Dərslik respublikanın universitetlərinin fizika fakültələrinin tələbələri üçün "Atom fizikası"
Download 18,1 Mb. Pdf ko'rish
|
|
1-ə bərabər olmalıdır. Deməli, (104.4) funksiyasının normallıq şərti ( ) 1 , , , 2 = ∑∫ i dV t z y x i σ ψ (104.6) kimidir. Yeri gəlmişkən qeyd edək ki, (104.6) ifadəsində diskret qiymətlər alan spin koordinatı üzrə cəmləmə, kəsilməz qiymətlər alan fəza koordinatları üzrə isə inteqrallama aparılır. Elektronun spini s=1/2 olduğundan, onun spin koordinatı yalnız iki dənə σ 1
σ 2 =–1/2 qiymətlərini ala bilər. Ona görə də elektron üçün (104.4) funksiyası ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − + 2 1 2 1 ψ ψ ψ
(104.7) şəklinə düşür. Əgər spinin proyeksiyasının ehtimalı hissəciyin koordinatlarından asılı deyildirsə, yəni spinin proyeksiyasının müəyyən qiymətə malik olması ehtimalı həmin hissəciyin fəzanın müxtəlif nöqtələrində yerləşməsi ehtimalından asılı deyildirsə, (104.1) funksiyasını iki funksiyanın hasili şəklində yazmaq olar: Ψ (x,y,z, σ ;t)= Ψ (x,y,z,t) ⋅ ϕ ( σ ) (104.8) Burada Ψ (x,y,z,t) vuruğu fəza koordinatlarından asılı olan dalğa funksiyası, ϕ ( σ ) isə spin funksiyasıdır. Spin funksiyası 2s+1 sayda qiymət alır. Məsələn, elektron üçün spin funksiyası yalnız iki qiymət ala bilər: ϕ (+1/2)=a 1
(104.9)
ϕ (–1/2)=a 2 .
ϕ (+1/2)=
α , ϕ (–1/2)= β ilə işarə edirlər. Beləliklə, (104.8)-i (104.7)-də nəzərə alsaq və fəza koordinatlarından asılı olan funksiyanı vuruq kimi matrisdən kənara çıxarsaq ( ) (
) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 , , , , , , ,
a t z y x t z y x ψ σ ψ
(104.10) yaza bilərik. Deməli, spini s=1/2 olan hissəcik üçün ϕ (
) spin funksiyası ( )
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 a a σ ϕ
(104.11) kimi sütun matrisi şəklində göstərilə bilər. Burada a 1 və a 2 -müəyyən ədədlərdir və ümumi halda xəyali ədəd də ola bilər. Özü də 2 1 a və
2 2
kəmiyyətləri spinin üstün istiqamət üzrə M sz proyeksiyasının uyğun olaraq , +ħ/2 və –ħ/2 qiymətləri alması ehtimalını müəyyən edir. Normalanmış ψ
funksiya üçün 1 2 2 2 1 = + a a
(104.12) olmalıdır.
681 Əgər ( )
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 0 1 σ ϕ
(104.13) olarsa, yəni a 1 =1, a 2 =0 şərti ödənərsə, spinin proyeksiyası +ħ/2-yə bərabər olan müəyyən qiymət alır. Əksinə, ( )
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 σ ϕ
(104.14) olduqda isə (yəni, a 1 =0, a 2 =1) spinin proyeksiyası –ħ/2-yə bərabər olan müəyyən qiymətə malik olur. a 1 və a 2 ədədlərinin hər ikisi eyni zamanda sıfırdan fərqli olduqda (a 1 ≠0,
a 2 ≠0) ψ –funksiya bu iki halın superpozisiyasından alınan halı təsvir edir və özü də bu halda spinin proyeksiyası müəyyən dəqiq qiymətə malik olmur. Beləliklə, biz spini də nəzərə almaqla elektronun hallarını təsvir edən dalğa funksiyasını müəyyən etdik. Lakin kvant mexaniki təsvirin tam olması üçün dalğa funksiyasından başqa yeni dinamik dəyişən də daxil edilməlidir. Belə kəmiyyət olaraq sr spin vektoru götürülür ki, onun da dekart koordinat sistemində proyeksiyaları s x ,s y ,s z kimi
işarə olunur. Spin vektoru elektronun məxsusi impuls momentidir. Ona görə də kvant mexanikasının postulatlarına əsasən sr vektoru və onun s x ,s y ,s z proyeksiyaları müəyyən operatorlar ilə xarakterizə olunmalıdır. Bu operatorlar yalnız "spin dəyişənlərinə", yəni ϕ ( σ ) spin funksiyasına təsir etməli, fəza koordinatları və zamandan asılı olan ψ (x,y,z,t) funksiyasına isə toxunmamalıdır. Biz əvvəlcə spin funksiyasına təsir edə bilən xətti və özünə qoşma operatorunu ümumi şəkildə tapaq. Bu operatorun təsiri nəticəsində ϕ (
) spin funksiyası digər f( σ ) spin funksiyasına (məhz spin funksiyasına) çevrilməlidir: Qˆ ( ) ( )
σ σ ϕ f Q = ˆ .
(104.15) (104.11)-ə əsasən ϕ ( σ ) və f( σ ) funksiyaları sütun matrisi kimi yazılmalıdır: ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 a a σ ϕ ,
(104.16) ( )
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 b b f σ Buradan aydın olur ki, Q operatoru iki sətirli (ümumi halda isə 2s+1 sətirli) kvadrat matris formasında olmalıdır: ˆ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 22 21 12 11 ˆ
Q Q Q Q
(104.17) (104.16) və (104.17) matrislərini (104.15)-də yazaraq Q və a matrislərini bir-birinə vursaq ( )
( ) σ σ ϕ f b b a Q a Q a Q a Q a a Q Q Q Q Q = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 2 22 1 21 2 12 1 11 2 1 22 21 12 11 ˆ (104.18) alarıq. Beləliklə, operatoru komponentləri a
1 və a 2 olan
ϕ ( σ ) funksiyasına təsir edərək onu komponentləri
682
b 1 =Q 11 a 1 +Q 12 a 2 , b 2 =Q 21
1 +Q 22 a 2
(104.19) olan f( σ ) funksiyasına çevirir. Əgər (104.1) ψ –funksiyasında fəza və spin koordinatlarını ayırmaq, yəni onu (104.8) kimi yazmaq mümkün deyildirsə, onda (104.18) əvəzinə ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 2 1 2 1 22 21 12 11 22 21 12 11 ˆ σ σ σ σ σ σ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ Q Q Q Q Q Q Q Q Q (104.20) ifadəsi yazılmalıdır. Beləliklə, (104.7) spin funksiyasına təsir etməli olan ixtiyari operator (104.17) şəklində olmalıdır. Xüsusi halda, spin vektorunun kvadratı operatoru və spin vektorunun koordinat oxları üzrə proyeksiyalarına uyğun olan operatorları da (104.17) kimi təyin olunmalıdır. , spin operatorları məxsusi impuls momenti operatorları olduğundan, formal olaraq belə qəbul olunur ki, onlar da impuls momenti operatorunun tabe olduğu kvant mexaniki şərtləri ödəməlidir, yəni spin operatorları üçün də (77.20) və (77.32)-yə oxşar olan qeyri-kommutativlik və kommutativlik münasibətləri doğrudur: 2 ˆs z y x s s s ˆ , ˆ , ˆ 2 ˆs z y x s s s ˆ , ˆ , ˆ z x y y x s i s s s s ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ h = − , x y z z y s i s s s s ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ h = − , y z x x z s i s s s s ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ h = − (104.21) 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 = − s s s s x x , , . (104.22) 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 = − s s s s y y 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 = − s s s s z z Spinin və onun proyeksiyalarının kvadratları arasında da (76.37)-yə uyğun olaraq 2 2
2 ˆ ˆ ˆ ˆ
y x s s s s + + =
(104.23) münasibəti ödənməlidir. (104.22) kommutativlik münasibətlərindən görünür ki, spinin kvadratı və onun proyeksiyalarından biri, məsələn deyək ki, s z eyni zamanda müəyyən dəqiq qiymət ala bilər. Bu isə o deməkdir ki, və
matrislərini eyni zamanda diaqonal şəklə gətirmək olar. Bu halda spinin digər iki proyeksiyası (s 2 ˆs z sˆ x və s y ) qeyri-müəyyən qalır və onların matrisləri də diaqonal şəkildə olmur. Aydındır ki, və operatorlarının öz təsvirində onlara uyğun matrislər diaqonal matris olmalı və özü də diaqonalda yerləşən matris elementləri bu operatorların məxsusi qiymətlərinə, qeyri-diaqonal elementlər isə sıfra bərabər olmalıdır. operatorunun məxsusi qiymətləri 2 ˆs z sˆ 2 ˆs ( ) 2 2 2 4 3 1 h h = + = s s M s , operatorunun məxsusi qiymətləri isə +ħ/2, –ħ/2 kimidir. Deməli, bu operatorlara uyğun matrislər z sˆ =
s M ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 0 1 4 3 ˆ 2 2 h s
(104.24)
683 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 0 1 2 2 1 0 0 2 1 ˆ h h
s
(104.25) şəklindədir. (104.25) matrisinin kvadratı isə 2 2 2 2 2 ˆ 3 1 0 0 1 4 1 0 0 1 1 0 0 1 4 ˆ
s z h h h = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = (104.26) olar.
x sˆ və operatorlarının aşkar şəklini tapmaq üçün əvvəlcə y sˆ y x s i s s ˆ ˆ ˆ + = + ,
x s i s s ˆ ˆ ˆ − = −
(104.27) köməkçi operatorlarına uyğun olan matrisləri tapaq. və operatorları kimi və
və matrislərini bilərək onlar vasitəsilə və operatorlarına uyğun olan matrisləri də tapmaq olar:
+
−
+
−
( ) − + + = s s s x ˆ ˆ 2 1 ˆ ,
(104.28) ( ) − + − = s s i s y ˆ ˆ 2 1 ˆ .
(104.29) (104.21) ifadələrini nəzərə almaqla (104.27) operatorlarının operatoru ilə kommutatorlarını tapaq:
[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) (
) ( )
( ) ± ± = ± = ± − = − ± ± − = ± − ± = s s i s s i i s i s s s s i s s s s s i s s s s i s s s y x x y y z z y x z z x y x z z y x z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆ mh m h h Deməli,
[ ] + + + + − = − = s s s s s s s z z z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆ h
(104.30) [ ] − − − − = − = s s s s s s s z z z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆ h (104.31) yazmaq olar.
σ
σ σ
ψ h = z sˆ
(104.32) operator tənliyini yaza bilərik. Bu tənliyə görə ψ σ – operatorunun ħ σ məxsusi qiymətinə mənsub olan məxsusi funksiyasıdır. Lakin , və operatorları bir-biri ilə kommutativ olduğundan onların məxsusi funksiyaları eyni olmalıdır. Bu operatorların matrisləri də eyni zamanda diaqonal matris şəklinə gətirilə bilər. (104.32) ifadəsinə daxil olan
ψ z sˆ 2 ˆs z sˆ Hˆ σ əslində bu üç operatorun ümumi məxsusi funksiyası olmalıdır, yəni həmin yunksiya (104.32) ilə yanaşı həm də σ σ ψ ψ
H = ˆ ,
(104.33) σ σ ψ ψ 2 2 ˆ
M s = operator tənliklərini ödəməlidir. 684
+ sˆ operatoru ilə (104.32) tənliyinə təsir edək: σ σ ψ σ ψ + + = s s s z ˆ ˆ ˆ h . (104.34) Bu ifadənin sol tərəfini (104.30)-a əsasən çevirərək σ σ σ ψ σ ψ ψ + + + = − s s s s z ˆ ˆ ˆ ˆ h h
və ya ( ) (
) ( ) σ σ ψ σ ψ + + + =
s s z ˆ 1 ˆ ˆ h
(104.35) alarıq. Bu isə o deməkdir σ ψ + sˆ funksiyası operatorunun ( σ +1)ħ məxsusi qiymətinə uyğun olan məxsusi funksiyalarına ixtiyari sabit λ vuruğu dəqiqliyi ilə bərabərdir. Deməli, operatoru ψ
sˆ +
σ funksiyasına təsir edərək onu λψ σ +1 funksiyasına çevirir: 1 ˆ + + = σ σ λψ ψ s .
(104.36) z y x s s s ˆ , ˆ , ˆ kəmiyyətlərinin vahidləri ħ kəmiyyətinin vahidi ilə eyni olduğundan, (104.25) və (104.27) ifadələrindən göründüyü kimi, -in də vahidi ħ-nin vahidi ilə eyni olmalıdır. Ona görə də (104.36)-da λ sabitini λ =ħc +
1 kimi yazmaq olar və burada c 1 adsız
kəmiyyətdir. Beləliklə, 1 1 ˆ + + = σ σ ψ ψ
s h
(104.37) alırıq. Eyni qayda ilə (104.32) tənliyinə operatoru ilə təsir edərək və (104.31)-i nəzərə alaraq oxşar mülahizələr əsasında −
1 2
− − = σ σ ψ ψ c s h
(104.38) operator tənliyini yaza bilərik. İndi isə operatorunun təsvirində və
operatorlarının matris elementlərini tapaq. operatoru üçün z sˆ +
−
+
( ) 1
, 1 1 ' 1 ' ' ˆ ˆ + + + + = = = σ σ σ σ σ σ σσ δ ψ ψ ψ ψ c c s s h h (104.39) alınır.
σ və σ′ indekslərinin hər biri yalnız iki qiymət ala bilər: +1/2, –1/2. (104.39)-dan görünür ki, yalnız σ = σ′ +1 şərti ödənən matris elementi sıfırdan fərqlidir və ħc 1 -ə
bərabərdir. Deməli, ( )
( ) ( )
( ) . 0 0 1 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 2 1 , 2 1 2 1 , 2 1 2 1 , 2 1 2 1 , 2 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − + − + − + + + c s s s s s h (104.40) − sˆ operatoru üçün də (104.38)-ə əsasən ( )
1 ' , 2 1 ' 2 ' ' ˆ ˆ − − − − = = = σ σ σ σ σ σ σσ δ ψ ψ ψ ψ c c s s h h . (104.41) Bu matrisdə isə yalnız σ =
-1 şərti ödənən element sıfırdan fərqli olub ħc 2 -yə bərabərdir. Ona görə də ( )
( ) ( )
( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − − − − − − − − − 0 1 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 1 , 2 1 2 1 , 2 1 2 1 , 2 1 2 1 , 2 1 c s s s s s h (104.42) 685
yazmaq olar. Operatorlar da, ψ –funksiyalar kimi, ixtiyari sabit faza vuruğu dəqiqliyi ilə təyin olunur. Ona görə də (104.40) və (104.42) ifadələrində c 1 və c 2 sabitlərini həqiqi ədədlər hesab etmək olar. (104.40) və (104.42) matrislərinin elementləri arasında müəyyən münasibət vardır ki, həmin münasibətə əsasən də c 1 və c 2 sabitləri arasında əlaqə yaratmaq olar. Bu münasibəti tapmaq üçün (104.27) düsturlarına əsasən aşağıdakı iki bərabərliyi yazaq: ( )
( ) ( )
' ' ' ˆ ˆ ˆ σσ σσ σσ y x s i s s + = + ,
(104.43) ( )
( ) ( )
' ' ' ˆ ˆ ˆ σσ σσ σσ y x s i s s − = − .
(104.44) (104.44)-dən alınır ki, ( ) ( )
( ) ∗ ∗ ∗ − + = σ σ σ σ σ σ ' ' ' ˆ ˆ ˆ y x s i s s
(104.45) Lakin və ermit operatorları olduğundan x sˆ y sˆ ( )
( ) ' ' ˆ ˆ σσ σ σ
x s s = ∗ , ( )
( ) ' ' ˆ ˆ σσ σ σ
y s s = ∗ (104.46) şərti ödənməlidir. Deməli, ( )
( ) ( )
( ) ' ' ' ' ˆ ˆ ˆ ˆ σσ σσ σσ σ σ + ∗ − = + =
s i s s y x . (104.47) Bu isə məhz axtarılan münasibətdir. (104.40) və (104.42)-dən görünür ki, ( ) 1
1 , 2 1 ˆ
s h = − + , ( ) ( )
2 2 1 , 2 1 2 1 , 2 1 ˆ ˆ c s s h = = − − ∗ − − yazmaq olar. Lakin (104.47)-yə əsasən ( ) ( )
2 1 , 2 1 2 1 , 2 1 ˆ ˆ − + ∗ − − = s s
olduğundan c 1 =c 2 =c alırıq. Deməli, (104.40) və (104.42) matrislərində c 1 =c 2 =c götürmək olar. və
matrislərinin (104.40) və (104.42) ifadələrindən istifadə etməklə, (104.28) və (104.29)-a əsasən, və matrislərini tapırıq: +
−
x sˆ y sˆ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = 0 1 1 0 2 ˆ h c s x ,
(104.48) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ = 0 0 2 ˆ
i c s y h . (104.49) Burada 2
1 i i − = olduğu nəzərə alınmışdır. (104.48) və (104.49) matrislərini kvadrata yüksəldək: ⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = 1 0 0 1 4 0 1 1 0 0 1 1 0 4 ˆ 2 2 2 2 2 h h
c s x , (104.50)
686
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ = 1 0 0 1 4 0 0 0 0 4 ˆ 2 2 2 2 2 h h c i i i i c s y . (104.51) (104.50), (104.51) və (104.26) ifadələrinə əsasən ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = + + 1 2 0 0 1 2 4 ˆ ˆ ˆ 2 2 2 2 2 2 c c s s s z y x h
(104.52) yaza bilərik. Lakin (104.23)-ə əsasən bu matris (104.24) kimi təyin olunan matrisinə bərabər olmalıdır. (104.52) və (104.24)-ün müqayisəsindən isə görünür ki, bu, yalnız c=1 olduqda mümkündür. Onda (104.48) və (104.49)-da c=1 yazmaqla və matrislərini tapmış oluruq. 2 ˆs x sˆ y sˆ Beləliklə, operatorunun təsvirində elektronun spin operatorlarının matrisləri üçün aşağıdakı ifadələr alınır: z sˆ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 1 1 0 2 0 2 1 2 1 0 ˆ h h x s , ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 0 0 2 0 2 2 0 ˆ i i i i s y h h ,
(104.53) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 0 1 2 2 1 0 0 2 1 ˆ h h
s , 2 2 2 2 2 ˆ 3 1 1 0 0 1 4 ˆ ˆ ˆ s s s s z y x = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = = h . Bəzən (104.53) matrisləri əvəzinə aşağıdakı Pauli matrislərindən istifadə edilir: ⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎝ ⎛ = 0 1 1 0
σ ,
(104.54) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 0 0
i y σ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 0 1
σ Pauli matrislərindən istifadə edərək , , operatorlarını x sˆ y sˆ z sˆ x x s σ 2 ˆ h = , y y s σ 2 ˆ h = , z z s σ 2 ˆ h = (104.55) kimi yazmaq olar. σ
və σ
matrislərinin hasilini tapaq: z y x i i i i i i σ σ σ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 , 687
z x y i i i i i i σ σ σ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛− = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 . Buna oxşar olaraq digər Pauli matrisləri üçün də hasilləri tapmaq olar. Deməli, σ
σ
=- σ
σ x =i σ
, σ y σ
=- σ
σ y =i σ
, σ z σ
=- σ
σ z =i σ
(104.56) (104.56)-ya əsasən Pauli matrisləri üçün aşağıdakı qeyri-kommutativlik münasibətləri alınır:
σ x σ
- σ
σ x =2i σ
, σ y σ
- σ
σ y =2i σ
, σ z σ
- σ
σ z =2i σ
. (104.57) Qeyd edək ki, (104.55)-i (104.21)-də yazmaqla da (104.57) ifadələri alınır. (104.56) ifadələrindən həm də alınır ki, σ
σ
+ σ
σ x =0,
σ y σ
+ σ
σ y =0,
σ z σ
+ σ
σ z =0. (104.58) Deməli, Pauli matrisləri bir-biri ilə antikommutativdir. (104.55) və (104.58)-dən aydın olur ki, spinin proyeksiyalarına uyğun olan operatorlar da bir-biri ilə aşağıdakı antikommutativlik şərtlərini ödəyir: 0 ˆ ˆ ˆ ˆ = +
y y x s s s s , 0 ˆ ˆ ˆ ˆ = + y z z y s s s s , 0 ˆ ˆ ˆ ˆ = + z x x z s s s s . (104.59) Göstərmək olar ki, Pauli matrislərinin kvadratı vahid matrisə bərabərdir: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = = 1 0 0 1 2 2 2
y x σ σ σ . (104.60) Biz spin ½-ə bərabər olan hal üçün spin operatorlarının ifadəsini tapdıq. Spinin digər qiymətləri üçün də spin operatorları analoji üsulla tapıla bilər. Məsələn, spin s=1 olduqda operatorunun məxsusi qiyməti 2 ˆs ( ) 2 2 2 2 1 ˆ h h = + = s s M s . operatorunun məxsusi qiymətləri isə M z sˆ sz =+1,0,–1 olur. Bu halda və matrisləri 2 ˆs z sˆ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 ˆ 2 2 h
,
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 0 0 0 0 0 0 1 ˆ h
s
(104.62) kimi təyin olunur və spin funksiyası ϕ (
) üç komponentli olur. (104.39) və (104.41) düsturları spinin konkret bir qiyməti üçün deyil, ümumi hal üçün yazılmışdır. Ona görə də həmin ifadələr spinin s=1 qiyməti üçün də doğrudur. Deməli, (104.39) və (104.41) ifadələrindən istifadə edərək s=1 olduqda və matrislərini aşağıdakı kimi yaza bilərik: +
−
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − + − + − + − + + + − + + + + 0 0 0 1 0 0 0 1 0 ˆ 1 1 10 11 1 0 00 01 1 1 10 11 c s s s s s s s s s s h (104.63) 688
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − − − − − − − − − − − − − − 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ˆ 1 1 10 11 1 0 00 01 1 1 10 11 c s s s s s s s s s s h (104.64) Burada da, s=1/2 halında olduğu kimi, (104.63) və (104.64) matrislərində c əmsalının eyni olduğunu isbat etmək olur. (104.63) və (104.64)-ü (104.28) və (104.29)-da nəzərə alaraq və matrislərini tapırıq:
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 ˆ h c s x , ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⋅ = 0 0 0 0 0 2 ˆ
i i i c s y h . (104.65) (104.65) və (104.62) matrislərinin kvadratı ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 1 0 2 0 1 0 1 4 ˆ 2 2 2
s x h , ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 1 0 2 0 1 0 1 4 ˆ 2 2 2
s y h , (104.66) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 0 0 0 0 0 0 1 4 ˆ 2 2 2
s z h
kimidir. Bu matrisləri toplayaraq ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + = + + = 2 1 0 0 0 0 0 0 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 2 2 2 2 2 2
c c s s s s z y x h (104.67) alırıq. (104.67) və (104.61) matrislərinin müqayisəsindən görünür ki, c 2 =2 və 2 =
olmalıdır. c-nin bu qiymətini (104.65)-də yazmaqla ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 ˆ h
s , ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 0 0 0 0 0 2 ˆ i i i i s y h (104.68) alırıq. Qeyd etmək lazımdır ki, s=1/2 halındakından fərqli olaraq s=1 qiymətində spinin proyeksiyalarına uyğun olan operatorların kvadratları bir-birinə bərabər olmur, yəni (104.53)-dən fərqli olaraq alınır. Bundan başqa, (104.68) və (104.62) matrisləri üçün (104.59) münasibətləri də ödənmir. Lakin bilavasitə yoxlamaqla inanmaq 2 2
ˆ ˆ ˆ z y x s s s ≠ ≠ 689
olar ki, spinin s=1 qiyməti üçün (104.21) qeyri-kommutativlik və (104.22) kommutativlik münasibətləri, gözlənildiyi kimi, ödənir. İndi isə elektronun spin operatorlarının məxsusi qiymətlərini və məxsusi funksiyalarını tapaq. Aydındır ki, bu məqsədlə i i i i s s ϕ ϕ = ˆ (i=x,y,z) (104.69) operator tənlikləri həll edilməlidir (Ё73). Burada , , operatorları (104.53) ifadələri ilə təyin olunur, ϕ
sˆ y sˆ z sˆ i isə (104.11) kimi ikisətirli sütun matrisidir. (104.53) və (104.11)-ə əsasən
ϕ ϕ = ˆ tənliyini aşağıdakı kimi yazaq: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 1 2 1 0 1 1 0 2 a a s a a x h . Sol tərəfdəki matrisləri vuraraq ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 1 1 2 2 a a s a a x h və ya ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 1 2 2 2
s a s a a x x h h (104.70) alırıq. Matrislərin bir-birinə bərabər olması üçün onların uyğun elementləri bir-birinə bərabər olmalıdır. Deməli, (104.70) bərabərliyindən a 1 və a 2 məchullarını tapmaq üçün iki dənə xətti bircinsli tənlik alınır: 0 2 0 2 2 1 2 1 = − = − a s a a a s x x h h
(104.71) Riyaziyyatdan məlumdur ki, bu tənliklər sisteminin sıfırdan fərqli həllinin olması üçün məchulların əmsallarından düzəldilmiş determinant sıfra bərabər olmalıdır: 0 2
− −
x s s h h . Buradan
( ) 0 2 2 2 = + − h x s tənliyi alınır ki, bunun da həlləri s x =+ħ/2, s x =–ħ/2
(104.72) olur. Deməli, operatorunun məxsusi qiymətləri, yəni spinin x oxu üzrə proyeksiyasının mümkün olan qiymətləri (104.72) kimidir. Bu məxsusi qiymətlərə uyğun olan məxsusi funksiyaları tapmaq üçün isə onların hər birini (104.71)-də yazaraq alınan tənliklər sistemini həll edərək a
1 və a 2 məchullarını tapmaq lazımdır. Beləliklə, 2 h
x s qiymətini (104.71)-də yazaraq
1 –a 2 =0
a 2 –a 1 =0
və buradan a 1 =a 2 =a alarıq. Ona görə də (104.11)-ə əsasən
690
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = =
a x s 2 h ϕ
yazmaq olar. (104.12) normalanma şərtindən alınır ki, 1 2 2 = a , 2 1 2 = a və
x i e a α 2 1 = . Beləliklə, ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = 1 1 2 1 2
x i s e α ϕ h
(104.73) alırıq. İndi isə 2 h
= x s qiymətini (104.71)-də yazaraq analoji yolla operatorunun digər məxsusi funksiyasını tapırıq:
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = − = 1 1 2 1 2 x x i s e α ϕ h .
(104.74) (104.53) və (104.11)-ə əsasən (104.69) tənliyini operatoru üçün yazaq: y sˆ y y y y s s ϕ ϕ = ˆ , ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 2 1 0 0 2 b b s b b i i y h . Burada matrisləri vuraraq və sağ və sol tərəfdəki matrislərin uyğun elementlərini bir- birinə bərabərləşdirərək aşağıdakı tənliklər sistemini alırıq: 0 2
1 = + b i b s y h ,
(104.75) 0 2 2 1 = − b s b i y h
b 1 və b 2 məchullarının əmsallarından düzəldilmiş determinantı sıfra bərabər edərək alınan ( ) 0
2 2 = + − h y s
(104.76) tənliyini həll etməklə, operatorunun məxsusi qiymətlərini, yəni elektronun spininin y oxu üzrə proyeksiyasının mümkün olan qiymətlərini tapırıq: y sˆ s y =+ħ/2, s y =–ħ/2.
(104.77) (104.75)-də s y =ħ/2 yazaraq və ħ/2-yə ixtisar edərək b 1 +ib 2 =0
ib 1 –b 2 =0
tənliklər sistemini alırıq. Buradan görünür ki, b 2 =ib 1 və deməli, 1 2
b = . (104.12) normallıq şərtinə əsasən 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 b b b b = = + = olduğundan 691
y i e b α 2 1 1 = , y i e i b α 2 2 =
yaza bilərik. Beləliklə, ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = i e b b y y i s 1 2 1 2 1 2 α ϕ h .
(104.78) və analoji yolla operatorunun digər məxsusi funksiyası üçün y sˆ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = − =
e y y i s 1 2 1 2 α ϕ h
(104.79) ifadəsini tapırıq. (104.53) və (104.11)-ə əsasən (104.69) tənliyini operatoru üçün də yazaraq və yuxarıdakı qayda üzrə hərəkət edərək bu operatorun məxsusi qiymətləri və onlara mənsub olan məxsusi funksiyalar üçün artıq bizə məlum olan /bax: (104.43), (104.14)/ aşağıdakı ifadələri tapırıq:
=+ħ/2, s z =–ħ/2
(104.80) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = 0 1 2 1 2 z z i s e α ϕ h , ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − = 1 0 2 1 2 z z i s e α ϕ h . (104.81) Göründüyü kimi, elektronun spininin s
, s y və s z proyeksiyalarının mümkün olan qiymətləri (uyğun spin operatorlarının məxsusi qiymətləri) ±ħ/2 olub, bir-birinə bərabərdir. Lakin operatorlarının məxsusi funksiyaları müxtəlifdir (xatırlayaq ki, yuxarıdakı hesablamalar operatorunun təsvirində aparılmışdır). Aydındır ki, (104.73), (104.74), (104.78), (104.79) və (104.81) ifadələrində e z y x s s s ˆ , ˆ , ˆ z sˆ i α ixtiyari faza vuruğunu 1-ə bərabər, yəni α =0 götürmək olar. Nəhayət, (104.53)-ə əsasən operatoru üçün (104.69)-a uyğun tənliyi 2 ˆs ϕ ϕ 2 2 ˆ
s = , ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 1 2 2 1 2 1 0 0 1 4 3 a a s a a h (104.82) kimi yazmaq olar. Burada matrisləri vurduqdan sonra alınan ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 1 2 2 1 2 4 3 a a s a a h
(104.83) bərabərliyindən görünür ki, operatorunun məxsusi qiyməti s 2 ˆs 2 =3ħ 2 /4, məxsusi funksiyası isə elementləri 1 2 2 2 1 = + a a normallıq şərtini ödəyən ikisətirli ixtiyari sütun matrisi kimi təyin olunur. ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 2 2 a a s s ϕ . (104.84) Qeyd edək ki, atom fizikasında bir qayda olaraq elektronun və spin
2 ˆs z sˆ
692 operatorlarından istifadə edilir. Bu operatorlar bir-biri ilə kommutativ olduğu üçün /bax: (104.22)/ onların məxsusi funksiyaları eyni olmalıdır. və operatorlarının məxsusi funksiyalarını biz 2 ˆs z sˆ ( )
σ s m u kimi işarə edəcəyik. Yuxarıda deyilənlərə uyğun olaraq ( ) σ
m u
spin funksiyası aşağıdakı operator tənliklərini ödəyir: ( ) ( ) ( ) σ σ
s m m u s s u s 1 ˆ 2 2 + = h ,
(104.85) ( )
( ) σ σ s s m s m z u m u s h = ˆ .
(104.86) Burada m s – spin kvant ədədi, σ
s = ±1/2, σ = ±1/2 olur. ( )
σ s m u spin funksiyaları aşağıdakı kimi təyin olunur: ( ) ⎩
⎧ ≠ = = =
s m m m m u s s σ σ δ σ σ , 0 , 1 . (104.87) Matris şəklində isə ( )
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 0 1 2 1 2 1 u , ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − − 1 0 2 1 2 1 u
(104.88) kimi yazılır. ( )
σ s m u spin funksiyaları üçün aşağıdakı ortonormallıq şərti ödənir: ( ) ( )
' 2 1 ' δ σ σ σ = ∑ ± =
(104.89) 693
|
