Dinamik tizimlarning chiziqli modeli uchun silliqmas optimal boshqaruv masalasi

Yordamchi natijalar. Dinamik tizimning ma’lum traektoriyalarini ifodalash uchun Koshi formulasidan foydalanamiz (1).
tenglama yechimlarining asosiy matritsasi bo‘lsin

bular bu yerda o’lchovli birlik matritsa.
[1] natijalaridan maʼlumki, fundamental matritsa boʻyicha oʻzgaruvchilar toʻplamida uzluksiz boʻlib, quyidagi xususiyatlarga ega:
a)barcha lar uchun ;
b) Har bir uchun quyidagi differensial tenglamaning yechimidir

v)
Differensial tenglamalar nazariyasi natijalariga ko‘ra, har bir uchun (1) sistemaning absolyut uzluksiz yechimi boshlang‘ich shartni qanoatlantiradi.

ko‘rinishiga ega bo‘lib, u Koshi formulasi [1] deb ataladi.
Ta’rif 3. (1) sistemaning boshqaruv bo’yicha vaqt momentida erishilgan qiymatlar to’plami (1) sistemaning barcha trayektoriyalari uchlari to’plami deb ataladi:

Ko‘p qiymatli ning integralini ko‘rib chiqaylik:

Ko'p qiymatli tasvirlashlar nazariyasidan [10] ma'lumki, integral (5) dagi bo'sh bo'lmagan qavariq ixcham to'plamdir.
Lemma 1. Har qanday uchun erishish mumkin bo'lgan to'plami qavariq kompakt to'plam bo'lib,

ko’rinishga ega.
Isbot. bo’lsin. U holda to’plam ta’rifiga ko’ra boshqaruv mavjud bo’ladi va ni Koshi (4) formulasi bilan aniqlaymiz

Qayerdan, integralning ta'rifiga ko'ra (5)

Shunday qilib,

Endi

Bu

bo’ladigan shunday mavjudligini bildiradi.
Ikkinchidan, Koshi formulasiga (4) muvofiq, ni bildiradi.Shunday qilib,

Olingan (7) va (8) munosabatlar (6) tenglikning haqiqiyligini isbotlaydi.
Endi biz kompakt to'plamning yordamchi funksiyasi tushunchasidan foydalanamiz.
da bo'sh bo'lmagan kompakt bo'lsin.

funksiya to’plamning yordamchi funksiyasi deyiladi.
Qavariqli tahlil [5,10] natijalaridan yaxshi ma’lumki, argumentda yordamchi funksiya qavariq va

bunda ning bo’sh bo’lmagan kompakt to’plamlari.
Funksional (2) va yordamchi funksiya (9) ta’riflaridan, shu bilan birga (10) xossadan (2) funksionalni quyidagicha ko’rinishda yozishimiz mumkin:

Endi

tenglik va Koshi (4) formulasida foydalanib, quyidagi natijaga erishamiz.