kimyəvi birləşmələrdə r ion kəmiyyətinin sabit qalması yalnız təqribi olaraq ödənir. Bundan başqa, ionun yükü haqqında yalnız birqat və ikiqat ionlar üçün danışmaq olar, daha böyük yükə malik olan ionlar kristallarda praktik olaraq rast gəlinmir. Lakin ionların radiusunun dəyişməsi atomlar arası məsafələrin dəyişməsini xarakterizə edir və bu da maddələrin bir çox xassələrini başa düşməyə imkan verir. İon radiuslarının dəyişməsindəki qanunauyğunluqlar həm də dövri sistemdə yerləşməsi ilə əlaqədar olaraq, elementlərin birləşmələrinin bir çox xassələrini başa düşmək üçün çox vacibdir. Bundan başqa, nəzərə almaq lazımdır ki, məhlullarda çoxqat ionlar olur.
Cədvəl 114.4 İon r İon
R İon r İon
r
756 Li + Be 2+ B 3+ C 4+ N 3+ N 5+ O 2- F - Na + Mg 2+ Al 3+ Si 4+ P 3+ P 5+ S 2+ S 4+ S 6+ Cl - Re 7+ Os 6+ Ir 4+ Pt 2+ Pt 4+ Au 3+ Cl 5+ Cl 3+ K + Ca 2+ Sc 3+ 0,68
0,35 0,23
0,16 0,16
0,13 1,32
1,33 0,97
0,66 0,51
0,42 0,44
0,35 1,74
0,37 0,30
1,81 0,56
0,69 0,66
0,80 0,65
0,85 0,34
0,27 1,33
0,99 0,81
Ti 4+ Y 5+ Cr 3+ Cr 6+ Mn 2+ Mn 4+ Mn 7+ Fe 2+ Fe 3+ Co 2+ Co 3+ Ni 2+ Cu + Hg 2+ Tl + Tl 3+ Pb 2+ Pb 4+ Bi 3+ Cu 2+ Zn 2+ Ga 3+ Ge 2+ As 3+ As 5+ Se 2- Se 4+ Se 6+ Br - 0,68
0,59 0,63
0,52 0,80
0,60 0,46
0,74 0,64
0,72 0,63
0,69 0,96
1,10 1,47
0,95 1,20
0,84 0,96
0,72 0,83
0,62 0,73
0,58 0,46
1,91 0,50
0,42 1,96
Br 5+ Rb + Br 2+ Y 3+ Zr 4+ Nb 5+ Mo 6+ Tc 7+ Bi 5+ Po 6+ At 2+ Fr + Ra 2+ Ac 3+ Ru 4+ Rh 3+ Pd 2+ Ag + Cd 2+ In 3+ Sn 2+ Sn 4+ Sb 3+ Sb 5+ Te 2- Te 4+ Te 6+ J - J 5+ 0,47
1,47 1,12
1,06 0,87
0,69 0,62
0,56 0,74
0,67 0,62
1,80 1,43
1,18 0,67
0,68 0,80
1,26 0,97
0,81 0,93
0,71 0,76
0,62 2,11
0,70 0,56
2,20 0,62
J 7+ Cs + Ba 2+ Th 4+ Pa 4+ U 6+ Np 4+ Pu 4+ Am 3+ La 3+ Ce 3+ Ce 4+ Pr 3+ Nd 3+ Pm 3+ Sm 3+ Eu 3+ Gd 3+ Tb 3+ Dy 3+ Ho 3+ Er 3+ Tm 3+ Lu 3+ Hf 4+ Hf 5+ W 6+ 0,50 1,67
1,34 1,02
0,65 0,80
0,95 0,93
1,07 1,14
1,07 0,94
1,06 1,04
1,06 1,00
0,97 0,97
0,93 0,92
0,91 0,89
0,87 0,85
0,78 0,68
0,62
757 XIII F Ə S I L. ATOMLARIN TERMLƏRI Ё115. İmpuls momentlərinin toplanması Bir dənə hissəciyin impuls momenti anlayışı ilə yanaşı hissəciklər sisteminin də impuls momenti anlayışından geniş istifadə edilir. Sadəlik naminə 1 və 2 kimi işarə edilən iki dənə hissəcikdən ibarət olan sistemə baxaq. Birinci hissəciyin koordinatlarını (radius- vektorunu) ilə, ikinci hissəciyin isə koordinatlarını 1
2
impuls momentləri 1
r və 2 l r olarsa, sistemin tam impuls momenti 2 1
l l r r r + =
(115.1) kimi təyin olunar. Onda sistemin tam impuls momenti operatoru lˆ r , (115.1)-ə uyğun olaraq, aşağıdakı kimi yazıla bilər: 2 1 ˆ ˆ ˆ l l l r r r + =
(115.2) Onda sistemin impuls momentinin dekart proyeksiyalarına uyğun olan , və
olar: x lˆ y lˆ z lˆ x x x l l l 2 1 ˆ ˆ ˆ r r r + =
y y y l l l 2 1 ˆ ˆ ˆ r r r + =
(115.3) z z z l l l 2 1 ˆ ˆ ˆ r r r + = . Baxılan halda hissəciklərin bir-biri ilə qarşılıqlı təsirdə olmadığını qəbul edəcəyik. Onda birinci hissəciyin dalğa funksiyası, ikinci hissəciyin olub-olmamasından asılı olmayaraq həmişə ( )
1 1
ψ olacaqdır. Dalğa funksiyasının xassələrinə əsasən (Ё72) bu funksiyanı -dən parametrik asılı olan ixtiyari funksiyaya vurmaq olar. Xüsusi halda belə funksiya kimi ikinci hissəciyin 2
( ) 2
rr ψ dalğa funksiyasını götürmək olar. Onda birinci hissəciyin dalğa funksiyası ( ) ( )
2 2 1 1 r r r r ψ ψ ψ ⋅ = kimi götürülə bilər. Eynilə həmin mülahizələrə əsasən aydındır ki, ikinci hissəciyin də dalğa funksiyasını ( ) ( )
2 2 1 1 r r r r ψ ψ ψ ⋅ =
kimi yazmaq olar. Ona görə də belə hesab etmək olar ki, bir-biri ilə qarşılıqlı təsirdə olmayan 1 və 2 hissəciklərindən ibarət olan sistemin dalğa funksiyasını həmin hissəciklərin ( )
1 1
ψ və
( ) 2 2 rr ψ dalğa funksiyalarının hasili şəklində (Ё72) yazmaq olar: ( ) ( ) 2 2 1 1
r r r ψ ψ ψ ⋅ = . (115.4) Əgər ψ
və ψ 2 funksiyaları normallaşmışdırsa, onda ψ funksiyası da normallıq şərtini ödəyir:
758 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 = = ∫ ∫ ∫ dV dV dV dV ψ ψ ψ . (115.5) Qeyd edək ki, əgər operatorların yalnız (115.4) funksiyasına təsiri ilə kifayətlənsək, onda və operatorlarının bir-biri ilə kommutativ olduğunu göstərmək olar. Doğrudan da, 1
2 ˆlr 1 ˆlr operatoru yalnız ψ 1 funksiyasına təsir edib, ψ 2 funksiyasına təsir etmədiyi və əksinə, operatoru yalnız ψ 2 ˆlr 2 funksiyasına təsir edib, ψ 1 funksiyasına təsir etmədiyi üçün ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ l l l l l l l l l l r r r r r r r r r r
yazmaq olar ki, 1 2 ˆ ˆ l l r r operatorunun da (115.4) funksiyasına təsiri həmin nəticəni verir. Beləliklə, (115.4) kimi funksiya üçün 1 2
1 ˆ ˆ ˆ ˆ
l l l r r r r = .
(115.6) Eyni qayda ilə 1 ˆlr və 2 ˆlr operatorlarının uyğun dekart proyeksiyalarının da bir-biri ilə kommutativ olduğu isbat edilir:
1 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ = , , . (115.7) y y y y l l l l 1 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ = z z z z l l l l 1 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ = Deyilənlərdən aydın olur ki, bir hissəciyin impuls momenti üçün (77.20) qeyri- kommutativlik münasibətləri və onlardan çıxan bütün nəticələr, heç bir dəyişiklik etmədən, bir-biri ilə qarşılıqlı təsirdə olmayan hissəciklərdən ibarət sistemin impuls momenti üçün də doğrudur. 1 ˆlr və operatorları bir-biri ilə kommutativ olduğundan (115.2)-yə əsasən operatorunu aşağıdakı kimi yazmaq olar: 2 ˆlr 2 ˆlr 2 2
1 2 1 2 2 1 2 ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ l l l l l l l r r r r r r r + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +
= . (115.8) İndi isə (115.2) impuls momentinin kvadratı 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ z y x l l l l + + = r operatorunun , , operatorlarının hər biri ilə, məsələn, operatoru ilə kommutativ olduğunu göstərək:
2 1 ˆ ˆ ˆ + = 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ
l l l x x r r = . Aydındır ki, və operatorları, uyğun olaraq, x l 1 ˆ x l 2 ˆ 2 1 ˆlr və 2 2 ˆlr operatorları ilə kommutativdir. Ona görə də yalnız 2 1 ˆ ˆllr r və
operatorlarının kommutativliyini yoxlamaq qalır: x lˆ ( )( ) ( ) ( . ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 x z z y y x x x z z y y x x x x z z y y x x x l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l + + + + + = = + + + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ) r r Eyni qayda ilə ( ) (
) z z y y x x x z z y y x x x x l l l l l l l l l l l l l l l l l 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + + + + + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ r r
yaza bilərik. Bu bərabərlikləri tərəf-tərəfə çıxsaq, və
operatorlarının müxtəlif 1 ˆl 2 ˆl
759
hissəciklərin dalğa funksiyalarına təsir etdiyini, (115.7) və (77.20) münasibətlərini nəzərə alsaq
0 ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ 2 1 2 1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛
l l l l l x x r r r r
(115.9) olar. Eyni qayda ilə və operatorları üçün də (115.9) kommutativlik münasibətinin doğru olduğunu göstərmək olar. Deməli, operatoru y lˆ z lˆ 2 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +
= l l l r r r lˆ r operatorunun dekart koordinat oxları üzrə bütün proyeksiyaları ( , , ) ilə kommutativdir. Ona görə də aydındır ki, sistemin elə bir halı olmalıdır ki, həmin halda impuls momentinin kvadratı və , , proyeksiyalarından biri müəyyən qiymət ala (eyni zamanda ölçülə) bilir.
2
r
Birinci hissəciyin halını l 1 və m 1 , ikinci hissəciyin halını isə l 2 və m 2 ilə xarakterizə etmək olar. Burada l 1 ədədi birinci, l 2 ədədi isə ikinci hissəciyin impuls momentinin kvadratını, uyğun olaraq, ħ 2
1 (l 1 +1) və ħ 2
2 (l 2 +1) kimi təyin edir. m 1 və m 2 ədədləri isə hissəciklərin 1
r və
2 l r impuls momentlərinin üstün istiqamət üzrə proyeksiyasını, uyğun olaraq, ħm 1 və ħm 2 düsturları ilə təyin edir. Aydındır ki, l 1 ,l 2 ,m 1 ,m 2 ədədlər yığımı isə bir- birindən asılı olmayan iki hissəcikdən ibarət sistemin müəyyən halını xarakterizə edir. Bu halın dalğa funksiyasını kimi işarə edək. l 2 1 2 1
l m m ψ 1 və l 2 -nin verilmiş qiymətində bir- birindən m 1 və m 2 ilə fərqlənən və xətti asılı olmayan belə dalğa funksiyalarının sayını tapaq. Məlumdur ki, l 1 -in verilmiş qiymətində m 1 kəmiyyəti 2l 1 +1 sayda, l 2 -nin verilmiş qiymətində isə m 2 kəmiyyəti 2l 2 +1 sayda qiymətlər alır (Ё84). Beləliklə, l 1 və l 2 -nin
verilmiş qiymətində dalğa funksiyalarının sayı və deməli, bu funksiyalarla təsvir olunan halların sayı (2l 2 1 2 1
l m m ψ 1 +1)(2l 2 +1) olar. Bu (2l 1 +1)(2l 2 +1) sayda halların xətti kombinasiyaları vasitəsilə sistemin verilmiş l 1 və l 2 ədədləri ilə xarakterizə olunan ixtiyari halını qurmaq olar. Lakin l 1 və l 2 -nin verilmiş qiymətində bir-birindən xətti asılı olmayan halları başqa cür də seçmək olar. Bu halların ümumi sayı sabit qalmalı, yəni yuxarıda göstərildiyi kimi (2l 1 +1)(2l 2 +1) ədədinə bərabər olmalıdır. Sistemin tam impuls momentinin proyeksiyalarına uyğun operatorlar üçün (77.20) münasibətləri ödəndiyindən, l 1 və l 2 -nin
verilmiş qiymətində bütöv sistemin tam impuls momentinin kvadratının ħ 2
(l+1) və onun üstün istiqamət üzrə proyeksiyasının ħm kimi müəyyən qiymətə malik olan halları mövcuddur. Belə halların dalğa funksiyalarını kimi işarə edəcəyik. Bu funksiyaların xətti kombinasiyalarından l 2 1 l l lm ψ 1 və l 2 -nin verilmiş qiymətində istənilən halın dalğa funksiyasını qurmaq olar. Ona görə də l 1 və l 2 -nin verilmiş qiymətində bir-birindən xətti asılı olmayan funksiyalarının ümumi sayı (2l 2 1
l lm ψ 1 +1)(2l 2 +1) olmalıdır. Bilavasitə hesablama yolu ilə bunun doğru olduğuna inanmaq olar. (115.3)-dəki sonuncu bərabərlikdən görünür ki, əgər ħm 1 və ħm 2 proyeksiyaları müəyyən qiymətə malikdirsə, onda vektorunun z oxu üzrə proyeksiyası da müəyyən ħm qiymətinə malikdir və özü də
=m l r 1 +m 2 şərti ödənməlidir. Müəyyənlik naminə fərz edək ki, l 1 >l 2 şərti ödənir. Onda l 1
və l 2 -nin verilmiş qiymətində m-in bu qayda ilə tapılmış mümkün olan müsbət qiymətləri 115.1 cədvəlindəki kimi olar.
Cədvəl 115.1
760 m 1
2
=m 1 + m 2 l 1
2
1 +l 2 l 1
1 -1
⎭ ⎬ ⎫ − 2 2 1 l l
1 +l 2 -1
l 1
1 -1
l 1 -2 ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ − − 2 2 2 1 2 l l l
1 +l 2 -2
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
⋅⋅⋅ l 1 -l 2 l 1 -l 2
İndi isə l 1 və l 2 -nin verilmiş qiymətində m ədədinin maksimal qiymətinin (l 1 +l 2 ),(l 1 +l 2 -
qiymətinə uyğun olan hallardır: l=(l 1 +l 2 ),l 1 +(l 2 -1),…,l 1 -l 2 . Göründüyü kimi, belə halların sayı 2l 2 +1 olur. Bu halların hər birində isə m ədədi 2l+1 sayda müxtəlif qiymətlər alır. Beləliklə, l 1 və l 2 -nin verilmiş qiymətində bir-birindən xətti asılı olmayan dalğa funksiyaları ilə təsvir olunan bütün mümkün olan halların sayı 2 1
l lm ψ 2(l 1 +l 2 )+1+2(l 1 +l 2 -1)+1+…+2(l 1 -l 2 )+1
olar. Bu isə fərqi –2, hədlərinin ümumi sayı isə 2l 2 +1 olan ədədi sislsilədir və onun cəmi ( ) ( ) ( ) ( )( 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 + + = + ⋅ + − + + + l l l l l l l )
olur ki, bunu da isbat etmək tələb olunurdu. Əgər l 1
2 olsa, l 1 və l 2 -nin yerini dəyişərək, eynilə yuxarıdakı kimi mühakimələr aparmaqla göstərmək olar ki, l-in mümkün olan qiymətlərinin sayı 2l 1 +1, l min =l 2 -l 1
olmalıdır. Beləliklə, l 1 və l 2 kvant ədədləri ilə təyin olunan iki impuls momentinin toplanması üçün aşağıdakı qaydadan istifadə etmək lazımdır: yekun momenti təyin edən l kvant ədədi l 1 >l 2 olduqda 2l 2 +1 sayda, l 1 <l 2 olduqda isə 2l 1 +1 sayda aşağıdakı qiymətləri alır: l=l 1 +l 2 ,l 1 +l 2 -1,l 1 +l 2 -2,…,
|l 1 -l 2 |. (115.10) l-in bu qiymətlərindən hər birinə m kvant ədədinin m=-l,-l+1,…,0,…,l-1,l (115.11) kimi 2l+1 sayda müxtəlif qiymətləri uyğun gəlir. Deməli, bir-birindən l və m ədədlərinin heç olmazsa, biri ilə fərqlənən hallarının (bir-birindən xətti asılı olmayan halların) ümumi sayı 2 1
l lm ψ ( ) ( )( 1 2
1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 + + = + ∑ + − =
l l l l l l l )
(115.12) olar. Göründüyü kimi, bu say yuxarıda baxdığımız hallarının sayı ilə eynidir. 2 1 l l lm ψ
761 Qeyd edək ki, yuxarıda alınan nəticələr heç də yalnız bir-biri ilə qarşılıqlı təsirdə olmayan iki hissəciyin impuls momentlərinin toplanmasına aid olmayıb, bir-biri ilə qarşılıqlı təsirdə olmayan 1 və 2 hissələrindən ibarət olan ixtiyari mürəkkəb sistemlər üçün də heç bir dəyişiklik etmədən tətbiq oluna bilər. Bu hissələrin tam impuls momentlərinin kvadratı (əgər bu momentlər müəyyən qiymətə malikdirsə), uyğun olaraq
2
1 (L 1 +1) və ħ 2
2 (L 2 +1) kimi təyin olunur. Burada L 1 və L 2 -müsbət tam ədədlərdir. Bu hissələrin impuls momentlərinin z oxu üzrə proyeksiyaları da müəyyən qiymətlərə malikdirsə, bu qiymətlər ħM 1 və ħM 2 olur və özü də L 1 və L 2 -nin verilmiş qiymətində bu M 1 və M 2 ədədləri, uyğun olaraq, aşağıdakı 2L 1 +1 və 2L 2 +1 sayda qiymətləri alır: M 1 =L 1 ,L 1 -1,…,0,…,-(L 1 -1),-L 1 ,
2 =L 2 ,L 2 -1,…,0,…,-(L 2 -1),-L 2 . Onda, sistemin tam impuls momentinin kvadratı ħ 2 L(L+1) kimi təyin olunur və özü də L 1 >L 2 olduqda L aşağıdakı 2L 2 +1 sayda qiymətləri alır: L=L 1 +L 2 ,L 1 +L 2 -1,…,L 1 -L 2 .
(115.13) Sistemin tam impuls momentinin z oxu üzrə proyeksiyası ħM kimi təyin olunur və L-in hər bir qiymətində M aşağıdakı 2L+1 qiymətləri ala bilər:
(115.14) (115.13) və (115.14) ifadələri impuls momentlərinin toplanması qaydasını ifadə edir. Mürəkkəb sistem üçün həm də L 2 1
r r , 1 L L r r və L 2
r r
ˆ kalyar hasilləri, yəni 1 ˆ L L 2 r r , 1 ˆ ˆL L r r və 2 ˆ ˆL L r r operatorlarının məxsusi qiymətləri də müəyyən qiymətə malik olur. Bu, (115.8) düsturunu L r ,
L r və 2 L r operatorları üçün yazmaqla göstərilə bilər. Məsələn, ( ) 2 2 2 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ
L L L L r r r r r + + = (115.15) ( )
2 2 1 2 2 1 ˆ ˆ ˆ 2 1 ˆ ˆ L L L L L r r r r r − − = (115.16) olduğunu yazaraq, (115.16)-da məxsusi qiymətlərə keçsək ( )
( ) ( ) ( [ ] 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 + − + − + = L L L L L L L L h r r ) (115.17) alarıq. Buna oxşar olaraq ( )
( ) (
) ( [ ] 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 + − + − + =
L L L L L L L h r r ) , (115.18) ( ) ( ) ( ) (
[ ] 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 + − + − + = L L L L L L L L h r r ) (115.19) olduğunu tapırıq. Yuxarıda şərh olunanları vektor diaqramları vasitəsilə təsvir etmək qəbul olunmuşdur. Atomlara tətbiq etdikdə isə, bu, atomun vektor modeli adlanır. Toplanan 1
r və
2 L r
vektorları uzunluğu ( ) 1 1 1 + L L və
( ) 1 2 2 + L L olan ox şəklində, bu vektorların cəmi
762
olan yekun L r vektoru isə uzunluğu ( ) 1 + L L olan ox şəklində göstərilir. Misal olaraq, 115.1 şəklində L 1 =2 və L 2 =1 qiymətləri üçün 1
r və 2 L r vektorları arasında qalan bucağın müxtəlif qiymətlərində vektor diaqramları verilmişdir. Bu halda (115.10) düsturuna uyğun olaraq L yalnız üç dənə L 1 +L 2 =3, L 1 +L 2 -1=2 və
|L 1 -L 2 |=1 qiymətləri ala bildiyi üçün, mümkün olan diaqramların sayı da üç olur. Bu diaqramlar bütün vektorların uzunluğunu və onların skalyar hasillərini düzgün əks etdirir. Lakin həmin diaqramlar impuls momentlərinin həqiqi kvant təbiətini özündə əks etdirə bilmir. Çünki impuls momentlərinin vektorları müəyyən uzunluğa malik olsalar da, fəzada müəyyən istiqamətə malik olmayıb, müxtəlif cür yönələ bilərlər.
1
L 2
L =3 L 1
L 2
L =2 L 1
L 2
L =1 1
r
r 2 L r 1 L r
r 2
r 1
r
r 2 L r
b) c) L 1
L 2
L =3 L 1
L 2
L =2 L 1
L 2
L =1 1
r
r 2 L r 1 L r
r 2
r 1
r
r 2 L r 1 L r
r 2
r 1
r
r 2 L r 1 L r
r 2
r Download 18.1 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|