Dinаmikаgа kirish. Dinаmikаning аsоsiy qоnunlаri vа mаsаlаlаri

Moddiy nuqta harakatining differensial tenglamalari
Moddiy nuqta dinamikasi masalalarini yechish uchun quyidagi ikkita tenglamalar sistemalarining biridan foydalanamiz.
Dekart koordinatalaridagi tenglamalar. Kinematika qismidan ma’lumki nuqtaning to‘g‘ri burchakli dekart koordinatalaridagi harakati quyidagi tenglamalar orqali beriladi (§37 ga qarang):
x=f₁(t), y=f₂(t), z=f₃(t) (9)
Dinamikaning asosiy masalalari shundan iboratki, nuqtaning harakatini bilgan holda, ya’ni (9) formula aniq bo‘lsa, shu nuqtaga ta’sir etuvchi kuch aniqlanadi. Yoki teskarisi, ya’ni nuqtaga ta’sir etayotgan kuchlar ma’lum bo‘lsa uning harakat qonuni, aniqrog‘i (9) tenglamalar aniqlanadi. Shu sababli, nuqta dinamikasi masalalarini yechish uchun shu nuqtaning x, y, z -koordinatalari bilan unga ta’sir etuvchi kuch (kuchlar)ni bog‘lovchi tenglamalar kerak bo‘ladi. Bunday tenglamalarni dinamikaning ikkinchi (asosiy) qonuni orqali olinadi.
Oxyz inersial hisob sistemasida joylashgan moddiy nuqtaning , , ,..., kuchlar ta’siridagi harakatini ko‘rib o‘taylik. (2) tenglamaning, ya’ni m = - ning ikkala tomonini x, y, z -koordinata o‘qlariga proeksiyalaymiz va a_x=d²x/dt² , a_y=d²y/dt², a_z=d²z/dt² ekanligini e’tiborga olsak,
m = , m = , m = (10)
yoki vaqt bo‘yicha olingan ikkinchi tartibli hosilalarni ikkita nuqta orqali belgilasak,
m = , m = , m = (10’)
Mana shular bizga kerak bo‘lgan tenglamalar sistemasidan iborat bo‘lib, ularni nuqtaning to‘g‘ri burchakli dekart koordinatalaridagi harakatining differensial tenglamalari deb ataladi. Nuqtaga ta’sir etuvchi kuchlar vaqt t-ga, nuqtaning o‘rni, yani uning x, y, z koordinatalariga, va tezligiga, yani v_x= , v_y= , v_z= -larga bog‘liq holda o‘zgarishi mumkin ekanligi sababli, (10) tenglamalar sistemasidagi har bir tenglamaning o‘ng tomonlari shunday o‘zgaruvchilarning funksiyalaridan iborat bo‘lishi mumkin, ya’ni t, x, y, z, , , -lar birdaniga ishtirok etishlari mumkin.
Uch yoqli tabiiy o‘qlarga proeksiyalardan iborat tenglamalar. Bunday tenglamalarni hosil qilish uchun m = -tenglikni ikkala tomonini Mnb- o‘qlarga proeksiyalaymiz, ya’ni nuqtaning traektoriyasiga urinma - M o‘qqa, bosh normal - Mn o‘qqa va binormal - Mb o‘qqa (§42 dagi 122 shakl; unda Oxyz-o‘qlar, shularga nisbatan harakat qilmoqda) proeksiyalaymiz. U holda (§43 ga qarang) a_=dv/dt, a_n= v²/, a_b=0 ekanligiga asoslanib, quyidagilarni yozamiz,
m = , m = , 0= (11)
bu yerdagi v=ds/dt, (11) tenglamalar sistemasi moddiy nuqta harakatining differensial tenglamasining uch yoqli tabiiy o‘qlardagi proeksiyalari hioblanadi.