Е. А. Перминов методическая система обучения дискретной математике в аспекте интеграции образования монография

Глава 3.

ОСНОВНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ 
ОБУЧЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ 

НАПРАВЛЕНИЙ ПОДГОТОВКИ 

В главе в соответствии с концепцией и главными целями обучения 

излагаются различные методические схемы интеграционного характе- 

дискретной математике будущих учителей математики, информатики 
и инженеров-педагогов, особенности выбора уровневых целей, содержа- 

3.1. Основные методические аспекты 
обучения дискретной математике

3.1.1. Методическая схема реализации модели обучения 
дискретной математике будущих учителей математики в рамках 

Согласно принципу профессионально-педагогической направлен- 
ности фундаментализация образования должна являться не целью, 

согласована с нуждами приобретаемой профессии (принцип фунда- 
ментальности А. Г. Мордковича [134]). Отсюда следует, что подготовка 

товки специалиста в сфере математики. При этом особая роль должна 
отводиться изучению математических структур и схем. 

базе фундаментализации образования предполагает универсализацию 
знаний, умений, навыков, что обусловливает выделение структурных 

щения изучаемых явлений. Такими структурными единицами в дис- 
кретной математике являются доминирующие в ней алгебраические, 

156 

порядковые структуры и логические, алгоритмические, комбинатор- 
ные схемы (средства, методы математического познания). Эти струк- 

только будущих учителей математики, но и учителей информатики 
и инженеров-педагогов. 

математики на основе ее фундаментализации, предложенной Е. И. Де- 
за, важную роль играют числовая и дискретная линии в содержании 

нии при помощи констатации «необходимости проведения в рамках 
изучения курса числовых систем серьезной работы по систематиза- 

раические структуры, отношения и операции, метрики, сходимость 
и др.), что лишний раз свидетельствует о межпредметной направлен- 

татов изучения курса «Числовые системы» предусмотрено знание 
классических числовых систем (полукольца натуральных чисел, коль- 

чисел, алгебры кватеринонов). Другой курс, «Математические моде- 
ли, методы и теории», в методической схеме Е. И. Деза «предназна- 

с теорией конечных полей и ее приложениями» [55, с. 188], что суще- 
ственно сужает формирование у студентов представлений о тематике 

разработана программа курса «Основы дискретной математики», в ко- 
торой предусматривается изучение элементов теории графов и комби- 

тематики на первый план выходят вопросы, связанные со школой, 
а следовательно, история соответствующей теории, темы, связанные 

мами» [55, c. 212]. 

тодической схемы Е. И. Деза фундаментальную роль играют алгеб- 
раические структуры и комбинаторные схемы (средства, методы ма- 

157 

тематического познания), базой для изучения которых являются ос- 
новные комбинаторные конфигурации и методы. 

ритмические, комбинаторные схемы (средства, методы математиче- 
ского познания) положены в основу отбора содержания обучения ДМ 

ческой схеме, предложенной в учебных пособиях по дискретной ма- 
тематике и абстрактной алгебре [156, 157, 158, 159, 186, 187] и в сбор- 

в рамках существовавших ранее стандартов на уровне специалитета. 
При разработке концепции и методической схемы изложения со- 

содержание обучения ДМ для учителей математики и информатики 
в стандартах подготовки на уровне специалитета практически не разли- 

математике и информатике представляется целесообразным обучение 
учителей математики и информатики на уровне бакалавриата по заяв- 

Также при разработке методической схемы изложения содержа- 
ния рассматриваемого пособия принимался в расчет различный уровень 

программам углубленного изучения математики, уже знакомы с комби- 
наторикой и графами, другие – сталкиваются с ними впервые, поэтому 
изложение учебного материала зачастую ведется, может быть, излишне 

точно знаний в объеме программы средней школы. Теоретический ма- 
териал постоянно сопровождается многочисленными примерами и зада- 

ской схемы: выбранный способ подачи материала делает книгу доступ- 
ной для студентов-заочников, которым приходится знакомиться с неко- 

стей, изучающих комбинаторику, а также она будет полезна учащимся 
10 –11-х классов, увлекающимся математикой. 

торные конфигурации и комбинаторные числа») излагаются правила 

158 

суммы и произведения, основные комбинаторные конфигурации, их 
свойства и формулы для их подсчета, бином Ньютона и полиномиаль- 

целочисленные функции. Подобранный учебный материал дает воз- 
можность решать классические задачи на выбор и расположение эле- 

В частности, это традиционные «школьные» задачи на изучение свойств 
основных комбинаторных конфигураций, на разбиение множеств (муль- 

сел на слагаемые). Широко представлены примеры, демонстрирую- 
щие связи комбинаторных чисел с рекуррентными последовательно- 

держании данной части предусмотрено все необходимое для изучения 
основных методов современной комбинаторики. 

ции») посвящена линейным рекуррентным соотношениям и произво- 
дящим функциям как универсальному средству решения комбинатор- 

на основе которых излагается общий метод решения различных ре- 
куррентных соотношений, унифицируются многие ранее полученные 

мых комбинаторных задач. В частности, рассматриваются единооб- 
разно решаемые задачи на вычисления комбинаторных чисел, связан- 

и мультимножеств, задачи на различные виды раскладок неразличи- 
мых (различимых) предметов в неразличимые (различимые) ящики, 

разложений. При этом демонстрируются способы извлечения инфор- 
мации из сложных производящих функций (полученных операциями 

стандартными способами построения одних конфигураций с по- 
мощью других и соответствующими им действиями с производящими 

фигураций с помощью производящих функций. 

159 

В третьей части («Графы») изложены основные понятия и класси- 
ческие задачи теории графов, рассмотрены асимптотические оценки 

тях, сопровождается большим числом примеров и учебных задач, что 
будет, несомненно, полезно при прохождении школьной практики. 

освещены асимптотические методы решения комбинаторных задач, 
демонстрирующие объединенную «мощь» методов математического 

лера (суммирование значений произвольной дифференцируемой функ- 
ции), лежащая в основе общего эффективного метода нахождения 

торных величин. На основе доказываемой далее теоремы излагается 
более простой, по сравнению с формулой Эйлера, метод нахождения 

положительной функции, что позволяет уточнить некоторые ранее 
полученные оценки. 

нально-педагогическая направленность курса теории и методики обу- 
чения математике для будущих учителей математики обеспечивается 

щих структур и схем современной ДМ, изучаемых на математических 
направлениях подготовки, а также на тех направлениях подготовки, 

(«граф», «булева функция», «комбинаторная конфигурация», «асим- 
птотическая оценка» и др.) являются общеобразовательными поня- 

щихся классов физико-математического профиля.