Ə. A. Quliyev

=

3

2

log

, 

y

=

7

2

log

 

olsun. Onda iki məchullu iki tənliklər sistemi alırıq: 













=

+

+

=

+

+

β

α

y

x

x

x

y

x

2

1

,

1

2

 

Buradan 

2

2

3

1

log

3

2

−

−

+

=

=

β

β

αβ

x

, 

2

3

2

log

7

2

−

−

−

−

=

=

αβ

β

α

αβ

y

. 

İndi 

147

42

log

 

-

ni 

hesablayırıq. 

( )

(

)

7

2

3

2

7

2

3

2

2

2

2

147

42

log

log

1

log

2

log

7

3

2

log

7

3

log

log

+

+

+

=

⋅

⋅

⋅

=

 

və 

3

2

log  

və 

7

2

log   -nin 

yerində tapılan qiymətlərini yazıb 

3

3

3

2

3

log

147

42

−

−

+

−

−

=

α

β

αβ

α

αβ

 

alırıq. 

Analoji olaraq üç loqarifma verildikdə dördüncü loqarfimi tapılır, 

həm də ədədlər və loqarifmaların əsası vahiddən fərqli dörd müscbət a, 

b, c, d  

ədədlərinin qüvvətləri hasilinə bərabər olur. Məsələnin həlli, üç 

məchullu üç tənliklər sisteminin həllinə gəlir. 

Ümumiyyətlə 

1

1

1

log

α

=

M

N

, 

2

2

2

log

α

=

M

N

, ..., 

n

M

N

n

n

α

=

log

  kimi n 

loqarifm verilə bilər. Onda 

1

1

log

+

+

n

n

M

N

 -

i hesablamaq tələb olunur, burada 

1

2

1

1

2

1

,

,...,

,

,

,

,...,

,

+

+

n

n

n

n

N

N

N

N

M

M

M

M

 

ədədlərindən  hər  biri 

vahiddən  fərqli 

1

+

n

 

müsbət  ədədin  qüvvətləri  hasilidir.  Məsələ  n 

məchullu  n  tənliklər  sisteminin  həllinə  və  sonra 

1

1

log

+

+

n

n

M

N

  -  in hesab-

lanmasına gəlir. 

42. Aşkardır ki, 

2

>

x

 

və ya 

2

>

y

 olduqda 

( )

y

x,

 

nöqtəsi verilmiş 

tənliyi  ödəməz.  Odur  ki,  bu  tənliyi  ödəyən  nöqtələr  üçün 

2

1

≤

≤ x

, 

2

1

≤

≤ y

 

olmalıdır.  Odur  ki,  baxılan  ixtiyari 

y

x,

 

üçün 

 

209 

( )

2

1

,

≥

=

x

y

y

x

f

.  Beləliklə, 

( )

y

x

f

,

 

funksiyasının  ən  kiçik  qiyməti 

2

1

-

ə bərabərdir. 

43. 

α

α

α

α

2

3

3

1

3

3

tg

tg

tg

tg

−

−

=

 

bərabərliyinin  hər  tərəfini  kvadrata 

yüksəltsək, 

(

)

(

)

0

3

3

2

3

3

3

3

2

3

2

2

2

4

2

6

=

−

+

+

+

−

α

α

α

α

α

α

tg

tg

tg

tg

tg

tg

 

alarıq. 

0

0

0

70

,

50

,

10

=

α

  olduqda 

3

3

3

2

2

=

+

α

tg

, 

3

11

3

2

3

2

=

+

α

tg

 

və 

buradan 

3

1

3

2

=

α

tg

 

alarıq. Onda 

0

1

33

27

3

2

4

6

=

−

+

−

α

α

α

tg

tg

tg

 

ya

zarıq. Burada 

x

tg

=

α

2

 

əvəz edib 

0

1

33

27

3

2

3

=

−

+

−

x

x

x

 

tənliyini 

alırıq.  Deməli 

0

2

1

10

tg

x

=

, 

0

2

2

50

tg

x

=

, 

0

2

3

70

tg

x

=

 

ədədləri  sonuncu 

tənliyin  kökləridir.  Viyet  teoreminə  görə  bu  tənlikdən 

9

3

2

1

=

+

+

x

x

x

, 

11

1

3

3

2

2

1

=

+

+

x

x

x

x

x

x

, 

3

1

3

2

1

=

x

x

x

. 

3

2

1

,

,

x

x

x

-

ün  qiymətlərini  məlum 

(

)(

)

(

)

[

]

1

3

3

2

2

1

2

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

3

3

2

3

1

3

3

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

+

+

−

+

+

+

+

=

−

+

+

 

eynilikdə  yerinə  yazıb 

(

)

433

33

81

9

1

70

50

10

0

6

0

6

0

6

=

−

+

=

+

+

tg

tg

tg

 

alırıq ki, bu da tələb ediləndir.  

44.  Üstlü  tənliyin  kökü  ilə  əlaqədar  məktəb  təcrübəsində  və  ali 

məktəblərə qəbulda xeyli mübahisələrə təsadüf edirik. Odur ki, bu sadə 

misal və sonrakı 45-47 çalışmaları üzərində həmin məsələyə müəyyən 

qədər aydınlıq gətirməyi lazım bilirik. 

Baxılan  tənliyin  sol  tərəfində  məchul  qüvvətin  əsasına  həm  də 

üstünə  daxildir.  Məsələnin  mahiyyəti  belədir:  qüvvətin  əsasına  və 

üstünə məchul daxil  

olan  tənlik  üçün  məchulun  hansı  qiymətlərini  mümkün  hesab 

etməli?  

Bu sualın daha konkret forması:  

- 

1 ədədi 

1

2

=

x

x

 

tənliyinin köküdürmü?  

- 

Hə, çünki tənlikdə x yerində -1 ədədini yazdıqda biz doğru ədədi 

bərabərlik alırıq.  

 

210 

- Yox, -

1 bu mənfi ədəddir, 

x

x

y

2

=

 

mürəkkəb üstlü funksiya (və 

ya üstlü-

qüvvət  və  ya  qüvvət-üstlü)  yalnız 

0

>

x

 

üçün  təyin 

olunmuşdur. 

 - 

Bununla əlaqədar mübahisə etməyin mənası yoxdur, çünki x-in 

hansı qiymətlərində 

x

x

y

2

=

 

yazılışından istifadə etmək barədə dəqiq 

razılaşma yoxdur.  

 - 

Şagirdlər  çox  vaxt 

0

2

x

x

x

=

, 

0

2

=

x

, 

0

=

x

  yazmaqla “0”-da 

verilmiş  tənliyin  kökü  hesab  edirlər.  Lakin  x=0  məchulun  mümkün 

qiymətləri  çoxluğuna  daxil  deyil, 

0

0

-

in  isə  mənası  yoxdur.  Bu 

cavabların hansı doğrudur? Tənliyə aid əsas anlayışdan istifadə etməklə 

bunu araşdırmağa çalışaq. Lakin burada tənliyin dəqiq tərifini verməyə 

ehtiyac  yoxdur:  bizə  yalnız  onu  bilmək  lazımdır  ki,  hər  bir 

( ) ( )

x

g

x

f

=

 

tənliyi iki 

( )

x

f

 

və 

( )

x

g

 

funksiyanı əlaqələndirir. Lakin 

qeyd  etməliyik  ki,  məktəbdə  dəyişənli  ifadə  anlayışını  daxil  etdikdən 

sonra  (riyaziyyat  elminin  özündə  buna  forma  demək  daha  münasib 

hesab edilir) 

( )

x

f

 

və 

( )

x

g

 

ifadələrinə  funksiya  deyil  forma  demək 

daha təbiidir. Əlbəttə, 

( )

x

f

 

forması ilə, onunla təyin onunla, x  dəyi-

şəninin  hər  bir  mümkün  qiymətinə    ədədini  qarşı  qoyan 

( )

x

f

x

→

  

funk

siyası arasındakı əlaqə o qədər sıx və təbiidir ki, uyğun fərq tənlik 

istilahı ilə şərhdə müstəsna olaraq terminoloji xarakterlidir. Tənliyin sol 

və  sağ  tərəflərinə  ədədi  formalar  kimi  baxmaq daha münasibdir. 

Beləliklə,  hər  bir  tənlik  uyğun  formalar  cütü  ilə  təyin  olunur.  Lakin 

forma – 

bu sadəcə olaraq bir və bir neçə hərfin dəyişən hesab edildiyi 

hər  hansı  ifadə  deyildir.  Yuxarıda  dəyişənin  mümkün  qiymətləri 

haqqında danışdıq və bu olduqca mühümdür: Verilmiş ifadədə bir və ya 

bir neçə hərfi dəyişən hesab edərkən habelə onların hansı qiymətlər ala 

biləcəyini  də  göstərmək  lazımdır.  Dəyişənin  bu  qiymətlərinə  (dəyişən 

bir  neçədirsə,  qiymətlər  yığımı)  adətən  mümkün  qiymətlər  deyilir; 

mümkün qi

ymətlər  çoxluğunda  formanın  təyin  oblastı  deyilir. 

Məlumdur  ki,  funksiya  üçün  də  belə  istilahdan  istifadə  olunur. 

Nəzəriyyənin  tələbi  belədir.  Təcrübədə  isə  bu  tələb  demək  olar  ki, 

yerinə yetirilmir, bu və ya digər ədədi formaya, bir qayda olaraq onun 

təyin  oblastını  aşkar  göstərmədən  baxılır.  Lakin  bununla  həmişə 

nəzərdə tutulur ki, təyin oblastı dəyişənin, formada yerinə ayzdıqda hər 

hansı ədəd alındığı və ya necə deyərlər formanın mənalı olduğu, bütün 

 

211 

qiymətlərindən ibarətdir. Beləliklə, təbii təyin oblastı, başqa sözlə “ən 

böyük” mümkün qiymətlər çoxluğu anlayışı yaranır. 

Bu  anlayışdan  gizli  qaydada  çox  istifadə  olunur.  Xüsusi  halda 

“...təyin  oblastını  tapın”  tip  məsələdə  yəqin  ki,  təbii  təyin  oblastı 

nəzərdə tutulur, əksi halda bu məsələnin mənası yoxdur. Eyni zamanda 

məhz  təbii  təyin  oblastı  anlayışı  anlaşmazlığa  səbəb  olur.  Dəqiq 

razılaşma yoxdursa hər kəs dəyişənin bu və ya digər qiymətini bildiyi 

kimi  təbiidir  və  ya  yox  kimi  baxmaqla  şərh  edə  bilər.  Məsələn,  kiçik 

yaşlı məktəblilər üçün  formasının natural ədədlərdən ibarət təbii təyin 

oblastı  vardır,  yuxarı  sinif  şagirdləri  üçün  isə  bu  oblast  bütün  həqiqi 

ədədlərdən və ya hətta kompleks ədədlərdən ibarətdir. Odur ki, məsələn 

XI  sinif  şagirdlərinə 

2

2

+

= x

x

 

tənliyini  həll  etmək  tapşırığını 

verəndə  məchulun  həqiq  və  ya  kompleks  (ola  bilər  ki,  yalnız  tam) 

qiymətlərinə  baxıldığını  göstərməmək  doğru deyildir.  Baxılan  tənliklə 

əlaqədar  xüsusi  şəkildə,  məhz 

ϑ

u

 

şəklində  formanın  təbii  təyin 

oblastının  müxtəlif  cür  şərh  edilməsi  nəticəsində  mübahisələr  yaranır. 

Odur ki, 

ϑ

u

 

ifadəsinə  baxaq.  Buna  iki 

u

 

və 

ϑ

 

dəyişənindən  ibarət 

forma kimi baxmaq istəyirik. Lakin bunun üçün hansı tərifə əsaslanmaq 

lazımdır? Şübhəsiz ki, məktəb dərsliklərində verilən tərifə əsaslanmaq 

lazımdır.  Son  vaxtlarda  məktəb  üçün  yazılmış  dərsliklərdə  verilən 

təriflərə əsasən 

ϑ

u

 

formasının təyin oblastı: 1) 

0

>

u

 olan bütün 

ϑ

,

u

 

cütləri; 2) 

0

<

u

, 

ϑ

 - tam olan 

ϑ

,

u

 

cütləri, 3) 

0

=

u

, 

ϑ

 - 

müsbət tam 

ədəd olan bütün 

ϑ

,

u

 

cütləri hesab edilir. 

Dərsliklərdə  ixtiyari  həqiqi  ədədin  kökü  anlayışına  tərif  verilir, 

lakin  bəzi  hallarda  kəsr  üst  anlayışı  aydın  olmur.  Dərsliklərin 

əksəriyyətində  müsbət  əsaslı  qüvvətdən  söhbət  getdikdə,  xüsusi  qeyd 

edilir  ki,  kəsr  üstlü  qüvvətin  tərifində  əsası  mənfi  ədəd  olan  qüvvətə 

baxılmır. Lakin [15]-də 

3

1

x

-in 

3

x

-

lə eyniləşdirilməsi bu mühüm qeydə 

ziddi

r. Xüsusi olaraq qeyd edək ki, söhbət tərifi necə verməkdən deyil, 

çəktəb  dərsliklərində  verilən  tərifdən  gedir.  Xüsusi  halda  ixtiyari 

müsbət 

ϑ

 üçün 

ϑ

0

-ni 0-

a bərabər götürmək və ya kəsr üstlü qüvvətin 

uyğun  köklə  aşkar  eyniləşdirmək  heç  nəyə  mane  olmaz.  Buna  bəzən 

fikir verilmir və biz də dərslikdə verilən tərifə əsaslanmalıyıq. 

 

212 

İndi  bir  x  dəyişənli 

( )

( )

x

x

u

ϑ

 

formasına  baxaq.  Yuxarıda 

deyilənlərdən alınır ki, bu formanın təbii təyin oblastı x –in aşağıdakı 

üç “növ” qiymətlərindən ibarətdir:  

1) 

( )

0

>

x

u

, 

( )

x

ϑ

 -

in mənası vardır; 

2) 

( )

0

<

x

u

, 

( )

x

ϑ

 - 

tam ədəddir;  

3) 

( )

0

=

x

u

, 

( )

x

ϑ

– 

müsbət tam ədəddir. 

Beləliklə,  bu  vaxta  qədər  istifadə  olunan    dərsliklərdə 

( )

( )

x

x

u

ϑ

 

şəklində formanın təyin oblastı olaraq nəyin götürülməsi barədə xüsusi 

razılaşdırma olmamasına baxmayaraq onlardakı təriflə birlikdə “xüsusi 

şərt  qoyulmadıqda  tənliyin  təbii  təyin  oblastı  götürülməlidir”  fikri  bu 

məsləni birqiymətli həll etməyə imkan verir. Xüsusi halda, indi demək 

olar ki, -

1 ədədi 

1

2

=

x

x

 

tənliyinin köküdür. 

Analoji  olaraq  bu  tərifdən  və  razılaşdırmadan  alınır  ki,  -1  ədədi 

3

2 x

x

 

tənliyinin kökü düyildir, çünki 

( )

3

2

1

−

−

 

simvolu  təyin 

olunmamışdır, yəni mənası yoxdur, -8 ədədi 

3

8

3

−

= x

x

x

 

tənliyinin kökü 

deyildir, çünki 

( )

3

8

8

−

−

 

simvolunun mənası yoxdur; 0 və 

2

1

−

 

ədədləri 

4

5

2

x

x

x

=

+

 

tənliyinin köküdür. 

0 ədədi 

2

2

5

x

x

x

=

+

 

tənliyinin kökü deyildir, çünki 

2

5

0

 simvolunun 

mənası  yoxdur; 

2

1

−

 

ədədi  bu  tənliyin  köküdür.  0  və 

2

1

−

 

ədədləri 

3

4

3

5

2

x

x

x

=

+

 

tənliyinin  köküləri  deyildir;  0  və 

2

1

−

 

ədədləri 

3

4

3

5

2

x

x

x

=

+

 

tənliyinin köküdür. 

Üstlü-

qüvvət  tənliyində  mənfi  əsasın  “əksinə”  olanlar  onu  əsas 

götürürlər ki, üstlü funksiya yalnız müsbət əsas üçün təyin olunmuşdur. 

Lakin, 

aydındır ki, bu dəlilin isə dəxli yoxdur, çünki burada üstlü deyil 

üstlü-

qüvvət  funksiyasından  daha  dəqiq 

( )

( )

x

x

u

ϑ

 

şəklində  formadan 

söhbət gedir. Onu da qeyd edək ki, göstərilən dəlil bundan əlavə x-in 

 

213 

qüvvətin əsası 1 olan qiymətlərini də qəbul etmir. Çox vaxt belə sual da 

yaranır;  “Qüvvətin  əsası  mənfi  olduqda  tənliyin  kökünü  necə  tapmalı 

axı  mənfi  əsas  üçün  loqariflama  ilə  əlaqədar  olan  tənliklərin  həllinin 

əsas  priyomları  “işlənir”.  Lakin  sonralar  bu  çətinliyin  qarşısını  almaq 

mümkün  olur.  Doğrudan  da  fərz  edək  ki, 

( )

( )

( )

x

f

x

u

x

=

ϑ

 

şəklində 

tənlik verilir. Onun 

( )

0

<

x

u

 

olan köklərini axtarmalıyıq. Bu x-lər üçün 

qüvvətin 

( )

x

ϑ

 

üstü tam ədəd olmalıdır, lakin n-in tam qiymətlərində və 

ixtiyari  a    üçün 

n

n

a

a

=

 

düsturu  doğrudur.  Odur  ki,  x-in  baxılan 

qiymətlərində verilmiş tənliyin nəticəsi 

( )

( )

( )

x

f

x

u

x

=

ϑ

 

tənliyidir. Bu 

tənlikdə  qüvvətin  əsası  artıq  müsbətdir,  odur  ki,  onu  həll  etmək 

kifayətdir,  nəticəni  isə  yoxlamaq  lazımdır  –  verilmiş  tənliyin  hər 

tərəfinin modulunu götürdükdə kənar köklər alına bilər. Bu baxımdan 

45-

47 misallarını da araşdıraq. 

45.  Əvvəlcə  qeyd  edək  ki,  bu  üstlü-qüvvət  tənlik  deyildir,  lakin 

burada  üst  kəsr  ədəddir,  odur  ki,  x  –in  yalnız  müsbət  qiymət  aldığını 

qəbul  etmək  lazımdır.  Formal  həldə  çətinlik  yoxudr:  tənliyin  hər 

tərəfini x -ə vurub 

y

x

=

5

3

 

əvəz etdikdən sonra 

0

6

7

3

=

+

− y

y