Determinantlar va ularni hisoblash

1.5. Matritsalar. Matritsial ustida amallar.

Ta’rif:   m × n o’lchamli matritsa deb, a_ij, ,   sonlardan tuzilgan m ta satr, n ta ustunli quyidagi:

(1)   A=        yoki     A=

jadvalga aytiladi. A matrisani qisqacha A=||a_ij|| ;   ham yozish mumkin.

     a_ij larga matrisaning elementlari deyiladi.

Agar m × n  bo’lsa, (1) ga to’g’ri burchakli yoki o’rta matritsa deyiladi. Agar m=n bo’lsa, (1) ga kvadrat matritsa deyilib, uning o’lchami n × n  bo’ladi.

yo’l matritsa

- kvadrat matritsa      -ustun matritsa    -

 

Matritsa faqat jadval bo’lib, u biror sonni ifodalamaydi. Matritsaga katta, kichik degan tushuncha bo’lmaydi. Matritsalar odatda lotin alifbosining katta harflari bilan belgilanadi.

Kvadrat matritsalar uchun uning elementlaridan tuzilgan determinant quyidagicha bo’ladi.

A=,         det A=|A|=

Barcha elementlari nol bo’lgan matritsa nol matritsa deyiladi. Bosh diagonal elementlaridan boshqa hamma elementlari nol bo’lgan kvadrat matritsaga diagonal matritsa deyiladi. Bosh diagonal elemenlari bir bo’lib, boshqa barcha matitsa elementlari 0 bo’lgan kvadrat matritsaga birlik matritsa deiladi va u odatda E harfi bilan belgilanadi.

                E=    ,    |E|=1 .

 

Har qanday A va B matritsalarning A=B bo’lishi uchun ular bir xil o’lchovli va barcha mos elementlari teng bo’lishi shart.

Ta’rif:  Biror A matritsani k songa ko’paytirish deb, A matritsaning hmma elementlarini shu k songa ko’paytirishdan hosil bo’lgan matritsaga aytiladi va kA ko’rinishda yoziladi:

             kA=Ak=

Ta’rif: Agar A va B matritsalar bir xil o’lchovli bo’lsa, ularning yig’indisi deb, shunday C matrit-saga aytiladiki, bu C matritsaning elementlari A va B matritsalarning mos elementlarining yig’indisi-dan iborat bo’ladi.

                     A=,         B=         ­

                bunda m=p; n=q,

                    C=A+B=+

 

 

Misol.

    

Berilgan matritsalarni ko’paytirish uchun A matritsaning ustunlar soni n, B matritsaning yo’llar soni p ga teng, ya’ni n=p bo’lishi shart. Aks holda AB ma’noga ega bo’lmaydi. Ikkita matritsani ko’paytirganda hosil bo’lgan matritsaning yo’llar soni ko’payuvchi matritsaning yo’llar soniga, ustunlar soni esa ko’payuvchi matritsaning ustunlar soniga teng bo’ladi.

                               

                              A_m×n ×B_p×q=C_mq

                              C=A×B=

Ikkita matritsaning ko’paytmasi yana matritsa bo’lib, uning C_ij elementi A matritsaning i-yo’lida-gi hamma elementlarini B matritsaning j-ustundagi mos elementlariga ko’paytmalarining yig’indisi-dan iborat bo’ladi.

                        C_ij=a_ijb_ij+a_i2b_2j+…+a_inb_nj=                                   ; 

 

Misol:

            .

A va B matritsalar uchun A·B≠BA ya’ni matritsalar ko’paytmasi uchun kommutativlik kassasi o’rinli emas:

Misol : 

                A=                             B=

A×B=×=

                                                       B×A

 

              Ko’rinib turibdiki A·B±B·A .

 

Bevosita tekshirish yo’li bilan quyidagi:

1) (BA) ·B=A· (AB) =A (AB)      A-son

2) (A+B) ·C= A·C+B·C

3) C (A+B) = CA+CB

4) A (B·C) = (A·B) C

         Xossalari o’rinli ekaniga ishonch hosil qilish mumkin.

Agar A va B n×n o’lchamli kvadrat matritsalar bo’lsa, u holda

          1º     det (AB) =detA · detB

          2º     det (λA) = λⁿdetA.                 munosabatlar o’rinli bo’ladi.

 

Ta’rif 3: Agar barcha i,j lar uchun a_ij^T=a_ji bo’lsa, A^T=||a^T_ij|| matritsani A=||a_ij|| matritsaga transponirlangan matitsa deymiz.

   Agar A n×m o’lchamli matritsa bo’lsa, A^T=n×m o’lhcamli matitsa bo’ladi.

Misol.

1) A=                                       A^T=

2) B=

Quyidagi xossalar o’rinli.

1º (A^T)^T=A

2º (A+B)^T=A^T+B^T

3º (A·B)^T=B^T·A^T

     Agar A^T=A bo’lsa, kvadrat A matritsa simmetrik, A^T=-A bo’lsa, kososimmetrik matirtsa deyiladi.