Движение тел с переменной массой. Реактивное движение

РЕФЕРАТ

НА ТЕМУ: Движение тел с переменной массой. Реактивное движение

Выполнил(a): Жураева Этибор

Проверил(а): Туркиев Акром
Ташкент 2023

Движение тел с переменной массой. Реактивное движение

Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты. Принцип действия ракеты заключается в следующем. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с огромной силой. Выбрасываемое вещество той же силой, но противоположно направленной, в свою очередь действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. Если нет внешних сил, то ракета вместе с выброшенным веществом является замкнутой системой. Импульс такой системы не может меняться во времени.
Пусть  – масса ракеты в произвольный момент времени , а – ее скорость в тот же момент. Количество движения ракеты в этот момент времени будет . Спустя время масса и скорость ракеты получат приращения. Заметим, что величина отрицательна. Количество движения ракеты станет равным .
Обозначим через  массу газов, образовавшихся за время , а через – их скорость. Тогда количество движения газов, образовавшихся за время равно . Из современной формулировки второго закона Ньютона имеем, что
,
где  – геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на ракету.
Таким образом,
 (5.19)
Раскрывая скобки и учитывая, что  и – малые величины за время , можно отбросить произведение как бесконечно малую высшего порядка. Обозначим через скорость истечения газов относительно ракеты, которую называютскоростью газовой струи ракеты. Кроме того, из закона сохранения массы следует, что
.
С учетом этих замечаний выражение (5.19) преобразуется к виду
. (5.20)
Разделим это выражение на  и из (5.20) получим
(5.21)
По форме уравнение (5.21) совпадает с уравнением, выражающим второй закон Ньютона. Однако масса тела  здесь не постоянна, а меняется во времени из-за потери вещества. Кроме того, в правой части выражение   имеет смысл дополнительной внешней силы. Она называется реактивной силой и имеет значение силы, с которой действуют на ракету вытекающие из нее газы. Уравнение (5.21) впервые было получено русским механиком И.В.Мещерским и называется уравнением Мещерского или уравнением движения точки с переменной массой.
Применим уравнение (5.21) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая  , получим
 (5.22)
Предположим, что ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном скорости газовой струи  . За положительное направление примем направление полета. Тогда в скалярной форме уравнение (5.22) примет вид
.
Следовательно,
(5.23)
Скорость газовой струи может меняться во время полета. Однако для простоты мы примем, что она постоянна. В этом случае

Значение постоянной интегрирования С определяется начальными условиями. Допустим, что в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее масса равна  . Тогда предыдущее уравнение дает
откуда 
Следовательно,
(5.24)
или  (5.25)
Формула (5.25) называется формулой Циолковского.
Формула Циолковского позволяет рассчитать запас топлива, необходимый для сообщения ракете определенной скорости. Она показывает, что:

• 
  чем больше конечная масса ракеты, тем больше должна быть ее стартовая скорость;
  
• 
  чем больше скорость истечения газов, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.
  

Уравнение Мещерского и формула Циолковского получены для нерелятивистских движений, т.е. для случаев, когда скорости  и малы по сравнению со скоростью света.