Е. А. Перминов методическая система обучения дискретной математике в аспекте интеграции образования монография

Определение 4. Множество с определенным на нем отношением 
частичного порядка называется частично упорядоченным множеством. 

1) множество натуральных чисел N с отношением «делиться на- 
цело»: aρb означает, что «число a делится нацело на число b»; 

отношением ρ, где AρB для A, B ∈ P (M) означает, что A – подмноже- 

дем обозначать символом ≤. Иными словами, вместо aρb будем пи- 

сать a ≤ b в случае, когда пара (a, b) принадлежит бинарному отноше- 

так: (A,≤). 

сравнимыми, если истинно либо a ≤ b, либо a ≥ b. В противном случае 
элементы a, b называются несравнимыми. Если a ≥ b, то говорят, что 

Определение 6. Элемент a называется элементом, строго боль- 
шим элемента b в ч. у. множестве, если a ≥ b и a ≠ b. В этом случае 

Определение 7. Говорят, что элемент a покрывает элемент b в 
ч. у. множестве M, если a > b и не существует такого элемента x ∈ M, 

но в виде диаграммы на плоскости. Для того, чтобы изобразить ч. у. 

множество (M,≤) в виде диаграммы, примем следуюшие соглашения: 

● различные элементы (M,≤) изображаются различными точка- 
ми плоскости; 

ражающая a, располагается выше точки, изображающей элемент b, 
и эти точки соединяются отрезком (рис. 3.2). 

полностью, когда ч. у. множество конечно. Очевидно также, что при 

176 

построении диаграммы ее отрезки могут пересекаться в точках, не 

изображающих элементы. 

a
a

b
b

Рис. 3.2 
Рис. 3.3 
Рис. 3.4 

Рассмотрим примеры ч. у. множеств и их диаграмм. 

Пример 1. (M, ≤), где M = {1, 2, 5, 7} и a ≤ b для a, b ∈ M означа- 

ет, что «число a меньше числа b» (рис. 3.3). 

Пример 2. (P, ≤), где P = {1, 2, 3, 6, 10} и a ≤ b для a, b ∈ P означает, 

что «число b делится нацело на число a» (рис. 3.4). 

Определение 8. Элемент a ч. у. множества (M, ≤) называется его 

наибольшим (наименьшим) элементом, если для любого x ∈ M спра- 

ведливо соотношение a ≥ x (a ≤ x). 

ществовать только единственный наибольший или наименьший элемент. 

Заметим, что в ч. у. множестве на рис. 3.4 существует наимень- 

ший элемент 1, наибольший – не существует. В ч. у. множестве на 

рис. 3.5, наоборот, существует наибольший элемент a, а наимень- 

ший – не существует. 

a


y


z


u

u


z

b


c


x


x


y

a


b


a


b

d


e


p
c


c

Рис. 3.5 

Рис. 3.6 

Рис. 3.7 

177 

Пусть дано некоторое ч. у. множество (P, ≤) и a, b ∈ P. Рассмот- 

рим множество всех элементов ч. у. множества (P, ≤) таких, которые 

больше как элемента a, так и элемента b одновременно. 

Определение 9. Пусть на множестве элементов из ч. у. множе- 

ства (P, ≤), которые больше элементов a и b одновременно, существу- 

ет наименьший элемент. Тогда этот элемент называется объединени- 

ем элементов a и b и обозначается a ∨ b. 

Например, в ч. у. множестве (A, ≤) на рис. 3.6 объединением эле- 

ментов a и b является элемент a ∨ b = x, а в ч. у. множестве (B, ≤) на 

рис. 3.7 элемент a ∨ b не существует. Действительно, в ч. у. множе- 

стве (A, ≤) на его подмножестве {x, y, z, u} элементов, больших a и b 

одновременно, существует наименьший элемент x. В свою очередь, на 

ч. у. множестве (B, ≤) на его подмножестве {x, y, z, u} такого наи- 

меньшего элемента нет. 

Определение 10. Пусть на множестве элементов ч. у. множества 

(P, ≤), которые меньше выбранных заранее элементов a и b из (P, ≤), 

существует наибольший элемент. Тогда этот элемент называется пе- 

ресечением элементов a и b и обозначается a ∧ b.

Например, в ч. у. множестве (A, ≤) на рис. 3.6 z ∧ y, а в ч. у. 

множестве (B, ≤) на рис. 3.7 x ∧ y не существует. 

любых двух его элементов существует и элемент, являющийся их 

объединением, и элемент, являющийся их пересечением. 

Примеры решеток даны на рис. 3.8, 3.9, 3.10. 

Рис. 3.8 
Рис. 3.9 
Рис. 3.10 

Заметим, что наименьший элемент решетки обозначается 0, 

а наибольший – 1. 

178 

Определение 12. Элемент решетки, покрывающий 0, называется 
ее атомом. Если единица решетки 1 покрывает какие-то элементы, то 

В решетке на рис. 3.8 элемент d – атом, а в решетке на рис. 3.8 
элементы a, b, c – коатомы. 

та которой являются сравнимыми. 
Решетка на рис. 3.3 является цепью. 

ленного на ней частичного порядка само является решеткой, называ- 
ется подрешеткой этой решетки. 

на рис. 3.8. 

следующие свойства: 

равно большему элементу b, пересечение этих элементов равно 
меньшему элементу a. 

b решетки есть элементы, не равные a и b и не равные друг другу. 
Определение 14. Эндоморфизмом φ конечной решетки L называ- 

для операций ∧ и ∨ справедливы равенства φ(a ∧ b) = φa ∧ φb, 
φ(a ∨ b) = φa ∨ φb. 

ется такое отображение φ элементов множества L в себя, при котором 
различные элементы отображаются в различные и для операций ∧ и ∨ 

Например, автоморфизмом φ решетки на рис. 3.8 является сле- 

дующее отображение: φ0 = 0, φd = d, φa = b, φb = c, φc = a, φ1 = 1. 

дующие свойства: 

нимые элементы. 

179 

Действительно, по определению операций ∧ и ∨ для элементов 
a, b, очевидно, a ≤ b равносильно a ∨ b = b и a ∧ b = a. Отсюда, по оп- 

следние два равенства, в свою очередь, означают, что φa ≤ φb. 
Из свойства 3 непосредственно следуют свойства 4 и 5. 

Свойство 5. Элемент, покрывающий n элементов, отображается 
в элемент с таким же свойством: i ∈ N. 

j = a для 1 ≤ i, j 

≤ n. Значит, 

равенство означает, что элемент φa покрывает n элементов φai. 
Аналогично доказывается следующее свойство. 

ментов, отображается в элемент с таким же свойством. 

ее эндоморофизма и перечисленных свойств магистр может предло- 
жить школьникам различные темы для самостоятельной работы над 

1. Описать все n-элементные решетки для n ≤ 7 (при n = 7 имеет- 
ся 53 решетки, что уже ранее доказано с помощью алгоритма пере- 

2. Найти все n-элементные решетки для n ≤ 7, обладающие толь- 
ко тождественным или постоянным эндоморфизмом (в научной лите- 

называется эндоморфизм, отображающий все элементы решетки 
в один элемент. Тождественным называется автоморфизм φ, при ко- 

жесткая неодноэлементная решетка при n = 7.) 

и дипломных работ по ДМ будущих учителей математики и информа- 

тики главным ориентиром являются математическое моделирование 

180 

и теория вычислительных процессов, а также системы компьютерной 
математики. При этом учебно-исследовательская работа студентов 

довательскую работу. 

3.2. Основные методические аспекты обучения 
дискретной математике будущих инженеров-педагогов 

3.2.1. Методическая схема реализации модели 
обучения дискретной математике в рамках интеграции 

В результате изучения дисциплины «Математика», которая была 
включена в ФГОС ВПО 051000 Профессиональное обучение (по от- 

ки в необходимом объеме для осуществления профессионально-педа- 
гогической деятельности» по подготовке рабочих [264, с. 15]. Эта же 

компетенций учебно-профессиональной образовательно-проектиро- 
вочной деятельности при подготовке современного рабочего, что на- 

сионального обучения [257]. 

обучения на инженерно-технических специальностях и принципа про- 
фессионально-педагогической направленности, в изучении фундамен- 

тическое моделирование, дискретная математика и вычислительные 
процессы, лежащие в основе всех новейших технологий, что, несо- 

в наступивший век «компьютерной» автоматизации и роботизации про- 
изводства. Идеи и методы этих областей математики имеют важное 

мой модели обучения ДМ. 

чения математике особенно важно учесть, что современное математи- 

181 

ческое моделирование с применением компьютера основано на ис- 
пользовании (часто совместном) дискретных и непрерывных моделей 

кретных особенностей компонентов обсуждаемой модели обучения 
бакалавров профессионального обучения важную роль играют глав- 

и непрерывной математике, что подразумевает формирование у сту- 
дентов определенных умений на основе гармоничного сочетания дис- 

профессиональной культурой профильного обучения учащихся реше- 
нию технологических задач (отрасли производства), в том числе и в обу- 

производственной технологии. 

ная математика имеет фундаментальное значение в математическом 
моделировании, в разработке и совершенствовании СКМ и КТ, яв- 

реализации современных отраслевых (производственных) технологий 
и многих других областей деятельности. Следовательно, ДМ «играет 

ческого, отраслевого и производственно-технологического компонен- 
тов подготовки (профессионально-педагогической направленности 

держания, методов и средств рассматриваемой модели обучения так- 
же должно быть предусмотрено соответствующее специальности изу- 

пьютера на основе систем компьютерной математики и компьютер- 
ных технологий. Это необходимо для выработки у бакалавров умения 

автоматизации и роботизации производства, что, несомненно, играет 
важную роль в профильном обучении математике. 

учесть, что при обеспечении надежности работы сложных систем 
управления технологическими процессами, энергетических и других 

182 

важных производственных отраслевых систем важны такие показате- 
ли эффективности функционирования, как точность выполняемых при 

числений, помехозащищенность и т. д. А это, в свою очередь, требует 
отражения в уровневом содержании обучения областей современной 

ближений и др.). Поэтому эти разделы ДМ являются математической 
основой формирования соответствующих компетенций: способность 

категорий обучающихся» (ПК-19), «управлять образовательной дея- 
тельностью с использованием современных технологий подготовки 

раслевые (производственные) технологии для обеспечения опережаю- 
щего характера подготовки рабочих (специалистов)» (ПК-31) [258]. 

математика играет фундаментальную роль в формировании у буду- 
щих инженеров-педагогов умений научной, дидактической и методи- 

дисциплин с целью интеграции отраслевого и производственно-тех- 
нологического компонентов подготовки. 

ние структурно-логического анализа содержания дисциплины, в про- 
цессе которого выделяются опорные математические понятия и мето- 

дисциплины, необходимый для обучения учащихся математическому 
моделированию технических объектов и алгоритмов вычислительных 

гих отраслях производства. 

дукция этих понятий, т. е. трансформация математических понятий тех- 
нической дисциплины соответственно уровню понимания учащихся. 

ним из основных ориентиров при разработке модели методической 

183 

системы обучения ДМ будущих инженеров-педагогов, послужило ос- 
новой выбора уровневых целей и содержания рабочей программы 

бования компетентностного подхода, содержащиеся в ФГОС ВО под- 
готовки бакалавров профессионального обучения.