Dinamik tizimlarning chiziqli modeli uchun silliqmas optimal boshqaruv masalasi

MATERIALLAR VA TADQIQOT USULLARI
Ushbu maqolada chiziqli vektor differensial tenglama bilan tavsiflangan dinamik boshqaruv tizimini ko'rib chiqamiz. Tizimning dastlabki holati haqidagi ma'lumotlar faqat ma'lum mumkin bo'lgan qiymatlar to'plami bilan chegaralanadi. Nazorat sifatini baholash mezoni sifatida maksimal funksiya tipidagi terminal funksional ko'rib chiqiladi. Ko'rib chiqilayotgan muammo dinamik boshqaruv tizimlari, qavariq va ko'p qiymatli tahlil usullari bilan o'rganiladi [5,7,8,9].

Masalaning qo’yilishi: – – o’lchovli vektorlar Evklid fazosi, – bu fazodagi va vektorlarning skalyar ko’paytmasi, vertorning normasi bo’lsin.
Dinamik boshqaruv tizimining quyidagi chiziqli modelini qaraymiz:
, (1)
bunda –tizimning holat vektori, – boshqaruv vektori, -matritsa, -matritsa, . Bu modelda matritsalar va vektor-funksiyani oraliqda uzluksiz, boshqaruv vektorining qiymatlar to’plami esa fazoning qavariq kompakt to’plami deb hisoblaymiz.
Ta’rif 1. bo’lgan -o’lchovli vektor funksiyalarni joiz boshqaruv to’plami deb ataymiz.
Joiz boshqaruv to’plamni bilan belgilaymiz.
Ta’rif 2. Ma’lum trayektoriya, boshqaruv parametri va boshlang’ich nuqtasi , boshlang’ich shartni va (1) tenglamani to’plamning barcha nuqtalarida qanoatlantiruvchi n-o’lchovli vektor funksiyani absolyut uzluksiz funksiya deb ataymiz.
Differensial tenglamalar nazariyasiga ko'ra, har bir boshqaruv va boshlang'ich nuqtasi uchun (1) sistemaning yagona , mos keluvchi traektoriyasi mavjud.
Chiziqli tizimni (1) boshqarish sifatini baholash uchun quyidagi shakldagi terminal funksional (mezon) ni ko'rib chiqamiz

Bu yerda, ga tegishli kampakt to’plamlar (yopiq va chegaralangan to’plamlar). (2) ko'rinish mezoni silliqmas funksiya bo'lib, u silliqmas maksimal turdagi funksiya yordamida aniqlanadi

Misol uchun, xususan, n, funktsional (2) quyidagi silliq bo'lmagan nazorat sifati mezonining shaklini olganida

Bu yerda, vektorning elementi, ma’lum trayektoriyaning o’ng uchi.
Chiziqli boshqaruv tizimi trayektoriyasining chap uchini qo’zg’aluvchi deb hisoblaymiz, ya’ni ga tegishli berilgan qavariq kompakt to’plam. to’plamda (2) silliqmas funksionalni minimallashtirish masalasini qaraymiz. Bu masalani quyidagicha ko’rinishida yozish mumkin:

Bu yerda , . nuqta va boshqaruvlarni
uchun optimal boshlang’ich nuqta va optimal boshqaruv deb ataymiz.-
Shunday qilib, biz minimaks optimal nazorat masalasini ko'rib chiqamiz. Ushbu silliqmas masala uchun biz kerakli va etarli optimallik shartlarini o'rganamiz.