Differensial tenglamalar va ular bilan bog’liq tushunchalar

 

 

4.  II  tartibli chiziqli o’zgarmas koeffitsientli bir jinsli differensial 

tenglamalar 

 

1.  Quyidagilardan qaysi biri II tartibli chiziqli differentsal tenglama bo‘ladi?  

      A) 

)

(

)

(

2

1

2

x

f

y

a

y

a

y











 .          B) 

)

(

)

(

2

2

1

x

f

y

a

y

a

y











 . 

      C) 

)

(

2

2

1

x

f

y

a

y

a

y











 .             D) 

)

(

2

2

1

x

f

y

a

y

a

y











 . 

       E) bu tenglamalar orasida  II tartibli chiziqli differentsal tenglama yo‘q . 

 

 

125 

2.  Qaysi  shartda  II  tartibli  chiziqli 

)

(

2

1

x

f

y

a

y

a

y











differentsaial 

tenglama bir jinsli deyiladi ? 

        A) f(x)>0 .         B) f(x)<0 .          C) f(x)=0 .        D) f(x)≠0 .     E) f(x)≈0 . 

 

3.  II tartibli chiziqli 

)

(

2

1

x

f

y

a

y

a

y











differentsaial tenglama quyidagi 

hollardan qaysi birida bir  jinsli bo‘lmasligi mumkin? 

        A) f(x)=0 .         B) ln[1+f(x)]=0 .          C) e

f(x)

=1 .        D) sinf(x)=0 .      

         E) keltirilgan barcha hollarda bir jinsli bo‘ladi . 

 

4.  Quyidagi II tartibli chiziqli tenglamalardan qaysi biri bir jinsli emas ? 

        A) 

0

3









y

y

 .        B) 

0

3







y

y

 .        C) 

0

3

3











y

y

y

 . 

        D) 

0

3







y

 .    E) keltirilgan tenglamalarning hammasi bir jinsli . 

 

5.  II tartibli chiziqli 

)

(

2

1

x

f

y

a

y

a

y











differentsaial tenglama quyidagi 

hollardan qaysi birida bir  jinslimas bo‘ladi  ? 

           A) f(x)>0 .           B) f(x)<0 .            C) f(x)≈0 .           D) f(x)≠0 .      

          E) barcha hollarda bir jinslimas bo‘ladi .  

 

6.  Ta’rifni to‘lldiring: Agar 

)

(

2

1

x

f

y

a

y

a

y











tenglamada a

1

 va a

2

  

koeffitsientlardan ………. o‘zgarmas son bo‘lsa, u II tartibli o‘zgarmas  

koeffitsientli chiziqli  differentsaial tenglama  deyiladi. 

       A) birortasi .      B) faqat bittasi .      C) ikkalasi ham .    

         D) kamida bittasi .     E) ko‘pi bilan bittasi .  

 

7.  Quyidagilardan  qaysi  biri  II  tartibli  o‘zgarmas  koeffitsientli  chiziqli 

differensial tenglama bo‘lmaydi ? 

              A) 

0

4









y

y

 .             B) 

0

4







y

y

 .           C) 

0

4







x

y

 . 

                   D) 

0

4

2







x

y

 .           E) 

0

4

2







y

y

 . 

 

8.  Agar y

1

 va y

2

  II tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamaning ikkita 

xususiy yechimlari bo‘lsa, unda quyidagi tasdiqlardan qaysi biri o‘rinli emas? 

A)  ixtiyoriy  C

1

  va  C

2

  o‘zgarmas  sonlar  uchun  C

1

y

1

  va  C

2

y

2

  funksiyalar  bu 

tenglama yechimlari bo‘ladi . 

B)  y

1

+y

2

  bu tenglama yechini bo‘ladi .    

C)  y

1

–y

2

  bu tenglama yechini bo‘ladi . 

D)  ixtiyoriy  C

1

  va  C

2

  o‘zgarmas  sonlar  uchun  C

1

y

1

+C

2

y

2

  funksiyalar    bu 

tenglama yechimlari bo‘ladi . 

E) keltirilgan barcha tasdiqlar o‘rinlidir . 

 

9.  Quyidagi  shartlardan  qaysu  birida    II  tartibli    chiziqli  differensial 

tenglamaning ikkita y

1

 va y

2  

xususiy yechimlari chiziqli bog‘liq bo‘lmaydi ? 

    A) birorta C≠0 o‘zgarmas son uchun y

1

=Cy

2

 . 

    B) birorta C≠0 o‘zgarmas son uchun y

2

=Cy

1

 . 

 

126 

    C)  qandaydir noldan farqli C

1

 va C

2

 o‘zgarmas sonlar uchun C

1

y

1

+C

2

y

2

=0 .  

    D)  qandaydir noldan farqli C

1

 va C

2

 o‘zgarmas sonlar uchun C

1

y

1

–C

2

y

2

=0 . 

    E) bu shartlarning barchasida y

1

 va y

2

 yechimlar chiziqli bog‘liq bo‘ladi . 

 

10. Quyidagi  hollardan  qaysi  birida  II  tartibli    chiziqli  differensial 

tenglamaning ikkita y

1

 va y

2  

xususiy yechimlari chiziqli erkli bo‘ladi ? 

  A) 2y

1

+y

2

=0 .    B) 2y

1

+y

2

=1 .     C) 2y

1

–y

2

=0 .     D) 2y

1

/y

2

=1 .      E) 2y

1

/y

2

=−1 . 

 

11.  Agar  y

1

  va  y

2

=y

1

+C  (C≠0)  bo’lsa,  C  parametrning  qanday  qiymatlarida 

y

1

 va y

2

 funksiyalar chiziqli bog’liq bo’lmaydi? 

A) C>0 . 

B) C<0 .  

C) ixtiyoriy C≠0 uchun .     D) 





C

 . 

  E) C=±1 . 

 

12.  y

1

=cos

2

x , y

2

=1–cos2x , y

3

=1+cos2x funksiyalardan qaysi juftlik chiziqli 

bog‘liq bo‘ladi ? 

            A) y

1

 va y

2

 .                B) y

1

 va y

3

 .               C) y

2

 va y

3

 .   

              D)  uchala jurtlik ham juftlik chiziqli bog‘liq emas . 

                E)  uchala jurtlik ham chiziqli bog‘liq . 

 

13.  Quyidagilardan  qaysi  biri  y

1

  va  y

2

  funksiyalarning  Vronskiy 

aniqlovchisini ifodalamaydi ? 

       A) 

2

2

1

1

y

y

y

y





 .    B) 

2

1

2

1

y

y

y

y





 .       C) 

2

1

2

1

y

y

y

y









 .   D) 

2

2

1

1

y

y

y

y









 . 

        E) keltirlgan barcha aniqlovchilar Vronskiy aniqliochisini ifodalaydi . 

 

14.  y

1

=cosx  va  y

2

=sinx  funksiyalarning  Vronskiy  aniqlovchisi  W(y

1

,  y

2

) 

qayerda to‘g‘ri ko‘rsatilgan ? 

         A) W(y

1

, y

2

)=cosx+sinx .      B) W(y

1

, y

2

)= cosx−sinx . 

         C) W(y

1

, y

2

)= cosx∙sinx .      D) W(y

1

, y

2

)=1 .     E) W(y

1

, y

2

)=0 . 

 

15.  y

1

=e

x

  va  y

2

=e

−x

  funksiyalarning  Vronskiy  aniqlovchisi  W(y

1

,  y

2

) 

qayerda to‘g‘ri ko‘rsatilgan ? 

         A) W(y

1

, y

2

)= e

2x

 .             B) W(y

1

, y

2

)= e

−2x

 .               C) W(y

1

, y

2

)= −1 .      

D) W(y

1

, y

2

)=0 .             E) W(y

1

, y

2

)=−2 . 

 

16.  y

1

=e

x

cosx va y

2

=e

x

sinx funksiyalarning Vronskiy aniqlovchisi W(y

1

, y

2

) 

qayerda to‘g‘ri ko‘rsatilgan ? 

         A) W(y

1

, y

2

)= e

2x

(cosx+sinx) .      B) W(y

1

, y

2

)= e

2x

(cosx+sinx) . 

         C) W(y

1

, y

2

)= e

2x

cosx∙sinx .      D) W(y

1

, y

2

)= e

2x

 .     E) W(y

1

, y

2

)= e

2x

sin2x . 

 

17.  y

1

  va  y

2

  chiziqli  bog’liq  funksiyalar  bo’lsa,  ularning  Vronskiy 

aniqlovchisi W(y

1

,y

2

) qaysi shartni qanoatlantiradi ? 

        A) W(y

1

,y

2

)=0 .     B) W(y

1

,y

2

)>0 .        C) W(y

1

,y

2

)<0 .       D) W(y

1

,y

2

)≠0 . 

        E) to‘g‘ri javob keltirilmagan . 

 

 

127 

18.  Agar  y

1

  va  y

2

  funksiyalar 

0

2

1











y

a

y

a

y

differensial  tenglamaning 

xususiy  yechimlari  bo‘lsa,  ularining  Vronskiy  aniqlovchisi  W(y

1

,y

2

)  qaysi  shartni 

qanoatlantirganda bu yechimlar chiziqli bog‘liq bo‘ladi ? 

        A) W(y

1

,y

2

)=0 .     B) W(y

1

,y

2

)>0 .        C) W(y

1

,y

2

)<0 .       D) W(y

1

,y

2

)≠0 . 

        E) to‘g‘ri javob keltirilmagan . 

 

19.  y

1

 va y

2

 funksiyalar quyidagi shartlardan qaysi birini qanoatlantirganda 

ularning Vronskiy aniqlovchisi W(y

1

,y

2

)=0 bo’ladi? 

        A) y

1

+y

2

=const. .    B) y

1

–y

2

=const. .     C) y

1

y

2

=const. .   D) y

1

/y

2

=const. . 

          E) keltirilgan barcha shartlarda W(y

1

,y

2

)=0 bo‘ladi .   

 

20.  y

1

=sin

2

x va y

2

=1−cos2x funksiyalarning Vronskiy aniqlovchisi W(y

1

,y

2

) 

qayerda to’gri ifodalangan? 

        A) W(y

1

,y

2

)=sin2x .         B) W(y

1

,y

2

)=cos2x .           C) W(y

1

,y

2

)=1 .        

D) W(y

1

,y

2

)=0 .             E) W(y

1

,y

2

)=−1 . 

 

21.  y

1

=cos

2

x va y

2

=1+cos2x funksiyalarning Vronskiy aniqlovchisi W(y

1

,y

2

) 

qayerda to’gri ifodalangan? 

        A) W(y

1

,y

2

)=sin2x .         B) W(y

1

,y

2

)=cos2x .           C) W(y

1

,y

2

)=0 .        

D) W(y

1

,y

2

)=1 .             E) W(y

1

,y

2

)=−1 . 

 

22.  Agar  y

1

  va  y

2

  funksiyalar 

0

2

1











y

a

y

a

y

differensial  tenglamaning 

yechimlari bo‘lsa, ularning Vronskiy aniqlochisi W(y

1

,y

2

) uchun  Liuvill  formulasi 

qanday ko‘rinishda bo‘ladi ? 

A) 

x

a

Ce

y

y

W

1

)

,

(

2

1





 .       B) 

x

a

Ce

y

y

W

2

)

,

(

2

1





 .     C) 

x

e

a

y

y

W





1

2

1

)

,

(

 . 

   D) 

x

e

a

y

y

W





2

2

1

)

,

(

 .       E) 

x

a

a

Ce

y

y

W

)

(

2

1

2

1

)

,

(







.   

 

23.  Agar  y

1

  va  y

2

  berilgan 

0

2

1











y

a

y

a

y

differensial  tenglamaning 

chiziqli erkli yechimlari, C

1

 va C

2

 ixtiyoriy o‘zgarmas sonlar bo‘lsa, bu differensial 

tenglmaning umumiy yechimi y qanday ko‘rinishda bo‘ladi ? 

      A) y= C

1

y

1

+ C

2

y

2

 .          B) y= (C

1

+

 

y

1

)(C

2

+

 

y

2

) .     C) y= C

1

y

1

∙ C

2

y

2

 . 

            D) y= C

1

y

1

/ C

2

y

2

 .         E) y= (C

1

+

 

y

1

)/(C

2

+

 

y

2

) . 

 

24. 

0

2

1

0











y

a

y

a

y

a

bir  jinsli  differensial  tenglamaning  xususiy 

yechimi y qaysi ko‘rinishda izlanadi ? 

       A) y=x

λ

 .        B) y=sinλx .      C) y=cosλx .       D) y=e

λx

 .          E) y=λx  . 

   

25. 

0

2

1

0











y

a

y

a

y

a

differensial 

tenglamaning 

xarakteristik 

tenglamasini ko‘rsating . 

A) 

0

2

2

1

0











a

a

a

 .     B) 

0

2

2

1

0











a

a

a

 .       C) 

0

2

1

2

0







a

a

a





 . 

  D) 

0

2

2

1

0







a

a

a





 .          E) 

0

2

1

2

0











a

a

a

 . 

 

 

128 

26. 

0

2

1

0











y

a

y

a

y

a

differensial  tenglamaning  y

1

  va  y

2

  xususiy 

yechimlarining  Vronskiy  aniqlovchisi  W(y

1

,  y

2

)  qaysi  shartni  qanoatlantirganda 

ular fundamental yechim bo‘lmaydi ? 

A) W(y

1

, y

2

)>0 .      B) W(y

1

, y

2

)<0 .        C) W(y

1

, y

2

)=0 .       D) W(y

1

, y

2

)≠0 . 

E) ko‘rsatilgan barcha hollarda yechimlar fundamental bo‘ladi . 

 

27. 

0

2

1

0











y

a

y

a

y

a

differensial tenglamaning xarakteristik tenglamasi 

ildizlari  λ

1

  ,  λ

2

  haqiqiy  va  λ

1

≠λ

2

  bo‘lsa,  uning  y

1

  va  y

2

  fundamental  yechimlari  

qayerda to‘g‘ri ko‘rsatilgan ? 

 A) y

1

=cosλ

1

x , y

2

=cosλ

2

x .   B) y

1

=sinλ

1

x , y

2

=sinλ

2

x .   C) 

x

x

e

y

e

y

2

1

2

1

,









 . 

D) 

x

e

y

x

e

y

x

x

2

2

1

1

cos

,

cos

2

1













 .      E) 

x

e

y

x

e

y

x

x

2

2

1

1

sin

,

sin

2

1













 .  

 

28. 

0

2

1

0











y

a

y

a

y

a

differensial tenglamaning xarakteristik tenglamasi 

ildizlari λ

1

 , λ

2

 haqiqiy  va λ

1

=λ

2

=λ

0

 bo‘lsa, uning y

1

  va y

2

 fundamental  yechimlari  

qayerda to‘g‘ri ko‘rsatilgan ? 

              A) y

1

=cosλ

0

x , y

2

=sinλ

0

x .              B) 

x

x

xe

y

e

y

0

0

2

1

,









 .  

             C) 

x

e

y

e

y

x

x

/

,

0

0

2

1









 .             D) 

x

x

e

x

y

e

y

0

0

2

1

,











 .       

              E) 

x

e

y

x

e

y

x

x

0

2

0

1

sin

,

cos

0

0













 .   

  

29. 

0

2

1

0











y

a

y

a

y

a

differensial tenglamaning xarakteristik tenglamasi 

ildizlari  kompleks  va  λ

1,2

=α±  iβ  bo‘lsa,  uning  y

1

  va  y

2

  fundamental  yechimlari  

qayerda to‘g‘ri ko‘rsatilgan ? 

              A) y

1

=e

βx

cosαx , y

2

= e

βx 

sinαx .              B) y

1

=e

βx

cosβx , y

2

= e

αx 

sinαx .  

              C) y

1

=e

βx

sinαx , y

2

= e

αx 

cosβx .            D) y

1

= e

αx

 sinβx , y

2

= e

αx 

cosβx .       

              E) y

1

=e

αx

sinαx , y

2

= e

αx 

cosβx .   

 

30. 

0

2











y

y

y

 tenglamaning umumiy yechimini toping .