Dərslik respublikanın universitetlərinin fizika fakültələrinin tələbələri üçün "Atom fizikası"

Ё94. Van-der-Vaals qüvvələrinin yaranmasının 

kvantmexaniki izahı 

 

Birölçülü (xətti) harmonik osilyator üçün Şredinger tənliyinin həlli göstərdi ki, hətta 

mütləq sıfır temperaturunda da osilyatorun rəqsləri dayanmır və o, "sıfrıncı enerjiyə" 

(E

0

=ħ

ω

/2) malik olur (Ё93). Təcrübələr də göstərir ki, harmonik osilyatorun enerjisi üçün 

alınmış (93.26) ifadəsi bir çox faktlara Plankın istifadə etdiyi E

n

=nħ

ω

 düsturuna nisbətən 

daha yaxşı uyğun gəlir. Məsələn, molekulların spektrlərinin tədqiqi zamanı bu uyğunluq 

 

606 

özünü daha yaxşı göstərir. Xüsusi maraq doğuran cəhət ondan ibarətdir ki, sıfrıncı 

enerjinin mövcudluğu o dövrə  qədər çoxdan məlum olan, lakin izah edilə bilməyən 

hadisələrin izahında gözlənilmədən mühüm rol oynadı. Buna misal olaraq, səthi 

gərilməni, adsorbsiyanı  və digər molekulyar hadisələri izah etmək üçün istifadə olunan 

molekulyar ilişmə (yapışma) qüvvələrinin yaranmasının izahını göstərmək olar. Belə 

qüvvələr real qazlar üçün hal tənliyi olan 

(

)

RT

b

V

V

a

P

=

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

2

   

                   (94.1) 

Van-der-Vaals tənliyinə daxil olduğu üçün onları adətən Van-der-Vaals qüvvələri 

adlandırırlar. 

Klassik fizika təsəvvürlərinə  əsasən Van-der-Vaals qüvvələrinin yaranması 

səbəblərini izah etmək üçün çoxlu cəhdlər göstərilmiş və bu cəhdlərin hamısında həmin 

qüvvələrin sırf elektrik təbiətli olduğu fərz edilmişdir. Van-der-Vaals qüvvələri neytral 

atomlar və ya molekullar arasındakı qarşılıqlı təsiri xarakterizə etdiyindən, bu qüvvələrin 

mövcud olmasını başa düşmək üçün belə hesab etmək lazımdır ki, qarşılıqlı təsirdə olan 

bu neytral sistemlər elektrik dipolları  və ya, daha simmetrik sistemlərdirsə, elektrik 

kvadrupollarıdır. Dipollar arasındakı qarşılıqlı  təsir qüvvələri məsafənin dördüncü, 

kvadrupollar arasındakı qarşılıqlı  təsir qüvvələri isə  məsafənin altıncı  dərəcəsi ilə  tərs 

mütənasib olaraq azalır. Bu isə çoxdan məlum olan belə bir fakta keyfiyyətcə uyğun gəlir 

ki, molekulyar qarşılıqlı təsir qüvvələri məsafədən asılı olaraq sürətlə azalır. 

Lakin molekullar arasındakı qarşılıqlı  təsiri daha dərindən və xüsusilə  kəmiyyətcə 

izah etməyə  cəhd göstərdikdə klassik fizika aradan qaldırıla bilməyən maniələrlə 

qarşılaşdı. Belə ki, məsələn, təsirsiz qaz atomları arasında molekulyar qarşılıqlı  təsirin 

mövcud olması tamamilə müəmmalı görünürdü. Bu atomlar yüksək elektrik 

simmetriyasına malik olduğundan, statik halda onların sabit dipol və  hətta kvadrupol 

momentinə malik olduğunu söyləmək olmaz. Lakin buna baxmayaraq, bu qazlar 

sıxlaşaraq mayeyə çevrilir ki, bu da onların atomları arasında molekulyar qarşılıqlı təsir 

qüvvəsinin mövcud olduğunu sübut edir. Bundan başqa, qabaqcadan böyük dipol 

momentinə malik olan HCl, HBr, HJ kimi hidrogen halogenidlərin kəmiyyətcə 

nəzəriyyəsini qurmaq üçün göstərilən cəhdlər qənaətbəxş olmayan nəticələrə gətirdi. 

Əgər sırf statik qarşılıqlı  təsirlərdən başqa həm də molekulda elektronların sürətli 

hərəkəti ilə əlaqədar olaraq yaranan qarşılıqlı təsirlər də nəzərə alınsa, çətinliklər aradan 

qalxır. 

Fərz edək ki, iki molekul vardır və sükunət halında bu molekullarda elektrik 

yüklərinin paylanması sferik simmetrikdir, yəni bu molekullar arasında qarşılıqlı  təsir 

(elektrik qarşılıqlı  təsiri nəzərdə tutulur) yoxdur. Əgər yüklər öz tarazlıq vəziyyətindən 

sürüşsə, molekulun dipol momenti yaranır və qarşılıqlı təsir baş verə bilər. Yüklərin belə 

sürüşməsi (meyli) həqiqətən heç bir şəraitdə yox olmayan və ħ

ω

/2 enerjisinə malik olan 

sıfrıncı rəqslər sayəsində yaranır. Lakin molekulların birində dipol momentinin meydana 

çıxması  ətraf fəzada sahə doğurur və digər molekulda dipol momenti induksiyalayır. 

Sürətlə dəyişən bu dipol momentləri bir-birinə nisbətən elə fazada yerləşirlər ki, nəticədə 

molekullar arasında cazibə yaranır. Molekulyar qüvvələrin yaranmasının keyfiyyətcə 

izahı məhz bundan ibarətdir. Göründüyü kimi, bu izah mövcudluğunun zəruriliyi qeyri-

müəyyənlik münasibətlərindən alınan sıfrıncı  rəqslərlə qaçılmaz  şəkildə bağlıdır. 

Göstərmək olar ki, bu sadə  mənzərə  kəmiyyət hesablamaları aparmağa və molekullar 

 

607

arasındakı qarşılıqlı  təsir qanununu müəyyən etməyə imkan verir. Bunun üçün biz 

əvvəlcə bir-biri ilə qarşılıqlı  təsirdə olan iki osilyatorun, yəni rabitəli osilyatorların 

rəqsləri haqqındakı məsələnin klassik mexanikada necə həll olunduğunu xatırlamalıyıq. 

Fərz edək ki, bir düz xətt boyunca bir-birindən r məsafədə yerləşən iki elektrik dipolu 

vardır (şəkil 94.1). Hər bir yükə uyğun 

kütlə  m,  əks işarəli yüklər arasındakı 

məsafə birinci dipolda x

1

, ikinci dipolda isə 

x

2

 olsun. Bu dipolların qarşılıqlı  təsir 

enerjisi  əks işarəli yüklərin bir-birini cəzb 

etməsi, eyni işarəli yüklərin isə bir-birini 

itələməsi sayəsində yaranır. Kulon 

qanununa görə bu enerji aşağıdakı kimi 

yazıla bilər: 

+

+

x

1

x

2

r

Шякил 94.1.

.

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

1

2

2

1

2

2

2

2

1

2

12

⎟⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

+

−

+

+

+

−

−

−

=

=

+

−

+

+

+

−

−

−

=

r

x

x

r

x

r

x

r

q

r

q

x

x

r

q

x

r

q

x

r

q

u

                  (94.2) 

r  məsafəsi həmişə  x

1

  və  x

2

-dən xeyli böyük olduğundan (94.2) ifadəsində mötərizədəki 

kəsrləri 

⋅⋅

⋅

−

+

−

=

+

2

2

1

1

1

r

x

r

x

r

x

 

   

 

(94.3) 

ümumi düsturuna əsasən sıraya ayıra bilərik. Bu ayrılışlarda ilk üç hədlə kifayətlənsək, 

sadə çevirmələrdən sonra (94.2) əvəzinə 

2

1

3

2

12

2

x

x

r

q

u

⋅

⋅

−

=

 

 

               (94.4) 

alarıq ki, bu da dipolların qarşılıqlı təsirinin potensial enerjisidir. 

İndi fərz edək ki, bu dipollarda rəqslər yaranır. Tarazlıq vəziyyətindən meyllər kiçik 

olduqda bu rəqslər harmonik rəqslər olacaqdır. Hər bir dipolda yüklərə uyğun kütlələr və 

onları  əlaqələndirən qüvvələr eyni olduğundan, dipollar arasında rabitə olmadıqda 

(məsələn, onlar arasındakı məsafənin çox böyük qiymətlərində) onların hər ikisi eyni bir 

m

k

=

0

ω

 

 

 

         (94.5) 

tezliyi ilə sadə harmonik rəqs edəcəkdir. Burada k–hər iki dipol üçün eyni olan 

kvazielastik qüvvə sabitidir. 

İndi isə osilyatorlar arasında əlaqə (rabitə) olduğunu nəzərə alaq. Birinci osilyatorda 

yükün meyli nəticəsində –kx

1

, ikinci osilyatorda isə –kx

2

 kvazielastik qüvvənin meydana 

çıxmasına səbəb olur. Lakin ikinci osilyatorun dipol momentinin dəyişməsi, osilyatorlar 

 

608 

arasında rabitənin mövcud olması  nəticəsində, birinci osilyatorda əlavə qüvvənin 

meydana çıxmasına səbəb olur və  əksinə. Osilyatorlar arasındakı qarşılıqlı  təsirin  u

12

 

potensial enerjisini bilərək bu əlavə F

12

 və F

21

 qüvvələrini tapa bilərik: 

x

x

r

q

x

u

F

x

x

r

q

x

u

F

χ

χ

=

=

∂

∂

−

=

=

=

∂

∂

−

=

1

3

2

2

12

21

2

2

3

2

1

12

12

2

2

 

                         (94.6) 

Burada 

3

2

2

r

q

=

χ

 

 

 

        (94.7) 

işarə edilmişdir. Onda osilyatorların hərəkət tənliklərini aşağıdakı kimi yazmaq olar: 

0

0

1

2

2

0

2

2

2

2

1

2

0

2

1

2

=

−

+

=

−

+

x

m

x

dt

x

d

x

m

x

dt

x

d

χ

ω

χ

ω

 

 

          (94.8) 

Bu ifadələrdə m

ω

0

2

x

1

=kx

1

 və m

ω

0

2

x

2

=kx

2

 – birinci və ikinci osilyatorlarda təsir göstərən 

kvazielastik qüvvədir. 

Hansı  şərtlər ödəndikdə rabitəli osilyatorların sadə harmonik rəqslər edəcəyini 

aydınlaşdıraq. Aydındır ki, hər iki osilyator sadə rəqs edirsə, bu rəqsin tezliyi onlar üçün 

eyni olmalıdır. Ona görə də (94.8) diferensial tənliklər sisteminin həllərini 

x

1

=Ae

i

ω

t

, x

2

=Be

i

ω

t

 

 

             (94.9) 

şəklində axtarmaq lazımdır. Bu həlləri (94.8)-də yazaraq və alınan tənlikləri e

i

ω

t

 vuruğuna 

ixtisar edərək 

(

)

0

2

2

0

=

−

−

B

m

A

χ

ω

ω

, 

 

 

 

 

 

 

        (94.10) 

(

)

0

2

2

0

=

−

+

−

B

A

m

ω

ω

χ

 

tənliklər sistemini alarıq. Göründüyü kimi, (94.10) – A və B məchullarına nəzərən xətti və 

bircinsli tənliklər sistemidir. Məlumdur ki, belə tənliklər sisteminin sıfırdan fərqli həllinin 

olması üçün məchulların  əmsallarından düzəldilmiş determinant sıfra bərabər olmalıdır. 

Onda (94.10) tənliklər sistemi üçün 

0

2

2

0

2

2

0

=

−

−

−

−

ω

ω

χ

χ

ω

ω

m

m

  

              (94.11) 

yaza bilərik. Bu determinantı açaraq 

 

609

(

)

0

2

2

2

2

0

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−

m

χ

ω

ω

, 

m

χ

ω

ω

±

=

2

0

2

 

və buradan da, 

ω

 tezliyi üçün iki qiymət tapırıq: 

m

χ

ω

ω

−

=

+

2

0

, 

m

χ

ω

ω

+

=

−

2

0

.          (94.12) 

(94.12) ifadələrinin hər birini ayrılıqda (94.10)-da yazaraq 

ω

=

ω

+

, A=B; 

ω

=

ω

-

, A=-B=Be

i

π

 

 

          (94.13) 

alarıq, Beləliklə, görürük ki, rabitəli iki osilyatordan ibarət olan sistem üçün tezliyin iki 

müxtəlif qiyməti alınır və bu qiymətlərin biri 

ω

0

-dan bir az kiçik, digəri isə bir az 

böyükdür. Qeyd edək ki, bu tezliklər normal və ya baş tezliklər adlanır və rabitəli 

osilyatorların sadə harmonik rəqsləri məhz bu tezliklərlə baş verə bilər. Özü də 

ω

+

 tezliyi 

ilə  rəqs etmək üçün osilyatorlar başlanğıc zaman anında eyni fazada eyni meyl (A = B, 

simmetrik rəqs), 

ω

-

 tezliyi ilə  rəqs etmək üçün isə  əks fazada eyni meyl (A

 

=

 

–B, 

antisimmetrik rəqs) etməlidir. Bu hallar uyğun olaraq, 94.2 və 94.3 şəkillərində  təsvir 

edilmişdir. Burada nəzərə almaq lazımdır ki, rabitəli rəqqaslarda potensial enerji baxılan 

haldakı kimi qarşılıqlı təsirdə olan iki dipol üçün olduğundan fərqli olur. Məsələn, xüsusi 

halda, rəqqaslar üçün yalnız tezliklərdən biri (məhz böyük 

ω

-

 tezliyi) 

ω

0

-dan fərqlənir. 

İkinci tezlik 

ω

+

 isə öz qiymətini dəyişmir. Doğrudan da, 

ω

=

ω

0

 olduqda (94.13)-ə görə 

A=B olur, yəni rəqqaslar eyni istiqamətdə rəqs edirlər və ona görə də onları əlaqələndirən 

elastik yayı aradan götürsək, tezlik dəyişməz. 

Шякил 94.2. 

Шякил 94.3. 

Əgər başlanğıc  şərtlər (94.13) kimi deyilsə, onda sistemin rəqsləri sadə  rəqslər 

olmayacaqdır. Ümumi halda bu rəqsləri 

ω

+

  və 

ω

-

 tezlikli rəqslərin superpozisiyası kimi 

göstərmək olar. (94.8) tənliklər sisteminin xüsusi həllərini həqiqi funksiyalar şəklində 

yazaq. Onda A=ae

i

δ

1

 və B=be

i

δ

2

 qəbul edərək 

 

610 

x

1

=acos(

ω

+

t+

δ

1

), 

x

2

=bcos(

ω

-

t+

δ

2

)  

 

          (94.14) 

alarıq. Ümumi həll bu xüsusi həllərin superpozisiyasından ibarət olar: 

x1=acos(

ω+t+δ1)+bcos(ω-t+δ2), 

 

 

 

 

 

 

 

        (94.15) 

x

2

=acos(

ω

+

t+

δ

1

)-bcos(

ω

-

t+

δ

2

). 

Aşağıdakı başlanğıc  şərtləri qəbul edək:  t=0 anında birinci osilyatorun meyli x

1

=

α

, 

sürəti isə 

 olsun: ikinci osilyator isə öz tarazlıq vəziyyətində sükunətdədir, yəni 

x

0

1

=

x&

2

=0, 

. Bu başlanğıc şərtləri (94.15)-də nəzərə alsaq 

0

2

=

x&

α

=acos

δ

1

+bcos

δ

2

, 0=a

ω

+

sin

δ

1

+b

ω

-

sin

δ

2

, 

 

 

 

 

 

 

 

 

        (94.16) 

0=acos

δ

1

-bcos

δ

2

, 0=a

ω

+

sin

δ

1

-b

ω

-

sin

δ

2

olar. Burada sağ tərəfdəki tənliklərdən 

δ

1

=

δ

2

=0 alınır. Onda sol tərəfdəki tənliklərdən 

2

α

=

= b

a

 

 

 

        (94.17) 

alınır. Deməli, bizim baxdığımız osilyatorların rəqsləri, yuxarıda verilən başlanğıc şərtlər 

daxilində, aşağıdakı düsturlarla ifadə olunar: 

(

)

(

)

2

sin

2

sin

cos

cos

2

2

cos

2

cos

cos

cos

2

2

1

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

=

−

=

+

−

=

+

=

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

t

A

t

t

A

x

t

t

A

t

t

A

x

      (94.18) 

(94.18) ifadələrinin hər birində modullaşmış amplitudu göstərən və  (

ω

-

-

ω

+

)/2 tezliyi ilə 

ləng dəyişən vuruq və  (

ω

-

+

ω

+

)/2 tezliyi ilə sürətlə  dəyişən faza vuruğu vardır. Bundan 

başqa, göründüyü kimi, x

1

  və  x

2

  rəqsləri arasında 

π

/2-yə  bərabər olan faza sürüşməsi 

vardır. Belə ki, birinci osilyator maksimal amplitud ilə  rəqs edəndə, ikinci osilyator 

sükunətdə olur. Birinci osilyatorun amplitudu tədricən kiçilir, ikinci osilyatorun rəqs 

amplitudu isə artır və modulyasiyanın periodunun dörddə bir hissəsindən sonra 

osilyatorlar rollarını dəyişirlər və sonra bütün proses tərsinə baş verir. 

Enerjinin bu "gəzişməsi" və ya fluktuasiyaları bir-biri ilə əlaqəli olan iki eyni rəqqasla 

aparılan məlum nümayiş təcrübəsində əyani şəkildə müşahidə olunur. 

Baxdığımız rabitəli osilyatorların tam enerjisini hesablayaq. Ayrılıqda bir osilyatorun 

potensial enerjisi m

ω

0

2

x

2

/2 kimi təyin olunur. Yuxarıda gördüyümüz kimi rabitəli 

osilyatorlar sisteminin potensial enerjisinin ifadəsinə  hər iki osilyatorun potensial 

enerjilərinin cəmindən başqa həm də onların qarşılıqlı  təsir enerjisinə uyğun olan 

2

1

3

2

2

x

x

r

q

−

  həddi də daxil olmalıdır. Beləliklə, rabitəli osilyatorlar sisteminin potensial 

enerjisi 

 

611

2

1

3

2

2

2

2

0

2

1

2

0

2

2

1

2

1

x

x

r

q

x

m

x

m

u

−

+

=

ω

ω

, 

             (94.19) 

kinetik enerjisi isə 

2

2

2

1

2

1

2

1

x

m

x

m

E

k

&

& +

=

 

 

              (94.20) 

kimi təyin olunar. Onda bu sistemin tam enerjisi 

2

1

3

2

2

2

2

0

2

1

2

0

2

2

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

x

x

r

q

x

m

x

m

x

m

x

m

u

E

E

k

−

+

+

+

+

=

+

=

ω

ω

&

&

 

         (94.21) 

olar. Göründüyü kimi, osilyatorların qarşılıqlı təsirini nəzərə almamaq mümkün olsaydı, 

(94.21) ifadəsində sonuncu hədd olmazdı və sistemin tam enerjisi sadəcə olaraq 

ω

0

 sabit 

tezliyi ilə  rəqs edən iki osilyatorun tam enerjilərinin cəminə  bərabər olardı. Belə 

yaxınlaşma osilyatorların bir-birindən çox böyük r  məsafəsində yerləşdiyi halda doğru 

ola bilər. Lakin biz rabitəli iki osilyatordan ibarət sistemin E=E

k

+u tam enerjisini 

dəyişmiş tezliyə malik iki osilyatorun enerjilərinin cəmi kimi də göstərə bilərik. Bu 

məqsədlə x

1

 və x

2

 əvəzinə aşağıdakı kimi təyin olunan iki dənə yeni 

ξ

 və 

η

 dəyişənləri 

daxil edək: 

(

)

(

2

1

2

1

2

1

   

, 

2

1

x

x

x

x

−

=

+

=

η

ξ

)

. 

           (94.22) 

Buradan tapırıq ki, 

(

)

η

ξ

+

=

2

1

1

x

, 

(

η

ξ

−

=

2

1

2

x

)

, x12+x22=

ξ2+η2, 

(

)

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

 ,

η

ξ

η

ξ

−

=

+

=

+

x

x

x

x

&

&

&

&

. 

Bu ifadələrdən istifadə edərək tam enerjinin (94.21) ifadəsini aşağıdakı kimi çevirək: 

(

)

(

)

(

)

.

2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

0

3

2

2

0

2

2

2

0

3

2

2

0

2

2

2

3

2

2

2

2

0

2

2

η

ω

ω

η

ξ

ω

ω

ξ

η

ξ

η

ξ

ω

η

ξ

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

=

=

−

−

+

+

+

=

mr

q

m

m

mr

q

m

m

r

q

m

m

E

&

&

&

&

 

Burada (94.7) və (94.12) ifadələrini nəzərə alsaq, 

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

η

ω

η

ξ

ω

ξ

−

+

+

+

=

+

=

−

+

m

m

m

m

u

E

E

k

&

&

             (94.23) 

yaza bilərik. Beləliklə, biz görürük ki, (94.23) kimi təyin olunan E tam enerjisi yuxarıda 

tapdığımız 

ω

+

  və 

ω

-

 normal tezlikləri ilə bir-birindən asılı olmayaraq rəqs edən iki 

osilyatorun tam enerjilərinin cəminə bərabərdir. 

 

612 

Ё93-də göstərildiyi kimi, osilyatorların enerjiləri kvantlanmış qiymətlər alır /bax: 

(93.26)/: 

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

=

−

−

+

+

−

+

2

1

2

1

n

E

n

E

n

n

ω

ω

h

h

  

 

 

(94.24) 

Onda sistemin tam enerjisi üçün 

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

=

+

=

−

−

+

+

−

+

2

1

2

1

n

n

E

E

E

n

n

ω

ω

h

h

           (94.25) 

ifadəsini yazmaq olar. 

İndi isə 

ω

+

  və 

ω

-

 tezliklərini bizi təmin edən dəqiqliklə hesablayaq. Bunun üçün 

əvvəlcə (94.7)-ni (94.12)-də yazaq və k=m

ω

0

2

 olduğunu nəzərə alaq: 

k

r

q

3

2

0

2

1

−

=

+

ω

ω

, 

k

r

q

3

2

0

2

1

+

=

−

ω

ω

                   (94.26) 

(94.26) ifadəsində 

⋅⋅

⋅

+

−

+

=

+

2

2

1

1

2

ε

ε

ε

  

                 (94.27) 

ayrılışından istifadə edərək 

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

−

+

2

6

4

3

2

0

2

6

4

3

2

0

2

1

2

1

k

r

q

k

r

q

k

r

q

k

r

q

ω

ω

ω

ω

 

 

         (94.28) 

yazmaq olar. (94.28) ifadələrini (94.25)-də nəzərə alaraq tapırıq ki, 

(

)

[

(

)

(

.

1

2

1

2

6

4

3

2

0

⎥

⎦

⎤

+

+

−

+

+

)

+

+

+

=

+

=

+

−

+

−

−

+

−

+

n

n

k

r

q

n

n

k

r

q

n

n

E

E

E

n

n

ω

h

 

              (94.29) 

Hər iki osilyator əsas haldadırsa n

+

=n

-

=0 və (94.29)-dan 

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

2

6

4

0

2

1

k

r

q

E

ω

h

 

 

                 (94.30) 

alırıq. Bu halda (94.29)-da ikinci hədd sıfra bərabər olur və sıradan çıxır. Lakin baxılan 

dipollardan (osilyatorlardan) biri həyəcanlanmış halda olduqda (n

+

 və ya n

-

 sıfırdan fərqli 

olduqda), bü hədd böyük əhəmiyyət kəsb edir. 

 

613

Osilyatorların sıfrıncı enerjilərinin cəmi 

0

0

0

2

2

ω

ω

ω

h

h

h

=

+

 olduğundan, (94.30) 

ifadəsindən biz görürük ki, bu cəm 

6

2

0

4

2 r

k

q

ω

h

 qədər azdır. Məhz bu kəmiyyət osilyatorlar 

arasında rabitə enerjisinə bərabərdir: 

6

6

2

0

4

1

2

r

C

r

k

q

W

−

=

⋅

−

=

ω

h

. 

 

      (94.31) 

Burada  C  – müəyyən sabitdir və onu müxtəlif atomlar üçün optikadan məlum olan 

kəmiyyətlər və ħ universal sabiti vasitəsilə hesablamaq olar. (q elementar e yükünün tam 

mislinə  bərabərdir). (94.31) ifadəsində  mənfi işarəsi göstərir ki, osilyatorlar arasında 

rabitə cazibə xarakterlidir və özü də bu, osilyatorların hansı fazalarda rəqs etməsindən 

asılı deyildir. 

Beləliklə, biz molekullar arası qarşılıqlı  təsir enerjisini qabaqcadan hesablamaq 

imkanı əldə etmiş oluruq. Digər tərəfdən bu enerji həm də atom və ya molekulu kristal 

qəfəsdən qoparmaq üçün görülən işə, yəni sublimasiya istiliyinə  bərabərdir. 94.1 

cədvəlində verilmiş qiymətlər (94.31) düsturu ilə hesablanmış qiymətlərin təcrübədən 

tapılmış sublimasiya istiliyi (mütləq sıfra gətirilmiş) ilə nə dərəcədə yaxşı uyğun gəldiyini 

göstərir. Bu paraqrafın  əvvəlində deyilənlərə qayıdaraq, göstərək ki, Van-der-Vaals 

qüvvələrinin yaranmasının mümkünlüyü osilyatorun enerjisinin ifadəsində ilk baxışdan 

qəribə görünən 

2

0

ω

h

  sıfrıncı enerjinin olması ilə  əlaqədardır. Doğrudan da son 

hesablamalar üçün biz Plankın yarımklassik E

n

=nħ

ω

0

 düsturundan istifadə etmiş olsaydıq, 

(94.29) düsturunda birinci və üçüncü hədlərdə 1 ədədi olmazdı. Bu isə o deməkdir ki, 

əsas halda, yəni n

+

=n

-

=0 olduqda rabitə enerjisi sıfra bərabərdir. Bu nəticə belə bir fakta 

uyğun gəlir ki, sükunətdə olan osilyatorlarda yükün paylanması nəticəsində elektrik dipol 

və ya kvadrupol momenti yoxdursa, (təsirsiz qaz atomları He, Ne, Ar) klassik 

nəzəriyyəyə görə belə osilyatorlar bir-biri ilə qarşılıqlı  təsirdə ola bilməzlər. Deməli, 

normal (əsas) halda molekulyar qarşılıqlı  təsir qüvvələrinin yaranması  sıfrıncı enerjinin 

mövcud olması ilə əlaqədardır. Doğrudan da, həyəcanlanmış atom və molekullarda dipol 

momentləri yaranır və bu dipol momentləri zamana görə  dəyişir. Lakin atom və ya 

molekul həyəcanlanmamışdırsa (əsas haldadırsa), yuxarıda qeyd etdiyimiz kimi, klassik 

təsəvvürlər baxımından onların dipol momenti olmamalıdır. Lakin kvant mexanikasına 

görə bu, heç də belə deyildir. Kvant mexanikası təcrübi faktlara tam uyğun olaraq göstərir 

ki, həyəcanlanmamış atom və ya molekul sıfrıncı enerjiyə malik olmalıdır ki, bu da çox 

cəld sıfrıncı  rəqslərə uyğun gəlir. Qeyd etdiyimiz kimi, Van-der-Vaals qüvvələrinin də 

mənşəyi məhz sıfrıncı  rəqslərin mövcud olması ilə  əlaqədardır. Sıfrıncı  rəqslərin istilik 

hərəkəti ilə heç bir əlaqəsi yoxdur, yəni onlar temperaturdan asılı deyildir. Ona görə də 

Van-der-Vaals qüvvələri də temperaturdan asılı olmamalıdır. Təcrübələr göstərir ki, bu, 

doğrudan da belədir. 

Van-der-Vaals qüvvələrinin meydana çıxmasında sıfrıncı  rəqslərin rolunu 

aydınlaşdırmaq və bu qüvvələrin kvant təbiətli olduğunu göstərmək üçün real atom və ya 

molekulların əvəzinə onların modelindən, yəni qarşılıqlı təsirdə olan eyni atomlara və ya 

molekullara  m kütləsinə malik olan və 

ω

0

 tezliyi ilə  rəqs edən birölçülü harmonik 

osilyator kimi baxılmasından istifadə edilir. Van-der-Vaals qüvvələrinin kvant təbiətli 

 

614 

olması (94.31) düsturundan da bilavasitə görünür. Bu düstura ħ Plank sabiti vuruq kimi 

daxildir. 

 

 

 

 

 

 

 

       Cədvəl 94.1 

Sublimasiya istiliyi 

Maddə 

hesablanmış 

təcrübədən tapılmış 

Ne 

N

2

Ar 

CH

4

0,47 

1,64 

2,08 

2,42 

0,58 

1,86 

2,03 

2,70 

 

Əgər osilyatorların dipol momentləri bir-birinə perpendikulyardırsa, onda dipol 

qarşılıqlı təsiri yaranmır və cazibə qüvvəsi də sıfra bərabər olur. Əgər osilyatorların dipol 

momentləri bir-birinə nəzərən bucaq əmələ gətirməklə yönəlmişdirsə, onları osilyatorları 

birləşdirən düz xətt boyunca və bu xəttə perpendikulyar istiqamətdə yönələn iki toplanana 

ayırmaq olar və deməli, bu halda cazibə qarşılıqlı təsiri yaranır. 

Molekullar arasında dipol qarşılıqlı təsirinin cazibə xarakterli olmasını başqa cür də 

izah etmək olar. Molekulların müxtəlif adlı yükləri olan 

tərəfləri bir-birinə yaxın yerləşdikdə (şəkil 94.4a) onlar 

arasında cazibə eyniadlı yükləri olan tərəfləri bir-birinə 

yaxın yerləşdikdə isə (şəkil 94.4b) itələmə baş verir. 

Molekulların bir-birinə  nəzərən yönəlməsindən 

(oriyentasiyasından) asılı olan dipol qarşılıqlı  təsirin 

enerjisi birinci halda minimum, ikinci halda isə 

maksimum qiymət alır. Ona görə  də birinci hala 

dayanıqlı, ikinci hala isə dayanıqsız tarazlıq uyğun 

gəlir. Bolsman paylanmasına görə termodinamik 

tarazlıq halında, məsələn qazda, birinci halın ehtimalı ikinci halın ehtimalına nisbətən 

çoxdur, yəni molekullar birinci halda ikinci haldakına nisbətən daha çox olurlar. Bunun 

da nəticəsində qarşılıqlı təsirin yekun effekti cazibədən ibarət olur. 

- +

- +

- +

- +

-+

- +

-+

- +

а)

б)