Дифференциальные уравнения высших порядков


Нормальные системы линейных однородных дифференциальных


Download 0.66 Mb.
bet7/7
Sana18.06.2023
Hajmi0.66 Mb.
#1568924
TuriРешение
1   2   3   4   5   6   7
Bog'liq
Лекции 6-7 (1)

Нормальные системы линейных однородных дифференциальных


уравнений с постоянными коэффициентами.

При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся случаем системы трех уравнений (n = 3). Все нижесказанное справедливо для систем произвольного порядка.




Определение. Нормальная система дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами называется линейной однородной, если ее можно записать в виде:
(2)

Решения системы (2) обладают следующими свойствами:


1) Если y, z, u – решения системы, то Cy, Cz, Cu , где C = const – тоже являются решениями этой системы.


2) Если y1, z1, u1 и y2, z2, u2 – решения системы, то y1 + y2, z1 + z2, u1 + u2 тоже являются решениями системы.

Решения системы ищутся в виде:


Подставляя эти значения в систему (2) и перенеся все члены в одну сторону и сократив на ekx, получаем:

Для того, чтобы полученная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.:

В результате вычисления определителя получаем уравнение третьей степени относительно k. Это уравнение называется характеристическим уравнением и имеет три корня k1, k2, k3. Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы (2):



Линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициентами будет решением системы (2):



Пример. Найти общее решение системы уравнений:

Составим характеристическое уравнение:


Решим систему уравнений:

Для k1:
Полагая (принимается любое значение), получаем:

Для k2:


П олагая (принимается любое значение), получаем:
Общее решение системы:

Этот пример может быть решен другим способом:


Продифференцируем первое уравнение:


Подставим в это выражение производную у¢ =2x + 2y из второго уравнения.



Подставим сюда у, выраженное из первого уравнения:












Обозначив , получаем решение системы:


Пример. Найти решение системы уравнений

Эта система дифференциальных уравнений не относится к рассмотренному выше типу, т.к. не является однородным (в уравнение входит независимая переменная х).
Для решения продифференцируем первое уравнение по х. Получаем:

Заменяя значение z’ из второго уравнения получаем: .
С учетом первого уравнения, получаем:
Решаем полученное дифференциальное уравнение второго порядка.

Общее решение однородного уравнения:

Теперь находим частное решение неоднородного дифференциального уравнения по формуле




Общее решение неоднородного уравнения:



П одставив полученное значение в первое уравнение системы, получаем:



Пример. Найти решение системы уравнений:

Составим характеристическое уравнение:







  1. k = -1.


Если принять g = 1, то решения в этом случае получаем:




  1. k2 = -2.


Если принять g = 1, то получаем:




  1. k3 = 3.


Если принять g = 3, то получаем:

О бщее решение имеет вид:



Download 0.66 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling