Ə. A. Quliyev
Download 10.77 Mb. Pdf ko'rish
|
|
< + x
və 0 1 2 cos 2 sin 2 1 2 1 > − − +
x x x , yəni baxılan fərq müsbətdir. Yəni ( ) π π 2 ,
intervalında funksiyanın qrafiki qabarıq- dır. (Şəkil 31)
7. 1) ( ) ( ) [ ] 1 2 sin 2 2 sin 2 sin
+ = + = x x x π π π π
olduğundan funksiyanın dövrü 1-ə bərabərdir. 2) Funksiyanın dövrünü T ilə işarə edək, onda ( ) ( )
B x A T x B T x A λ λ λ λ sin cos sin
cos + = + + + , ( ) [ ] ( ) [ ] 0 sin
sin cos
cos = − + + − + x T x B x T x A λ λ λ λ , 0 2 sin 2 cos
2 2 sin 2 sin
2 = + + + − T T x B T T x A λ λ λ λ λ λ , 0 2 sin
2 cos
2 sin
= + − + T x A T x B T λ λ λ λ λ . Kvadrat mötərizədəki ifadə x-in bütün qiymətlərində sıfıra bərabər olmadığından x-in ixtiyari qiy
mətlərində 0 2 sin =
λ .
ləliklə, λ π π λ 2 , 2 = = T T
3) Funksiyanın dövrü p olarsa, onda ( ) ( ) [ ] b p x a b ax + + = + sin sin
bərabərliyi doğrudur. İki
sinusun bərabər olması şərtinə əsasən a) ( )
2 + = + + + + k b ax b ap ax π , b) k b ax b ap ax π 2 = − − + +
179
alınır. a) şərtindən ( ) a b ax k p 2 2 1 2 − − + = π
tapırıq. Göründüyü kimi bu halda p ədədi x dəyişənindən asılıdır, odur ki, dövr ola bilməz. b) şərtindən a b p π 2 =
alırıq. k=1 olduqda p-in ən kiçik müsbət qiyməti a π 2 - ya bərabərdir. Göründüyü kimi b ədədi dövrün qiymətinə təsir etmir. Deməli dövr
π 2 - dır.
4) x x x x x x ctgx tgx 2 sin 2 cos
sin 1 sin cos cos
sin = = + = + . x 2 sin funksiyasının dövrü π
da dövrü π -dir. 5) ( ) ( ) 2 2 cos
1 2 2 2 cos
1 2 2 cos 1
x x y + + = + + = + = π π
Deməli, verilmiş funksiyanın dövrü π -dir. 6) Araşdırılan funksiyanın dövrü
T olsun.
Onda ( ) x T x 4 4 sin sin
= +
və ya ( ) 0 sin
sin 4 4 = − + x T x
və ya ( ) [ ] ( ) [ ] 0 sin sin
sin sin
2 2 2 2 = − + + + x T x x T x
eyniliyi ödənilməlidir. ( ) 0 sin
sin 2 2 ≥ + + x T x , yəni
( )
T x 2 2 sin sin
+ +
eyniliklə sıfra bərabər olmadığından ( ) 0 sin
sin 2 2 = − + x T x
və ya ( ) 0 2 2 cos 1 2 2 2 cos
1 = − − + − x T x
və ya ( ) 0 2 2 cos 2 cos
= + − T x x , ( ) 0 sin 2 sin
2 = + T T x
eyniliyi ödənilməlidir. ( )
x + 2 sin
eyniliklə sıfıra bərabər olmadığından 0 sin = T . Sonuncu bərabərliyi ödəyən ən kiçik müsbət ədəd π
olduğundan araşdırılan funksiyanın dövrü də π - dir. 7) ( ) ( ) = − − = − = − + = + =
x x x x x x x y 4 cos 1 4 1 1 2 sin 2 1 1 cos sin
2 cos
sin cos
sin 2 2 2 2 2 2 4 4 + + = 2 4 cos 4 1 4 3 π
.
180
Araşdırılan funksiyanın dövrü 2 π - yə bərabərdir. 8) 2
cos 1 cos cos 2
x x y + = = = . x 2 cos funksiyasının ən kiçik müsbət dövrü π
olduğundan y funksiyasının da dövrü π -dir. 9) Araşdırılan funksiyanın dövrü
T olsun. Onda ( )
T x 3 3 sin sin
= +
və ya ( ) x T x 3 3 sin sin
= +
və ya ( ) 0 sin
sin 3 3 = − + x T x
və ya ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] 0 sin sin
sin sin
sin sin
2 2 = + + + + − + x x T x T x x T x
eyniliyi ödənilməlidir. ( ) ( ) ( ) 0 sin
4 3 2 sin sin
sin sin
sin sin
2 2 2 2 ≥ + + + = + + + +
nx T x x x T x T x
olduğundan başqa sözlə hasildəki ikinci vuruq eyniliklə sıfıra bərabər olmadığından ( ) 0 sin
sin = − + x T x
və ya 0 2 sin 2 cos
2 = +
T T x
eyniliyi ödənilməlidir. + 2 cos
T x
eyniliklə sıfıra bərabər olmadığın- dan 0 2 sin =
. Sonuncu bərabərliyi ödəyən ən kiçik müsbət ədəd π 2 - dir. Deməli araşdırılan funksiyanın dövrü π 2 - yə bərabərdir. 10) İxtiyari x ədədinə tam ədə əlavə olunarsa, onda onun yalnız tam hissəsi dəyişər, kəsir hissəsi isə əvvəlki kimi qalar. Ən kiçik müs- bət tam ədəd 1 olduğundan, araşdırılan funksiyanın dövrü 1-ə bə- rabərdir. 8. 1) Fərz edək ki, 2 cos x y =
funksiyasının p dövrü vardır, onda x dəyişəninin ixtiyari qiymətində ( )
2 cos
cos x p x = + . İki
konusun bərabərliyi şərtinə əsasən
alırıq: 1)
k x p px x π 2 2 2 2 2 = + + +
və ya 2) k x p px x π 2 2 2 2 2 = − + + . 1) şərtindən k x x p π 2 2 + − ± − = , 2) şərtindən isə k x x p π 2 2 + ± − = . Deməli hər iki halda p ədədi x dəyişənindən asılıdır, odur ki, p verilmiş funksiyanın dövrü ola bilməz. 2 cos x dövrü funksiya deyil. 181
2) Fərz edək ki, y dövrü T olan funksiyadır, onda ( ) x x T x T x sin
sin + = + + + və ya
( )
x T x − = − + sin sin
və ya T T x T − = + 2 cos
2 sin
2 . Buradan 2 sin
2 2 cos T T T x ′ − = + sonuncu bərabərliyin sağ tərəfi sabit kəmiyyətdir, sol tərəfi isə x-in funksiyasıdır. Odur ki, sonuncu bərabərliyin x-in ixtiyari qiymətində ödənildiyi T ədədi yoxdur. Deməli verilmiş funksiyanın dövrü yoxdur. 3)
( ) π 2 2 sin 2 sin
+ =
x , ( ) π 2 5 cos
5 cos
+ =
x
olduğundan x 2 sin funksiyasının dövrü 2 2
, x 5 cos funksiyasının dövrü isə 5 2 π -dir.
x x y 5 cos 2 sin
+ =
funksiyasının dövrü T olarsa, onda k T = 2 2 π
və l T = 5 2 π , burada k və l tam ədədlərdir. Son iki bərabərlikdən 5 2
2 π π l k =
və ya k l = 2 5
alınır ki, bu da mümkün deyil. Çünki, 2 5 irrasional, k l
isə rasioanl ədəddir. Deməli, verilmiş y funksiyasının T dövrü olmasını fərz etməklə ziddiyyət alındı. Həmin funksiyanın dövrü yoxdur. 9. (
( ) ( )
x f x f C x f + − = + 1 1
bərabərliyi x-in ixtiyari qiymətində ödənildiyindən, onda
x yerində
x+C yazdıqda ( )
) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) x f x f x f x f x f C x f C x f C x f = + − + + − − = + + + − = + 1 1 1 1 1 1 1 1 2 alınır. Buradan isə alınır ki, baxılan funksiya dövrü funksiyadır və bu dövrlərdən biri 2c-yə bərabərdir. 182
10. Fərz edək ki, araşdırılan funksiyanın dövrü T-yə bərabərdir, yəni x-in ixtiyari qiymətində ( ) ( )
x f T x f = + bərabərliyi ödənilir. Bu bərabərlikdən alınır ki, ( ) ( ) 0 = − + x f T x f
və ya ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] 0 cos
cos ...
cos cos
cos cos
1 1 = − + + + − + + − + x T x T T x x T x n n α α α α
Sonuncu bərabərlik eyniliklə ödənildiyindən o, x-in ixtiyari qiymətində doğrudur. Fərz edək ki, x=0, onda ( ) (
) ( ) ( ) 0 cos 1 ...
cos 1 cos 1 cos
1 2 1 = − − − − − − − − − T T T T n α α α
və ya 0 2 sin 2 ...
2 sin
2 2 sin 2 2 sin 2 2 2 2 1 2 2 = + + + + T T T T n α α α
Bu bərabərliyin sol tərəfi mənfi olmayan kəmiyyətlərin cəmi olduğundan onun ödənilməsi üçün hər bir toplananın sıfıra bərabər olması zəruri və kafidir, yəni 0 2
... 2 sin 2 sin
2 sin
2 1 = = = = = T T T T n α α α . Bu bərabərliklərdən π m T 2 = , π α 1 1 2k T = , π α 2 2 2k T = , ..., π α
n k T 2 = alınır, burada
və i k -
tam ədədlərdir. Sonuncu sistemi həll edib m k i = 1 α ,
k 2 2 = α , ..., m k n n = α Download 10.77 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|