Ə. A. Quliyev

  olduqda 

x

x

1

+

 

ifadəsi  -2-yə  bərabər  olan 

maksimum  qiymətini  alır.  Beləliklə,  verilmiş  funksiyanın 

1

−

=

x

 

olduqda 3-

ə  bərabər  maksimum, 

1

=

x

 

olduqda  isə 

3

1

-

ə  bərabər 

minumum  qiyməti  vardır.  Deməli,  x  dəyişəni 

∞

−

  dan  -1  -

ə  qədər 

dəyişdikdə funksiya 1-dən 

(

)

1

≠

y

 

3

1

-

ə  qədər  azalır,  -1-dən  +1-ə 

qədər artdıqda funksiya 

3

1

-

dən 3-

ə  qədər  artır,  nəhayət 

x

 

dəyişəni 

1-

dən 

∞

+

-

a  qədər  artdıqda 

funksiya 3-

dən  1-ə  qədər 

(

)

1

≠

y

 

azalır (Şəkil 43). 

8)  Funksiyanın  təyin  oblastı 

iki  aralıqdır: 

(

) ( )

∞

∞

−

,

0

,

0

,

. 

Sağdan və soldan 

0

→

x

 

isə, onda 

−∞

→

y

. 

 

189 

Qrafikin ordinat oxundan iba

rət şaquli asimptotu vardır. 

+∞

→

x

 

isə onda 

(

)

0

0

>

→ y

y

. Beləliklə, qrafikin sağ tərəfidə asimptotik olaraq 

absis  oxuna  yaxınlaşır. 

0

=

y

 

isə,  onda 

3

2

=

x

.  Deməli,  qrafik  absis 

oxunu 













0

;

3

2

 

nöqtəsində kəsir. İndi funksiyanın maksimumunu təyin 

edək. 

a

x

x

y

=

−

=

2

5

2

3

 

və  ya 

0

2

3

5

2

=

+

− x

ax

.  Bu  tənliyin 

diskriminantını  sıfıra  bərabər  edib, 

40

9

=

a

 

alırıq. 

40

9

=

y

 

qiyməti 

üçün  absis 

3

4

=

x

. Beləliklə, 

3

4

=

x

 olduqda 

40

9

max

=

y

. 

Nəhayət  qeyd  edək  ki, 

1

=

x

 

və 

2

=

x

  olduqda funksiya 

5

1

=

y

. 

Onda verilmiş funksiyanın qrafikini alarıq (Şəkil 44).  

9) 

0

≥

−

+

x

a

x

a

 

və 

0

≥

+

−

x

a

x

a

 

(1)  bərabərsizlikləri  ödənildikdə  kök 

həqiqidir. (1) şərti iki ciddi bərabərsizliklər sisteminə gəlir. 







>

−

>

+

0

0

x

a

x

a

 

(2) və ya 







<

−

<

+

0

0

x

a

x

a

  (3)  

0

>

a

 

isə, onda (2)-dən alınır ki, 

a

x

a

<

<

−

 

(4).  (3)  sisteminin  isə  həlli  yoxdur. 

0

<

a

 

isə,  onda  (3)-dən  alırıq  ki, 

a

x

a

−

<

<

 

(5). (2) sisteminin isə 

həlli yoxdur. (4) və (5)-dən alınır 

ki, 

a

x

a

<

<

−

  (6) olduqda 

kök

lər həqiqidir.  

Funksiyanın  varlığı  üçün 

x

a

x

a

x

a

x

a

+

−

≠

−

+

 

(7)  olamsı  zəruri-

dir, buradan 

a

x

≠ .  (6)  və  (7) 

şərtlərindən  alınır  ki,  verilmiş 

funk

siyanın 

təyin 

oblastı 

 

190 

0

<

<

−

x

a

 

və 

a

x

<

<

0

 

intervallarıdır.  İndi  verilmiş  funksiyanı 

sadələşdirək.  Surət  və  məxrəci 

x

a

x

a

−

+

 

ifadəsinə  vurub 

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

y

=

−

−

+

+

−

+

=

1

1

 

alırıq.  İndi  qrafiki  qurmaq  olar.  Bu  funksiyanın 

qrafiki, 

a

x

±

=

 

düz  xətləri  arasında  yerləşən 

x

a

y

=

  parabola 

hissəsidir. 

0

<

a

 

isə qrafik 45a, 

0

>

a

 

isə 45 b şəklindədir.  

 

10) 

0

=

x

 

isə, onda 

0

=

y

. Deməli qrafik koordinat başlanğıcından 

keçir. 

( )

( )

x

f

x

f

−

=

−

 

olduğundan  funksiya  təkdir,  odur  ki,  qrafikin 

sol 

hissəsi  koordinat  başlanğıcına  nəzərən  sağ  hissəsilə  simmetrikdir. 

0

≥

x

 

olduqda funksiyanı  

(

)(

)

=

+

−

+

+

+

+

−

+

+

+

+

−

−

+

+

=

+

−

−

+

+

=

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

 

1

1

2

2

2

+

−

+

+

+

=

x

x

x

x

x

 

şəkildə  göstərmək  olar. 

0

≠

x

 

isə,  onda  

1

1

2

2

2

+

−

+

+

+

=

x

x

x

x

x

y

 

alırıq.  Aşkardır  ki, 

0

→

x

 

isə,  onda 

1

→

x

y

,  yəni 

x

y

=

 

düz  xətti  qrafikə 

( )

0

;

0

 

nöqtəsində  toxunandır. 

Sonra  

 

191 

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

2

1

1

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

+

−

+

+

+

=

+

−

+

+

+

=

. Buradan 

alınır ki, 

+∞

→

x

 

isə, onda 

1

→

y

, odur ki, 

1

=

y

 

düz xətti qrafikin 

üfiqi  asimptotudur.  Qrafikin  koordinat  başlanğıcına  görə  simmet-

rikliyinə görə 

1

−

=

y

 

düz xəttidə onun asimptotudur. (Şəkil 46) 

11. Funksiya arqumen-

tinin ixtiyari qiy

mətində təyin 

olun

muşdur. 

y

x

x

x

x

=

+













=













+

−

−

2

2

1

2

1

2

 

olduğundan  funksiya  cütdür. 

Odur ki, qrafik ordinat oxuna 

nəzərən simmetrikdir. Məlum-

dur ki, 

0

>

a

 

isə 

2

1 ≥

+

a

a

. 

x

-

in ixtiyari qiymətində 

0

2

>

x

 

və 

0

2

1

>













x

 

olduğundan 

2

2

1

2

≥













+

x

x

. 

Beləliklə, funksiyanın 2-yə bərabər minumumu vardır. 

x

-in 

∞

−

-

dan 0-

a qədər dəyişməsilə funksiya 

∞

+

-dan 2-

yə qədər azalır, 

x

-in 0-

dan 

∞

+

-

a  qədər  dəyişməsilə 

isə funksiya 2-dən 

∞

+

-

a qədər 

artır.  Qurmanı  belə  aparmaq 

olar: 

x

2  

və 

x













2

1

  funksiya-

larının  qrafiklərini  qururuq, 

sonra arqumentin eyni qiy-

mətlərində  bu  qrafi-kin nöqtə-

lərinin  ordinatlarını  toplayırıq. 

47-

ci  şəkildə 

x

2  

və 

x













2

1

 

funksiya

larının  qrafikləri  qırıq 

xətlərlə, verilmiş funksiyanınkı isə səlis xətlə göstərilmişdir. 

 

192 

12) 

2

3

2

1

+

−

=

x

x

y

 

funksiyasına  baxaq. 

2

3

=

x

  olduqda bu 

funksiyanın 

4

1

−

-

ə bərabər minumumu vardır; beləliklə 

1

y

 

funksiyası 

x

 

arqumenti 

∞

−

-dan 

2

3

-

ə  qədər  dəyişdikdə  azalır  və  arqument 

2

3

-

dən 

∞

+

dəyişdikdə  artır.   

α

-

ın  artması  ilə 

α

2  

artdığından  verilmiş  y 

funksiyası 











 ∞

−

2

3

,

intervalında azalır və 













∞

+

,

2

3

 

intervalında artır. 

1

y

  funksi

yasının  minumumu 

4

1

−

-

ə 

bərabər 

olduğundan, 

verilmiş 

funksiyanın 

4

2

1

-

yə  bərabər  olan 

minimumu  vardır. 

0

=

x

 

və  ya 

3

=

x

 olarsa, onda 

4

=

y

. 

Beləliklə,  funksiyanın  qrafiki 

48-

ci şəkildə göstərilir.  

13)  Funksiya  bütün  ədəd 

oxundan  təyin  olunmuşdur.  arctgx 

funksiyası artan olduğundan və əsası birdən böyük olan üstlü funksiya 

da  artan  olduğu  üçün  araşdırılan  funksiya  artandır. 

2

2

π

π

<

<

−

arctgx

 

oldu

ğundan 

2

2

2

2

π

π

<

<

−

y

. 

Beləliklə,  verilmiş  funksiyanın 

qrafiki 

2

2

π

−

=

y

 

və 

2

2

π

=

y

  düz 

xətləri  arasındakı  zolaqda  yerləşir. 

Bu  düz  xətlərin  özləri  qrafikin 

asimptotla

rıdır.  Qrafiki  dəqiqləşdir-

mək məqsədilə qeyd edək ki, 

0

=

x

 

olduqda 

1

=

y

. Qrafik 49-

cu şəkildə 

göstərilir. 

 

193 

14) Funk

siyanın  təyin  oblastı 













≥

−

+

≥

+

+

0

1

2

1

0

1

2

1

2

2

x

x

x

x

 

və  ya 

(

)

(

)













≥

−

≥

+

0

2

1

0

2

1

2

2

x

x

x

x

 

bərabərsizliklər  sistemindən  tapılır.  Buradan  görünür  ki, 

0

>

x

. 

Verilmiş funksiyanı 

(

)

(

)

(

)

(

)

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

−

+

+

−

−

+

=

−

+

+

−

−

+

=

x

x

x

x

x

x

x

x

y

 

şəklində 

yazaq. 

1

0

<

< x

 

isə,  onda 

x

y

=

, 

1

≥

x

 

olduqda isə 

x

y

1

=

. Beləliklə, 









≥

<

<

=

1

,

1

1

0

,

x

x

x

x

y

 

funksiyasının qrafiki-

ni qur

malıyıq  

(Şəkil  50).  Bu  şəkildə  qrafik 

səlis xətlə göstərilmişdir.  

15)  Funksiyanın  təyin  oblastı 

( )

∞

;

0

- 

intervalıdır.  Loqarifmanın 

tərifinə görə 

x

a

x

a

=

log

 

olduğundan, 

x

y

=

, burada 

0

>

x

. Qrafik 51-

ci şəkildə göstərilir. 

16)  Funksiyanın  təyin  oblastını 

0

1

>

+

x

 

şərtindən  tapırıq. 

Buradan 

1

−

>

x

. 

1

−

→

x

-da 

+∞

→

y

.  Buradan  alınır  ki,  x=-1  düz 

xətti  şaquli asimptotdur. x=0  olduqda  y=0. deməli  qrafik  koordinat 

başlanğı-cından keçir (Şəkil 52). 

 

194 

17) 

x

2

log

-

in varlığı üçün 

0

>

x

, 

x

2

2

log

log

-

in varlığı üçün isə 

0

log

2

>

x

 

olmalıdır,  yəni 

1

>

x

 

və 

1

=

x

  qrafikin asimptotudur. 

1

log

2

=

x

 

yəni 

2

=

x

 

isə,  onda 

0

=

y

.  Beləliklə  qrafik  absis  oxunu 

( )

0

;

2

  nö

qtəsində  kəsir. 

1

→

x

 

isə 

onda 

−∞

→

y

, 

∞

→

x

 

isə,  onda 

∞

→

y

,  həm  də  x  arqumenti  y-ə 

nisbətən  “surətlə”  artır.  x=4  olduqda 

y=

1. Deyilənlərə əsasən qrafik qurulur 

(Şəkil53). 

18) Təyin oblastını 

(

)( )

0

1

1

<

−

+ x

x

 

bərabərsizliyilə 

eynigüclü olan 

0

1

1

>

−

+

x

x

 

bərabərsizliyindən  tapırıq, 

buradan 

1

1

<

<

−

x

.  Beləliklə  qrafik 

x=

1  və  x=-1  düz  xətləri  arasındakı 

zolaqda  yerləşir.  Sağdan 

1

−

→

x

  da 

−∞

→

y

, soldan 

1

→

x

 

da  isə 

∞

→

y

 

olduğundan 

1

=

x

 

və 

1

−

=

x

 

düz  xətləri  qrafikin  asimptotlarıdır. 

x

x

x

x

x

x

−

+













−

+

+

−

−

=

=

−

1

1

2

1

1

2

1

1

2

log

2

1

log

2

1

log

2

1

1

 

olduğundan  funksiya  təkdir.  Odur  ki, 

qrafik  koordinat  başlanğıcına  nəzərən 

simmetrikdir. 

x=0 

olduqda 

y=0  

olduğundan qrafik koordinat başlanğıcından keçir (Şəkil 54). 

19) Funksiya bütün ədəd oxunda təyin olunmuşdur.  

 

=













−

+

+

=

2

cos

2

sin

2

2

sin

2

cos

2

sin

2

2

cos

4

2

2

4

2

2

4

x

x

x

x

x

x

y

 

(

)

=

−

−

=

−

=











 −

=

















⋅

⋅

−













+

=

x

x

x

x

x

x

x

2

cos

1

4

sin

2

4

sin

2

1

1

4

2

cos