Dərslik respublikanın universitetlərinin fizika fakültələrinin tələbələri üçün "Atom fizikası"

Ё98. Щидроэенябянзяр атомлар цчцн 

Шрединэер тянлийинин щялли 

 

 

632 

Яввялки  параграфларда  бахдыьымыз  садя  мисалларда  биз  бир  сыра  цмуми 

квант  механики  ганунауйьунлугларла  таныш  олдуг.  Инди  електронларын  реал 

системлярдя,  йяни  кимйяви  елементлярин  атомларында  щярякятини  юйрянмяйя 

башламаг олар. 

Гейд  етдийимиз  кими  (Ё96),  щиссяъийин  мяркязи  сащядя  щярякятиня  аид  ян 

мцщцм  мисал  олараг  атомда  нцвянин  йаратдыьы  Кулон  сащясиндя  бир  дяня 

електронун щярякятини эюстярмяк олар. Нцвядян вя бир дяня електрондан ибарят 

олан беля ян садя атом системиня щидроэенябянзяр атом дейилир. Щидроэен атому 

вя истянилян атомун йалныз бир електрону галан (z–1) гат мцсбят иону (z–атомун 

сыра  нюмрясидир)  щидроэенябянзяр  атом  щесаб  олуна  биляр.  Башга  бир  мисал 

олараг  протондан  вя  мянфи  йцклц  мезондан  ибарят  олан  мезощидроэен  атомуну 

эюстярмяк олар. 

Нцвядян  вя  електрондан  ибарят  олан  системин  щярякяти  щаггында  мясяля, 

кцтляси,  эятирилмиш  кцтляйя  бярабяр  олан  бир  щиссяъийин  Кулон  сащясиндя 

щярякятиня эятирилир /бах: (97.16)/. Ё96-да щиссяъийин мяркязи сащядя щярякяти 

цчцн (97.16) Шрединэер  тянлийи  цмуми  шякилдя  арашдырылмыш  вя 

эюстярилмишдир ки, бу тянлийин щялли бир-бириндян асылы олмайан R(r) радиал 

вя  Y

lm

(

θ

,

ϕ

)  сферик  функсийаларынын (96.13) щасили  кими  йазыла  биляр.  Y

l

)

m

(

θ

,

ϕ

) 

сферик  функсийалары  импулс  моментинин  квадраты  операторунун 

  мяхсуси 

функсийалары  олуб, (84.29) дцстуру иля  тяйин  олунур  вя  бцтцн  мяркязи  сащяляр 

цчцн ейнидир. (96.13)-я дахил олан R(r) радиал функсийаларыны тапмаг цчцн ися 

(96.11)  вя  йа (96.12) тянлийини  щялл  етмяк  лазым  эялир.  Бу  тянлийи  щялл 

етмякдян  ютрц  мяркязи  сащядя  щиссяъийин  u(r)  потенсиал  енержисинин  ашкар 

ифадясини билмяк тяляб олунур. Щидроэенябянзяр атомларда електронун нцвя иля 

гаршылыглы тясиринин потенсиал енержиси цчцн ашкар ифадя мялумдур, йяни 

(

2

ˆ

M

( )

r

ze

r

u

2

−

=

.   

 

            (98.1) 

Бурада  +ze–нцвянин, -е  ися  електронун  йцкц,  r–нцвядян  електрона  гядяр  олан 

мясафядир. 

Беляликля,  щидроэенябянзяр  атомлар  цчцн (96.4) Шрединэер  тянлийинин 

радиал щиссяси олан (96.12) тянлийини ашаьыдакы кими йазмаг олар: 

( )

0

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

+

+

+

R

mr

l

l

r

ze

E

m

dr

dR

r

dr

R

d

h

h

.          (98.2) 

(97.16)-йа уйьун олараг, (98.2) тянлийиндя 

e

e

m

M

m

M

m

+

⋅

=

   

 

             (98.3) 

кямиййяти  кцтляляри  уйьун  олараг,  М  вя  m

e

  олан  нцвя  вя  електрондан  ибарят 

системин эятирилмиш кцтлясидир. Хцсуси гейдляр йохдурса, биз бу параграфда вя 

эяляъякдя беля щесаб едяъяйик ки, нцвя щярякят етмир, йяни нцвянин М кцтляси 

електронун  m

e

  кцтлясиня  нисбятян  сонсуз  бюйцкдцр.  Яслиндя,  дягиг  десяк, 

системин  йалныз  кцтля  мяркязи  тярпянмяз  (сцкунятдя)  гала  биляр.  Лакин  ян 

йцнэцл  олан  щидроэен  атомунда  нцвянин  (протонун)  кцтляси  електронун 

 

633

кцтлясиндян 1840 дяфя  бюйцк  олдуьундан  (М

≈1840 m

e

),  айдындыр  ки,  кцтля 

мяркязиндян нцвяйя гядяр олан мясафя, електрона гядяр олан мясафядян 1840 дяфя 

кичик олар (Ё97) вя она эюря дя биринъи, йахынлашмада беля щесаб етмяк олар ки, 

кцтля  мяркязи  нцвя  иля  цст-цстя  дцшцр.  Онда  координат  башланьыъыны  кцтля 

мяркязиндя  (нцвядя)  эютцрсяк,  беля  координат  системиндя  кцтля  мяркязи,  йяни 

атомун  нцвяси  сцкунятдя  олар.  Бу  ися  М

→∞  шяртиня  уйьун  эялир  вя (98.3) 

ифадясиндян  эюрцнцр  ки,  бу  щалда  эятирилмиш  кцтля  електронун  кцтлясиня 

бярабяр  олур:  m=m

e

.  Мящз  бу  мянада  адятян  дейирляр  ки, (98.2) тянлийиндя  m–

електронун кцтлясидир. Нцвянин щярякяти иля ялагядар олан дцзялишляри нязяря 

алмаг цчцн (98.2) тянлийиндя вя бурадан алынан бцтцн дцстурларда m кцтлясинин 

явязиня (98.3) дцстуру иля тяйин олунан эятирилмиш кцтляни йазмаг лазымдыр. 

Атом  нцвясинин  йаратдыьы  Кулон  сащясиндя  бир  дяня  електронун 

щярякятинин  квант  механикасы  васитясиля  тядгиги,  йяни  щидроэенябянзяр 

атомлар  цчцн  Шрединэер  тянлийинин  щялли  цмумиййятля  атомун  гурулушунун 

юйрянилмяси  цчцн  йол  ачыр.  Щидроэенябянзяр  атомлар  цчцн  квант  нязяриййяси 

рийази  бахымдан  планетлярин  Эцняш  ятрафында  щярякяти  (Кеплер  проблеми) 

цчцн, классик нязяриййянин бир нюв квант цмумиляшмясидир. Бу, щям дя методик 

ъящятдян мцщцм ящямиййят кясб едир. Беля ки, щармоник осилйатор вя ротатор 

цчцн  олдуьу  кими,  щидроэенябянзяр  атомлар  цчцн  дя  Шрединэер  тянлийи  дягиг 

щялл  олуна  биляр.  Бу  ися  атом  системляриндя  цмуми  квант  механики 

ганунауйьунлуглары  ашкар  етмяйя  имкан  верир.  Беля  ки,  чохелектронлу 

атомларын  да  нязяриййяси  щидроэенябянзяр  атомларын  квант  нязяриййясиня 

ясасланыр.  Няинки  мцряккяб  атомларын,  щям  дя  молекулларын  дальа 

функсийаларыны 

тапмаг 

цчцн 

щидроэенябянзяр 

атомларын 

дальа 

функсийаларындан бир башланьыъ кими истифадя олунур. 

Эюрцндцйц кими, (98.2) тянлийи 

( )

2

2

2

.

1

2

r

l

l

m

r

ze

u

eff

+

⋅

+

−

=

h

 

                    (98.4) 

еффектив  потенсиалына  малик  олан  хариъи  сащядя  щиссяъийин  бир  юлчцлц 

щярякяти  цчцн  Шрединэер  тянлийидир.  Лакин  щиссяъийин  бу  бирюлчцлц 

щярякяти  дцз  хяттин  йалныз  r

>0  областында  баш  верир.  Еля  бил  ки,  r=0 

нюгтясиндя  сонсуз  щцндцр  потенсиал  чяпяр  (дивар)  йерляшмишдир  (Ё88). (98.4) 

ифадясиндя  биринъи  щядд  Кулон  гаршылыглы  тясиринин,  икинъи  щядд  ися 

мяркяздянгачма тясиринин енержисидир. 

(98.4)  потенсиал  енержисиня  уйьун  олан  график  (потенсиал  яйри) 98.1 

шяклиндя  эюстярилмишдир.  r-ин  кичик 

гиймятляриндя (98.4)-дя  икинъи  щядд  даща 

бюйцк  гиймятляр  алыр  вя  u

ефф

>0  олур, 

яксиня,  r-ин  бюйцк  гиймятляриндя  биринъи 

щядд  цстцнлцк  тяшкил  едир,  u

ефф

<0  олур  вя 

r

→∞  олдугда  ися  u

ефф

→0  олур. 98.1 

шяклиндян эюрцндцйц кими, електронун там 

енержиси Е

<0 олан щалда потенсиал яйринин 

формасы  елядир  ки,  електрон  "потенсиал 

чухурда"  щярякят  едир,  йяни  бу  щалда 

 

634 

Шякил 98.1.

електронун  щярякяти  финитдир  вя  енержиси  дя  квантланыр.  Е

>0  олан  щалда  ися 

абсис  охундан  енержийя  бярабяр  мясафядя  цфги  истигамятдя  чякилмиш  дцз  хятт 

потенсиал яйрини йалныз бир нюгтядя кясир вя бу, о демякдир ки, щярякят йалныз 

бир  тяряфдян  потенсиал  чяпярля  мящдудланмышдыр;  сонсузлугдан  бу  потенсиал 

чяпяря  доьру  саьдан  сола  щярякят  едян  щиссяъик  щямин  чяпярдян  якс  олунур  вя 

йенидян  сонсузлуьа  эедир.  Бу  щалда  енержи  квантланмыр,  йяни  Е

>0  олдугда 

енержи операторунун спектри дискрет олмайыб кясилмяздир. Биз бурада Е

<0 олан 

щала бахмагла кифайятляняъяйик. Е

>0 щалы тоггушмалар, мясялян електронларын 

сяпилмяси  щаггында мясяляляря уйьундур ки, бу да щям нязяри, щям  дя практик 

бахымдан  бюйцк  ящямиййят  кясб  едир.  Беля  мясялялярин  щяллиня  квант 

механикасынын хцсуси бюлмяляриндя бахылыр. 

Гейд едяк ки, Е

<0 олан щал цчцн (98.2) тянлийини садяляшдирмяк мягсяди иля 

ашаьыдакы кими явязлямяляр етмяк мягсядяуйьундур: 

E

e

mz

n

2

4

2

2

2h

−

=

,   

 

              (98.5) 

r

na

z

r

n

mze

⋅

=

⋅

=

0

2

2

2

2

h

ρ

,   

                    (98.6) 

2

2

0

me

a

h

=

. 

 

 

          (98.7) 

Эюрцндцйц  кими,  бу  явязлямяляр (98.2) тянлийиндя  Е  вя  r  кямиййятляриндян 

адсыз n вя 

ρ

 дяйишянляриня кечмяйя имкан верир. (98.7) дцстуру иля тяйин олунан 

а

0

  кямиййяти  узунлуг  ващиди  иля  юлчцлцр. (а

0

=0,529

⋅10

-10

 м)  вя  сонра 

эюряъяйимиз кими биринъи Бор орбитинин радиусуна бярабярдир. (98.5) вя (98.6) 

ифадялярини (98.2) тянлийиндя йазараг лазыми чевирмяляр апардыгдан сонра 

( )

( )

( ) ( )

0

1

4

1

2

2

2

2

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

+

−

+

+

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

R

l

l

n

d

dR

d

R

d

           (98.8) 

тянлийини алырыг.  

(98.4)  кими  тяйин  олунан  u

ефф

  потенсиал  енержиси  цчцн 98.1 шяклиндяки 

графикя  ясасян (98.2) вя  йа (98.8) тянлийинин  щяллинин  цмуми  характери 

щаггында  фикир  сюйлямяк  олар.  Айдындыр  ки,  потенсиал  чухурун  дахилиндя, 

йяни  r

мин

<r<r

макс

  шярти  юдяндикдя  бу  щялл  рягс  характерли,  потенсиал  чухурдан 

кянарда (r

→0 вя r→∞) ися щям сонсуз артан вя щям дя сонсуз азалан олаъагдыр. 

Сонсуз  артан  щялляри  арадан  чыхармаьа  имкан  верян  шяртлярин  сечилмяси 

зяруридир.  Щармоник  осилйатор  цчцн  (Ё93)  олдуьу  кими,  бу  тяляб  електронун 

дискрет  енержи  сявиййяляринин  тапылмасына  эятирмялидир.  Бцтцн  бунлары 

мцяййян етмяк цчцн ися (98.8) тянлийинин яввялъя асимптотик щяллярини тапмаг 

лазымдыр. 98.1 шяклиндян эюрцндцйц кими, потенсиал чухур симметрийайа малик 

олмадыьы  цчцн (98.8) тянлийинин 

ρ

→0  вя 

ρ

→∞  щалларында  асимптотик 

щяллярини айрылыгда ахтармаг лазымдыр. 

 

635

Яввялъя 

ρ

→∞  щалы  цчцн (98.8) тянлийинин  асимптотик  щялли  олан  R

∞

(

ρ

) 

функсийасыны тапаг. 

ρ

→∞ (вя демяли, r→∞) олдугда (98.8) тянлийиндя 1/

ρ

 вя 1/

ρ

2

 

дахил олан щядляри нязяря алмамаг олар. Онда бу щал цчцн (98.8) тянлийи 

0

4

1

2

2

=

−

∞

∞

R

d

R

d

ρ

 

 

            (98.9) 

шяклиня дцшцр. Бу тянлийин щялли ися 

( )

2

2

2

1

ρ

ρ

ρ

e

C

e

C

R

+

=

−

∞

 

                (98.10) 

кими  ахтарыла  биляр.  Лакин  бурада  икинъи  щядд  дальа  функсийасынын  сонлу 

олмасы  хассясиня  уйьун  эялмир  (

ρ

→∞  олдугда  експоненсиал  ганунла  сонсуз 

артыр)  вя  она  эюря  дя  нязяря  алынмамалыдыр.  Бу  мягсядля (98.10)-да  C

2

=0 

эютцрцлмялидир.  C

1

  сабити  дальа  функсийасынын  цмуми  нормаллашдырыъы 

вуруьуна  дахил  едиля  биляр  вя  она  эюря  дя  бурада  ону 1-я  бярабяр  эютцрцрцк. 

Беляликля, 

( )

2

ρ

ρ

−

∞

= e

R

   

 

        (98.11) 

алырыг. 

Инди ися 

ρ

→0 асимптотик щалына бахаг. 

ρ

→0 олдугда (98.8) тянлийиндя орта 

мютяризядя  l(l+1)/

ρ

2

  щядди  диэяр  ики  щяддя  нисбятян  чох  бюйцк  олдуьу  цчцн 

щямин  щядляри  нязяря  алмамаг  олар.  Онда  бу  щал  цчцн (98.8) тянлийинин 

асимптотик щяллини R

0

(

ρ

) иля ишаря едяряк 

( )

0

1

2

0

2

0

2

0

2

=

+

−

+

R

l

l

d

dR

d

R

d

ρ

ρ

ρ

ρ

   

       (98.12) 

йаза билярик. Бу тянлийин щяллини R

0

(

ρ

)=

ρ

q

 кими ахтараг. Бурада q–там ядяддир. 

Онда q–нц тапмаг цчцн (98.12)-йя ясасян 

q(q+1)-l(l+1)=0  

 

         (98.13) 

квадрат тянлийини алырыг. Бу тянлийин щяллиндян 

q

1

=l, q

2

=-(l+1) 

кюкляри тапылыр. Демяли, (98.12) тянлийинин цмуми щялли 

R

0

(

ρ

)=C

1

ρ

l

+C

2

ρ

-(l+1)

 

 

            (98.14) 

олур.  Лакин 

ρ

→0  олдугда 

ρ

-(l+1)

  функсийасы  сонсуз  артыр  вя  бу,  дальа 

функсийасынын  сонлу  олмасы  шяртиня  зиддир.  Она  эюря  дя (98.14)-дя  C

2

=0 

эютцрмякля  бу  уйьунсузлуьу  арадан  галдырмаг  лазымдыр.  Бир  гядяр  яввял  гейд 

етдийимиз кими, бурада да C

1

=1 гябул етмяк олар. Онда 

R

0

(

ρ

)=

ρ

l

 

 

 

     (98.15) 

алыныр. 

Беляликля, дальа функсийасынын сонлу олмасы шярти тяляб едир ки, 

ρ

→∞ вя 

ρ

→0  асимптотик  щалларында (98.8) тянлийинин  щялляри (98.11) вя (98.15) кими 

тяйин олунмалыдыр. Онда (98.8) тянлийинин цмуми щяллини 

R(

ρ

)=R

0

(

ρ

)R

∞

(

ρ

)u(

ρ

)=

ρ

l

e

-

ρ

/2

u(

ρ

)                       (98.16) 

 

636 

шяклиндя ахтармаг олар. Бурада u(

ρ

)–сонлу вя кясилмяз намялум функсийадыр. Бу 

функсийаны  тапмаг  цчцн  тянлик  алмаг  мягсядиля (98.16)-ны (98.8)-дя  йазаг  вя 

лазыми чевирмяляр апараг. Онда 

(

)

(

)

0

 

1

2

2

2

2

=

−

−

+

−

+

+

u

l

n

d

du

l

d

u

d

ρ

ρ

ρ

ρ

               (98.17) 

алыныр. Бурада 

β

=2l+1, 

α

=n+l   

 

           (98.18 

ишаря етсяк 

(

)

(

)

0

 

1

2

2

=

−

+

−

+

+

u

d

du

d

u

d

β

α

ρ

ρ

β

ρ

ρ

 

тянлийини  алырыг  ки,  бу  да  бирляшмиш  Лагер  полиномунун 

  юдядийи 

(81.16) тянлийи иля ейнидир. Беляликля, айдын олур ки, (98.17) тянлийинин щялли 

олан  u(

ρ

)  функсийасы (81.9) вя (81.16) иля  тяйин  олунан  бирляшмиш  Лагер 

полиномудур: 

( )

ρ

β

α

L

( )

( )

ρ

ρ

1

2

+

+

=

l

l

n

L

u

   

 

              (98.19) 

Демяли,  щидроэенябянзяр атомлар  цчцн (96.4) Шрединэер тянлийинин  радиал 

щиссяси  олан (98.2) тянлийинин  цмуми  щялли (98.16) вя (98.19) дцстурларына 

ясасян ашаьыдакы кими тяйин олунур: 

( )

( )

ρ

ρ

ρ

1

2

2

+

+

−

=

l

l

n

l

nl

nl

L

e

C

r

R

, 

r

na

z ⋅

=

0

2

ρ

.               (98.20) 

Бурада  C

nl

–  нормаллашдырыъы  вуругдур  вя  R

nl

(r)  функсийасынын  нормаллыг 

шяртиндян тапылыр: 

( )

[

]

1

0

2

2

=

∫

∞

dr

r

r

R

nl

. 

 

           (98.21) 

(98.20)-ни (98.21)-дя нязяря алсаг 

( )

[

]

( )

[

]

∫

∫

∞

+

+

−

∞

=

=

0

2

2

1

2

2

2

0

2

2

1

dr

r

L

e

C

dr

r

r

R

l

l

n

l

nl

nl

ρ

ρ

ρ

         (98.22) 

олар.  Бурада 

ρ

z

na

r

2

0

=

  олдуьуну  нязяря  алсаг, (98.18) вя (81.47) ифадяляриндян 

истифадя етсяк 

( )

[

]

(

)

[

]

(

)

! 

1

! 

2

2

2

1

3

3

0

2

0

2

1

2

2

2

3

0

2

−

−

+

⋅

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

∫

∞

+

+

−

+

l

n

l

n

n

z

na

C

d

L

e

z

na

C

nl

l

l

n

l

nl

ρ

ρ

ρ

ρ

               (98.23) 

алыныр. 

Демяли, 

щидроэенябянзяр 

атомларын 

дальа 

функсийасынын 

нормаллашдырылмыш радиал щиссяси (98.20) вя (98.23)-я ясасян 

 

637

( )

(

)

(

)

[

]

( )

ρ

ρ

ρ

1

2

2

3

3

0

! 

2

! 

1

2

+

+

−

+

⋅

−

−

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

l

l

n

l

nl

L

e

l

n

n

l

n

na

z

r

R

         (98.24) 

кими тяйин олунур. Бурада квадрат кюк мянфи ишаря иля эютцрцлмцшдцр ки, бу 

да функсийанын мцсбят ишаряли олмасыны тямин едир. 

Ё81-дя  исбат  едилмишдир  ки, (98.17) тянлийинин  сонлу,  биргиймятли  вя 

кясилмяз  щяллинин  алынмасы  цчцн  n-l-1  мцсбят  там  ядяд  олмалыдыр.  Бурада  l 

квант ядяди l=0, 1, 2, … мцсбят там гиймятляр ала билдийиндян айдын олур ки, n 

ядяди  йалныз  n=1, 2, 3, …  там  гиймятлярини  ала  биляр.  Демяли,  n=0  ола  билмяз! 

Бундан башга, Ё81-дя эюстярилмишдир ки, 

( )

ρ

β

α

L

 бирляшмиш Лагер полиномунун 

ифадясиндя 

β

≤

α

 шярти юдянмялидир. Бу ися о демякдир ки, n вя l квант ядядляри 

бир-бири иля ялагяли олан гиймятляр алмалыдыр, йяни n

≥l+1 олмалыдыр. Демяли, 

n

  квант  ядядинин  верилмиш  гиймятиндя  l  квант  ядяди  йалныз  l=0, 1, 2, …, n-1 

гиймятлярини ала биляр. 

Йухарыда дейилянлярдян вя (98.5) ифадясиндян эюрцнцр ки, щидроэенябянзяр 

атомларда  електронун  енержиси  дискрет  мянфи  гиймятляр  алмалы,  йяни 

квантланмалыдыр: 

2

3

4

2

2

n

e

mz

E

n

h

−

=

, n=1, 2, 3, …, 

∞.  

            (98.25) 

Эюрцндцйц  кими,  квант  механикасында  Шрединэер  тянлийинин  щяллиня  ясасян 

щидроэенябянзяр атомларда електронун енержиси цчцн алынмыш (98.25) ифадяси 

Бор-Зоммерфелд  нязяриййяси  васитясиля  тапылмыш (55.6) вя  йа (57.56) дцстуру 

иля ейнидир. 

Щидроэенябянзяр атомларын дальа функсийаларыны (96.13)-я уйьун олараг 

ψ

nlm

(r,

θ

,

ϕ

)=R

nl

(r)Y

lm

(

θ

,

ϕ

) 

 

      (98.26) 

кими йазмаг олар. Бурада R

nl

(r) вя Y

lm

(

θ

,

ϕ

) функсийалары, уйьун олараг, (98.24) вя 

(84.29)  ифадяляри  иля  тяйин  олунур.  Y

lm

(

θ

,

ϕ

)  комплекс  сферик  функсийалар  цчцн 

бязи ифадяляр Ё84-дя верилмишдир /бах: (84.43)/. 

Щидроэенябянзяр  атомларын  нормаланмыш  R

nl

(r)  радиал  функсийалары  цчцн 

(81.21)  вя (98.24) дцстурларына  ясасян  тапылмыш  бязи  ифадяляр  ися  ашаьыдакы 

кимидир (

r

a

z

l

n

0

 ,

1

=

+

≥

ρ

): 

 

n l

 

 

R

nl

(r) 

1

 

0  

ρ

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

e

a

z

2

3

0

2

 

2

 

0  

(

)

2

2

3

0

2

2

2

1

ρ

ρ

−

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

e

a

z

 

2

 

1  

2

2

3

0

6

2

1

ρ

ρ

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

e

a

z

 

 

638 

3

 

0  

(

)

3

2

2

3

0

2

18

27

3

81

2

ρ

ρ

ρ

−

+

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

e

a

z

 

3

 

1  

(

)

3

2

2

3

0

6

6

81

4

ρ

ρ

ρ

−

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

e

a

z

 

3 2 

 

3

2

2

3

0

30

81

4

ρ

ρ

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

e

a

z

   

 

 

     (98.27) 

(98.26), (98.27) вя (84.43) дцстурларындан  истифадя  едяряк  щидроэенябянзяр 

атомларын нормаланмыш дальа функсийаларынын ашкар ифадясини йазмаг олар. 

Беля ифадялярин бязиляри ашаьыда верилмишдир (

r

a

z

0

=

ρ

): 

n l  m

   

ψ

nlm

(r,

θ

,

ϕ

)=R

nl

(r)Y

lm

(

θ

,

ϕ

) 

1 0  0  

ρ

π

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

e

a

z

2

3

0

1

 

2 0  0  

(

)

2

2

3

0

 

2

2

4

1

ρ

ρ

π

−

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

e

a

z

 

2 1  0  

θ

ρ

π

ρ

cos

 

2

4

1

2

2

3

0

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

e

a

z

 

2 1 

±1  

ϕ

ρ

θ

ρ

π

i

e

e

a

z

±

−

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

 

sin

 

8

1

2

2

3

0

 

3 0  0  

(

)

3

2

2

3

0

 

2

18

27

2

81

1

ρ

ρ

ρ

π

−

+

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

e

a

z

 

3 1  0  

(

)

θ

ρ

ρ

π

ρ

cos

 

6

2

81

1

3

2

2

3

0

⋅

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

e

a

z

 

3 1 

±1  

(

)

ϕ

ρ

θ

ρ

ρ

π

i

e

e

a

z

±

−

⋅

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

 

sin

 

6

2

81

1

3

2

2

3

0

 

3 2  0  

(

)

1

cos

3

6

81

1

2

3

2

2

3

0

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

θ

ρ

π

ρ

e

a

z

 

3 2 

±1  

ϕ

ρ

θ

θ

ρ

π

i

e

e

a

z

±

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

 

cos

sin

81

1

3

2

2

3

0

 

3 2 

±2  

ϕ

ρ

θ

ρ

π

i

e

e

a

z

2

2

3

2

2

3

0

 

sin

162

1

±

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

 

 

     (98.28) 

Атом  физикасында  бир  чох  щалларда  щидроэенябянзяр  атомларын (98.26) 

комплекс дальа функсийалары явязиня щягиги дальа функсийаларындан истифадя 

 

639

етмяк  ялверишли  олур. (98.26) комплекс  дальа  функсийаларындан  фяргли  олараг 

щягиги  дальа  функсийаларынын  буъагдан  асылы  щиссяси  щягиги  сферик 

функсийалардыр. Биз щягиги сферик функсийалары S

lm

(

θ

,

ϕ

) кими ишаря едяъяйик. 

Щягиги  сферик  функсийалар (84.29) Y

lm

(

θ

,

ϕ

)  комплекс  сферик  функсийаларын 

ашаьыдакы хятти комбинасийаларындан алыныр: 

( )

( )

( )

[

]

(

)

ϕ

θ

π

ϕ

θ

ϕ

θ

ϕ

θ

m

N

Y

Y

S

m

l

m

l

m

l

m

l

cos

cos

1

,

,

2

1

,

⋅

=

+

=

−

,   (98.29) 

( )

( )

( )

[

]

(

)

ϕ

θ

π

ϕ

θ

ϕ

θ

ϕ

θ

m

N

Y

Y

i

S

m

l

m

l

m

l

m

l

sin

cos

1

,

,

2

1

,

⋅

=

−

=

−

−

, (98.30) 

( )

( )

(

θ

π

ϕ

θ

ϕ

θ

cos

2

1

,

,

0

0

0

l

l

l

N

Y

S

=

=

)

.                 (98.31) 

Бу ифадяляри йазаркян Y

lm

(

θ

,

ϕ

) функсийалары цчцн (84.29) ифадясиндян истифадя 

едилмиш вя 

e

im

ϕ

=cosm

ϕ

+isinm

ϕ

 

 

             (98.32) 

олдуьу нязяря алынмышдыр. 

Гейд едяк ки, (98.29)-(98.31) ифадялярини бирляшдиряряк 

( )

(

)

(

)

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

<

≥

⋅

+

=

0

,

sin

0

,

cos

cos

1

1

,

0

m

m

m

m

N

S

m

l

m

lm

ϕ

ϕ

θ

π

δ

ϕ

θ

    (98.33) 

кими йазмаг олар. 

Тяйининдян эюрцндцйц кими, S

lm

(

θ

,

ϕ

) щягиги сферик функсийалары (84.37)-йя 

ясасян  импулс  моментинин  квадраты  операторунун  мяхсуси  функсийаларыдыр, 

лакин импулс моментинин цстцн истигамят цзря пройексийасы операторунун (

) 

мяхсуси функсийалары дейилдир, йяни 

z

Mˆ

( )

( ) ( )

ϕ

θ

ϕ

θ

,

1

,

ˆ

2

2

lm

lm

S

l

l

S

M

+

= h

. 

         (98.34) 

Щягиги сферик функсийалар да ортонормаллыг шяртини юдяйирляр: 

( ) ( )

'

'

0

2

0

'

'

 

 

sin

,

,

mm

ll

m

l

lm

d

d

S

S

δ

δ

ϕ

θ

θ

ϕ

θ

ϕ

θ

π π

=

∫ ∫

.            (98.35) 

Бурада 

δ

kk'

–Кронекерин 

δ

–символудур /бах: (72.21)/. 

Беляликля, щидроэенябянзяр атомларын щягиги дальа функсийалары 

u

nlm

(r,

θ

,

ϕ

)=R

nl

(r)S

lm

(

θ

,

ϕ

) 

 

      (98.36) 

кими тяйин олунур (

ψ

nlm

 комплекс функсийаларындан фяргляндирмяк цчцн щягиги 

функсийалары u

nlm

 кими ишаря едяъяйик). 

(80.49)  вя (98.33) дцстурларына  ясасян  S

lm

(

θ

,

ϕ

)  щягиги  сферик  функсийалары 

цчцн тапылмыш бязи ифадяляр ашаьыда верилмишдир: 

 

l m 

 

S

lm

(

θ

,

ϕ

) 

 

640 

0 0 

 

π

4

1

 

1 0 

 

θ

π

cos

4

3

 

1 1 

 

ϕ

θ

π

cos

sin

4

3

 

1 –1   

ϕ

θ

π

sin

sin

4

3

 

2 0 

 

(

)

1

cos

3

16

5

2

−

θ

π

 

2 1 

 

ϕ

θ

π

cos

2

sin

16

15

 

2 –1   

ϕ

θ

π

sin

2

sin

16

15

 

2 2 

 

ϕ

θ

π

2

cos

sin

16

15

2

 

2 –2   

ϕ

θ

π

2

sin

sin

16

15

2

 

3 0 

 

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

θ

θ

π

cos

cos

3

5

16

63

3

 

3 1 

 

(

)

ϕ

θ

θ

θ

π

cos

sin

sin

cos

5

32

21

2

−

 

3 –1   

(

)

ϕ

θ

θ

θ

π

sin

sin

sin

cos

5

32

21

2

−

 

3 2 

 

ϕ

θ

θ

π

2

cos

cos

sin

16

105

2

 

3 2 

 

ϕ

θ

θ

π

2

sin

cos

sin

16

105

2

 

3 3 

 

ϕ

θ

π

3

cos

sin

32

35

3

 

3 –3   

ϕ

θ

π

3

sin

sin

32

35

3

 

 

 

 

     (98.37) 

(98.36), (98.27) вя (98.37) ифадяляриня ясасян щидроэенябянзяр атомларын бязи 

щягиги  дальа  функсийалары  цчцн  тапылмыш  ифадяляр  ашаьыдакы  кимидир 

(

r

a

z

0

=

ρ

): 

n l  m   

u

nlm

(r,

θ

,

ϕ

)=R

nl

(r)S

lm

(

θ

,

ϕ

) 

 

641

1 0  0  

ρ

π

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

e

a

z

2

3

0

1

 

2 0  0  

(

)

2

2

3

0

 

2

2

4

1

ρ

ρ

π

−

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

e

a

z

 

2 1  0  

θ

ρ

π

ρ

cos

 

2

4

1

2

2

3

0

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

e

a

z

 

2 1  1  

ϕ

θ

ρ

π

ρ

cos

sin

 

2

4

1

2

2

3

0

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

e

a

z

 

2 1 –1  

ϕ

θ

ρ

π

ρ

sin

sin

 

2

4

1

2

2

3

0

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

e

a

z

 

3 0  0  

(

)

3

2

2

3

0

 

2

18

27

3

81

1

ρ

ρ

ρ

π

−

+

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

e

a

z

 

3 1  0  

(

)

θ

ρ

ρ

π

ρ

cos

 

6

2

81

1

3

2

2

3

0

−

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

e

a

z

 

3 1  1  

(

)

ϕ

θ

ρ

ρ

π

ρ

cos

sin

 

6

2

81

1

3

2

2

3

0

−

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

e

a

z

 

3 1 –1  

(

)

ϕ

θ

ρ

ρ

π

ρ

sin

sin

 

6

2

81

1

3

2

2

3

0

−

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

e

a

z

 

3 2  0  

(

)

1

cos

3

6

81

1

2

3

2

2

3

0

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

θ

ρ

π

ρ

e

a

z

 

3 2  1  

ϕ

θ

ρ

π

ρ

cos

2

sin

2

81

1

3

2

2

3

0

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

e

a

z

 

3 2 –1  

ϕ

θ

ρ

π

ρ

sin

2

sin

2

81

1

2

2

2

3

0

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

e

a

z

 

3 2  2  

ϕ

θ

ρ

π

ρ

2

cos

sin

2

81

1

2

3

2

2

3

0

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

e

a

z

 

3 2 –2  

ϕ

θ

ρ

π

ρ

2

sin

sin

2

81

1

2

3

2

2

3

0

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

e

a

z

 

 

     (98.38) 

Гейд  едяк  ки, (98.24) дцстуру  иля  тяйин  олунан  нормаланмыш  R

nl

(r)  радиал 

функсийалары щям дя ашаьыдакы ортогоналлыг шяртини юдяйирляр. 

( ) ( )

'

0

2

'

nn

l

n

nl

dr

r

r

R

r

R

δ

=

∫

∞

. 

              (98.39) 

 

642 

(84.34), (98.35) вя (98.39) ифадяляриня  ясасян  дейя  билярик  ки, 

щидроэенябянзяр  атомларын (98.26) комплекс  вя (98.36) щягиги  дальа 

функсийалары ортонормаллыг шяртини юдяйирляр, йяни 

(

)

(

)

'

'

'

0

2

'

'

'

0

2

0

 

 

sin

,

,

 

,

,

mm

ll

nn

m

l

n

nlm

d

d

dr

r

r

r

δ

δ

δ

ϕ

θ

θ

ϕ

θ

ψ

ϕ

θ

ψ

π π

=

∫∫ ∫

∞

∗

 (98.40) 

(

)

(

)

'

'

'

0

2

'

'

'

0

2

0

 

 

sin

,

,

 

,

,

mm

ll

nn

m

l

n

nlm

d

d

dr

r

r

u

r

u

δ

δ

δ

ϕ

θ

θ

ϕ

θ

ϕ

θ

π π

=

∫∫ ∫

∞

. (98.41) 

Щидроэенябянзяр  атомларын (98.26) вя  йа (98.36) дальа  функсийаларынын 

ифадяляриня дахил олан n,l вя m ядядляри, уйьун олараг, баш, орбитал вя магнит 

квант ядядляри адланыр. Бу квант ядядляри дальа функсийасынын юдямяли олдуьу 

тябии (стандарт) шяртлярин (сонлу, биргиймятли, кясилмяз) тялябиня уйьун олараг 

мейдана  чыхыр  (ЁЁ84,95,98).  n  баш  квант  ядяди (98.25) дцстуруна  ясасян 

щидроэенябянзяр  атомда  електронун  енержисини,  l  орбитал  квант  ядяди (84.37) 

ифадясиня ясасян електронун импулс (орбитал) моментини, m магнит квант ядяди 

ися (84.38)-я  ясасян  електронун  орбитал  моментинин  цстцн  истигамят  цзря 

пройексийасыны  тяйин  едир.  Щям  дя  беля  демяк  олар  ки,  бу  квант  ядядляри 

нцвянин  йаратдыьы  мяркязи  сащядя  щярякят  едян  електронун  там  енержисинин, 

импулс  моментинин  вя  бу  моментин  цстцн  истигамят  цзря  пройексийасынын 

сахланмасы  ганунларынын  еля  бил  ки,  квант  механикасында  ифадясидир. 

Щидроэенябянзяр  атомлар  цчцн  Шрединэер  тянлийинин  щялли  заманы,  дальа 

функсийасынын  хассяляриня  уйьун  сурятдя,  рийази  олараг,  алыныр  ки,  n, l  вя  m 

квант  ядядляри  бир-бири  иля  ялагяли  шякилдя  ашаьыдакы  там  гиймятляри  алыр: 

n=1, 2, 3, …, 

∞;  n  баш  квант  ядядинин  верилмиш  гиймятиндя  l=0, 1, 2, …, n-1;  l 

орбитал квант ядядинин верилмиш гиймятиндя  m=-l, -l+1, …, 0, …, l, l-1, йяни 2l+1 

сайда гиймят. Мясялян, 

 

 n=3 

 

l=0, 1, 2; 

 

l=0; 

m=0; 

 

l=1; 

m= –1, 0, 1; 

 

l=2;  

m=-2, -1, 0, 1, 2. 

(98.25), (98.26) вя (98.36) дцстурларындан  эюрцнцр  ки,  щидроэенябянзяр 

атомларда  електронун  енержиси  E

n

  йалныз  баш  квант  ядядиндян  асылы  олдуьу 

щалда дальа функсийасы n,l вя m квант ядядляринин цчцндян дя асылыдыр. Бу ися 

о демякдир ки, щидроэенябянзяр атомларда щяр бир E

n

 енержи сявиййяси мцяййян 

тяртибдян ъырлашмышдыр, йяни енержинин ейни бир E

n

 гиймятиня бир-бириндян 

l  вя  m  квант  ядядляри  иля  фярглянян  мцхтялиф  щаллар  (дальа  функсийалары) 

уйьун эялир. Бу щалларын сайы ъырлашма тяртиби адланыр. n баш квант ядядинин 

верилмиш гиймятиндя l=0, 1, 2, …, n-1 гиймятлярини, l-ин щяр бир гиймятиндя ися 

m  квант  ядяди  2l+1  сайда  гиймятляр  алдыьындан  щидроэенябянзяр  атомларда  E

n

 

енержи сявиййясинин ъырлашма тяртиби цчцн 

 

643

(

)

(

)

2

1

0

1

2

5

3

1

1

2

n

n

l

g

n

l

n

=

−

+

⋅⋅

⋅

+

+

+

=

+

=

∑

−

=

            (98.42) 

алырыг.  Демяли,  щидроэенябянзяр  атомларда  щяр  бир  E

n

  енержи  сявиййяси  n

2

 

тяртибдян  ъырлашмышдыр.  Мясялян,  йухарыда  верилмиш  мисалдан  эюрцнцр  ки, 

n=3  олдугда  ъырлашма  тяртиби 9-а  бярабярдир.  Електронун  спинини  дя  нязяря 

алдыгда щидроэенябянзяр атомда E

n

 енержи сявиййясинин ъырлашма тяртиби 2n

2

 

олур. 

Ё96-да эюрдцк ки, m магнит квант ядяди цзря ъырлашма сферик симметрийайа 

малик олан мяркязи сащядя щярякятин цмуми хассясидир. Лакин Кулон сащясиндя 

щярякят  едян  електронун  енержи  сявиййяляри  щям  дя  l  орбитал  квант  ядядиня 

эюря  ъырлашмышдыр.  Гцввяляр  ганунуну  бир  балаъа  дяйишян  кими,  енержи  l 

квант  ядядиндян  дя  асылы  олур  вя  бу  ъырлашма,  йяни  енержинин  l  квант 

ядядиндян асылы олмамасы тясадцфи ъырлашма адланыр. 

Кулон  сащяси  олмайан  диэяр  мяркязи–симметрик  сащялярдя  l  цзря  ъырлашма 

олмур,  йяни  n-ин  верилмиш  гиймятиня  уйьун  енержи  сявиййяси  l-ин  мцхтялиф 

гиймятляриня  уйьун  эялян  n  сайда  алт  сявиййяйя  парчаланыр.  Мясялян,  хцсуси 

щалда,  щятта  щидроэенябянзяр  атомда  релйативистик  еффектлярин,  нцвянин 

щяъминин  вя  йа  вакуум  дцзялишляринин  нязяря  алынмасы  l  цзря  ъырлашманы 

арадан  галдырыр.  Буна  охшар  олараг,  атомларынын  хариъи  електрон  тябягясиндя 

бир  дяня  електрон  олан  гяляви  металларда  дахили  тябягялярдяки  електронларын 

тясири нятиъясиндя спектрдя l цзря ъырлашма арадан галхмыш олур. Яэяр систем 

щям  дя  онун  мяркязи-симметрийасыны  позан  хариъи  сащядя  (мясялян,  магнит 

сащясиндя) йерляшдирился, m квант ядяди цзря ъырлашма да арадан галхыр, йяни 

E

n

 енержи сявиййяси n

2

 сайда алт сявиййяйя парчаланыр. 

Щидроэенябянзяр  атомларда  електронун  енержиси  цчцн  Шрединэер 

тянлийинин  щялли  заманы  алынмыш (98.25) дцстуру  Бор-Зоммерфелд 

нязяриййясиня 

ясасян 

тапылмыш (55.6) вя 

йа (57.56) дцстурундан 

фярглянмядийиндян,  щидроэен  атомунун  (z=1)  енержи  сявиййяляринин (98.25)-я 

ясасян гурулмуш схеми дя Бор нязяриййясиня ясасян гурулмуш вя 55.1 шяклиндя 

тясвир олунмуш схемля тамамиля цст-цстя дцшцр. Щидроэен атомунун спектриндя 

шцаланма  тезликляри  вя  мцхтялиф  серийалар  да  квант  механикасына  ясасян  Бор 

нязяриййясиндя  (Ё55)  тапылмыш  дцстурлара  там  охшар  олан  дцстурларла  тясвир 

олунур.  Мящз  буна  эюря  дя  онлары  бурада  тякрар  етмяйя  лцзум  йохдур.  Лакин 

щямин  дцстурларын  Бор  нязяриййясиня  вя  квант  механикасына  ясасян 

шярщиндяки фяргляри эюстярмяк мцщцм ящямиййят кясб едир. 

Бор  нязяриййясиндя  беля  щесаб  олунур  ки,  електронун  нцвя  ятрафында 

щярякяти  мцстяви  орбитляр  цзря  баш  верир  вя  демяли,  сферик  симметрик  ола 

билмяз.  Квант  механикасында  ися  електронларын  орбит  цзря  щярякяти  щаггында 

данышмаьын  мянасы  йохдур  вя  она  эюря  дя  атомун  сферик  симметрик 

щалларынын реаллашмасы цчцн щеч бир янэял ола билмяз. Сферик симметрийадан 

эюрцнцр ки, классик механикада импулс моменти адланан кямиййят сыфра бярабяр 

ола биляр. Бор нязяриййясиндя ися йалныз атомун радиусу бойунъа щярякят едян 

електронун  импулс  моменти  сыфра  бярабяр  ола  биляр  вя  бу  щалда  да,  о,  атомун 

нцвяси  иля  тоггуша  биляр.  Бор  нязяриййяси  бу  чятинлийи  арадан  галдыра  билян 

гянаятбяхш  чыхыш  йолу  тапа  билмядийиндян,  нцвя  иля  тоггушманы  арадан 

галдырмаг цчцн електронун радиал щярякятини садяъя олараг гейри мцмкцн щесаб 

 

644 

едир.  Квант  механикасында  ися  бу  вя  буна  бянзяр  сцниликляря  ещтийаъ  галмыр. 

Беля  ки,  гейд  етдийимиз  кими,  квант  механикасында  електронун  щяр  щансы 

трайекторийа цзря щярякяти щаггында данышмаг, йяни електронун координатыны 

замандан  асылы  олан  функсийа  кими  эюстярмяк  олмаз.  Бу,  квант  механикасында 

микрощиссяъийин  щярякятинин  ещтимал  характерли  тясвиринин  цмуми 

хцсусиййятляри  иля  ялагядардыр  (Ё69).  Она  эюря  дя  електронун  мцяййян  орбит 

цзря  щярякяти  щаггында  тясяввцр  явязиня  електронун  щярякят  щалы 

анлайышындан  истифадя  едилир  ки,  бу  щал  да  мцяййян  дальа  функсийасы  иля 

тясвир  олунур.  Башга  сюзля,  дейирляр  ки,  електрон  бу  вя  йа  башга  щалда 

йерляшмишдир.  Електронун  щярякят  щалынын  щятта  тягриби  дя  олса  классик 

аналогу  йохдур.  Мясялян,  l=0  олдугда  електронун  импулс  моменти  сыфра 

бярабярдир.  Йухарыда  гейд  етдийимиз  кими,  классик  механика  бахымындан  бу, 

атомда  електронун  радиус  бойунъа  щярякятиня  уйьун  эялир,  йяни  беля  щярякят 

заманы електрон нцвянин йерляшдийи областдан кечмялидир. Классик механикада 

бу,  гейри  мцмкцндцр.  Квант  механикасына  эюря  ися  орбитал  моментин  сыфра 

бярабяр олдуьу щярякят щалы мцмкцндцр. 

Бор нязяриййяси изащ едя билмир ки, ня цчцн (55.6) вя йа (57.56) дцстурунда 

n=0 ола билмяз. (98.25) дцстурунда ися n=0 гиймяти тябии сурятдя арадан чыхыр. 

Чцнки дальа функсийасынын юдямяли олдуьу тябии шяртляр тяляб едир ки, n-l-1 

там мцсбят ядяд олмалыдыр вя l=0, 1, 2, … олдуьу цчцн n баш квант ядядинин ян 

кичик гиймяти n=1 олмалыдыр. 

Диэяр мцщцм фярг щярякятин характеринин вя квант кечидляринин шярщи иля 

ялагядардыр.  Бор  нязяриййясиндя  беля  щесаб  едилир  ки,  електрон  классик 

механикайа эюря тапылмыш трайекторийадан демяк олар ки, фярглянмяйян орбит 

цзря  щярякят  едир.  Фярг  йалныз  ондан  ибарятдир  ки,  тяъилля  щярякят  етмясиня 

бахмайараг,  електрон  шца  бурахмыр.  Бундан  башга  баша  дцшцлмцр  ки,  електрон 

ня цчцн диэяр орбит цзря дейил, мящз бу классик орбит цзря щярякят едир (Борун 

квантланма  шярти).  Бор  нязяриййясиня  эюря  шцаланма  електронун  бир  орбитдян 

диэяриня кечмяси заманы баш верир. Квант механикасына эюря ися бир орбитдян 

диэяриня  кечид  електронун  бир  щалдан  диэяр  щала  кечидиня  уйьун  эялир.  Бор 

нязяриййясиня  вя  квант  механикасына  эюря  шярщлярдяки  фярг  ондан  ибарятдир 

ки,  електронун  бир  орбитдян  диэяриня  кечиди  онун  фязада  йердяйишмяси  кими 

баша дцшцлдцйц щалда, електронун бир щалдан диэяр щала кечмяси онун фязада 

щяр щансы конкрет щярякяти иля ялагядар дейилдир. 

Квант  механикасы  тясяввцрляриня  эюря  щидроэенябянзяр  атомда  щалы 

ψ

nlm

(r,

θ

,

ϕ

)  дальа  функсийасы  иля  тясвир  олунан  електронун  координатлары  r,

θ

,

ϕ

 

олан нюгтяни ящатя едян сонсуз кичик щяъм елементиндя олмасы ещтималы 

(

)

(

)

( ) ( )

ϕ

θ

θ

ϕ

θ

ϕ

θ

ψ

ϕ

θ

d

d

dr

r

Y

r

R

dV

r

r

dW

lm

nl

nlm

nlm

 

 

sin

,

,

,

,

,

2

2

2

=

=

=

 

             (98.43) 

кими  тяйин  олунур.  Бу  ифадяни 

θ

  вя 

ϕ

  сферик  буъагларынын  бцтцн  гиймятляри 

цзря  интегралласаг  вя  Y

lm

(

θ

,

ϕ

)  сферик  функсийалар  цчцн (84.34) ортонормаллыг 

шяртини нязяря алсаг електронун (r,r+dr) сферик гатында олмасы ещтималы цчцн 

( )

( )

[

]

dr

r

r

R

r

dW

nl

nl

2

2

=

,   

                 (98.44) 

 

645

бу ещтималын сыхлыьы цчцн ися 

( )

( )

[

]

2

2

r

r

R

dr

dW

r

nl

nl

nl

=

=

ω

 

 

     (98.45) 

аларыг. 

(98.45)  ифадяси  мцхтялиф  квант  щалларында  йерляшян  електронун  нцвядян  r 

мясафясиндя  йерляшмяси  ещтималынын  сыхлыьыны  тяйин  едир.  Мясялян, 

щидроэенябянзяр  атомун  ясас  щалы  цчцн  n=1  олдуьундан  бу  щалы  тясвир  едян 

радиал  функсийа  R

10

(r)  олур. (98.27)-йя  ясасян  R

10

(r)  функсийасынын  ифадясини 

(98.45)-дя нязяря алсаг 

( )

2

2

3

0

3

10

0

4

r

e

a

z

r

r

a

z

⋅

=

−

ω

   

 

     (98.47) 

йаза  билярик.  Эюрцндцйц  кими,  бу  ещтимал  сыхлыьы  бцтцн  фязада  сыфырдан 

фярглидир.  Лакин  нцвядян  узаглашдыгъа,  йяни  r  бюйцдцкъя 

ω

10

(r)  вя 

ω

10

H

(r) 

ещтимал  сыхлыьы  дяйишир  вя  r

→∞  олдугда  сыфра  гядяр  азалыр. 

ω

10

H

(r) 

функсийасынын максимум гиймятиня уйьун эялян r мясафясини тапаг. Бунун цчцн 

0

10

=

dr

d

H

ω

 шяртиндян истифадя етмяк лазымдыр: 

0

8

8

0

0

2

0

2

2

4

0

10

=

⋅

+

⋅

−

=

−

−

r

e

a

r

e

a

dr

d

a

r

a

r

H

ω

. 

Бурадан  эюрцнцр  ки,  r=а

0

  олдугда 

ω

10

H

(r)  ещтимал  сыхлыьы  максимум  олур.  а

0

 

кямиййяти (98.7) дцстуру  иля  тяйин  олунур  вя (55.5) ифадясиня  ясасян  биринъи 

Бор орбитинин радиусу адланыр. Демяли, квант механикасы тясяввцрляриня ясасян 

щидроэен  атомунун  ясас  щалында  електрон,  Бор нязяриййясиндян  фяргли  олараг, 

нцвядян  принсипъя  истянилян  мясафядя  йерляшя  биляр  вя  бу  заман  онун  r=а

0

 

мясафясиндя олмасы ещтималы ян бюйцкдцр. 

Щидроэен  атомунун  щяйяъанланмыш  щаллары  цчцн 

ω

nl

H

(r)  ещтимал 

сыхлыьыны  тядгиг  едяркян  беля  бир  ганунауйьунлуг  мейдана  чыхыр  ки, 

ω

nl

H

(r) 

функсийаларынын  щяр  бири  бир  нечя  максимум  гиймятляр  алыр  вя  юзц  дя  r 

артдыгъа  щяр  бир  функсийа  цчцн  максимумун  гиймяти  артыр.  R-ин  бязи 

гиймятляриндя 

ω

nl

H

(r)  функсийасы  сыфра  бярабяр  олур.  Бу  дцйцн  нюгтяляринин 

сайы  R

nl

(r)  функсийасына  дахил  олан  Лагер  полиномундакы  щядлярин  сайына, 

йяни  (n-l)-я  бярабяр  олур. 

ω

nl

(r)  функсийасынын  максимумларынын  сайы  да  (n-l)-

дир. 

(98.45)  дцстуру  иля  тяйин  олунан 

ω

nl

(r)  функсийасынын  r-дян  асылылыг 

графикляри  ещтимал  сыхлыьынын  радиал  пайланмасы  яйриляри  адланыр. 

Щидроэен атомунун бязи щаллары цчцн радиал пайланма яйриляри 98.2 шяклиндя 

верилмишдир.  Бу  шякилдян  эюрцнцр  ки,  електронун  щидроэенябянзяр  атомда 

мцшащидя  олунмасы  ещтималынын  радиал  сыхлыьы  кцрянин  дахилиндя  дурьун 

дальайа  охшар  шякилдя  пайланмышдыр  вя  юзц  дя  нцвяйя  доьру  эетдикъя  бу 

ещтимал сыхлыьынын максимум гиймятляри тядриъян кичилир. 

(98.24), (98.6) вя (81.22) ифадяляриня  ясасян  айдын  олур  ки,  R

nl

(r)  радиал 

функсийасы 

 

646 

( )

⋅⋅

⋅

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

1

0

2

2

~

0

n

na

z

nl

na

zr

e

r

R

    

 

(98.48) 

шяклиндя  эюстяриля  биляр.  Бу  функсийа  васитясиля (98.45)-я  ясасян 

щесабланмыш  ещтимал  сыхлыьы 

z

na

r

0

~

  мясафясиндя  кяскин  азалыр.  Бурадан 

дейя  билярик  ки, 

z

na

0

  кямиййяти  атомун  юлчцсцнц  характеризя  едир.  Чцнки 

бундан  бюйцк  мясафялярдя  електронун  мцшащидя  олунмасы  ещтималы  чох 

кичикдир.