Dinamik tizimlarning chiziqli modeli uchun silliqmas optimal boshqaruv masalasi

Lemma 2. Funksional (2) uchun


tenglikni qanoatlantiradi.
Lemma 3.

funksional da qavariq hamda ixtiyoriy va lar uchun

tengsizlik bajariladi. Bunda

Ushbu tasdiqning to'g'riligi (11) formuladan va Lebeg integralining xususiyatlaridan kelib chiqadi.
NATIJALAR
Egar nuqtasi shartlari. (2) masaladagi optimallik shartlarini o'rganish uchun funksional

ni ko'rib chiqamiz.
Lemma 2 ga ko'ra, funktsional (13) dan foydalanib, terminal mezonini (2) quyidagicha yozish mumkin.

yozuvini kiritamiz. U holda funksional (13) quyidagicha yoziladi: .
Ta’rif 4. Agar barcha lar uchun

tengsizlik bajarilsa, nuqta : funksionalning egar nuqtasi deyiladi.
funksionalning egar nuqtasi ta’rifidan hamda 2 va 3 yordamchi lemmalardan osonlik bilan quyidagi tasdiqni olish mumkin.
Teorema 1.



tengliklar bajarilganda va faqat shundagina nuqta funksionalning egar nuqtasi bo’ladi.
Bu teorema funksional ning egar nuqtasi uchun zarur va yetarli shartlarni beradi.
Optimallik sharti. Endi bu natijadan funksional (13) shakli va (14) formuladan foydalanib, (3) masaladagi zarur va yetarli optimallik sharti bo’yicha quyidagi teoremani olishimiz mumkin.
Teorema 2. Boshqaruvning va (3) masaladagi boshlang‘ich nuqtasi optimal bo‘lishi uchun shunday nuqtaning mavjudligi va quyidagi shartlarning bajarilishi zarur va yetarli:



Funktsiyani ko'rib chiqamiz

Ushbu natijaga qo'shimcha ravishda zarur optimallik sharti bo'yicha quyidagi teorema mavjud.
Teorema 3. optimal boshqaruv, (3) masalada optimal boshlanish nuqtasi bo‘lsin. U holda

shartni qanoatlantiradigan har qanday uchun (16) va (17) munosabatlar saqlanadi.