Ə. A. Quliyev

 

alırıq,  deməli 

n

α

α

α

,...,

,

2

1

 

r

asional ədədlərdir.  

11.  Fərz  edək  ki, 

1

l

  düz 

xətti  absis  oxunun  müsbət 

istiqamətilə 

1

ϕ

 

bucağını, 

2

l

 

düz  xətti  isə 

2

ϕ

 

bucağını 

əmələ gətirir (Şəkil 32). Şəkil-

dən  görünür  ki, 

1

2

ϕ

θ

ϕ

+

=

, 

buradan 

1

2

ϕ

ϕ

θ

−

=

, odur ki, 

(

)

2

1

1

2

2

1

1

2

1

2

1

1

k

k

k

k

tg

tg

tg

tg

tg

tg

+

−

=

+

−

=

−

=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

θ

. 

12. Axtarılan düz xəttin ümumi tənliyi 

b

kx

y

+

=

 

(1) şəkildədir. 

Bu düz xətt 

(

) (

)

2

2

1

1

,

,

,

y

x

y

x

 

nöqtələrindən keçir. Odur ki, 

b

kx

y

+

=

1

1

, 

b

kx

y

+

=

2

2

.  Buradan  ardıcıl  olaraq 

(

)

1

2

1

2

x

x

k

y

y

−

=

−

, 

 

183 

1

2

1

2

x

x

y

y

k

−

−

=

, 

1

1

kx

y

b

−

=

 

tapılır. k və b –in qiymətlərini (1)-də  yerinə 

yazıb 

(

)

1

1

2

1

2

1

x

x

x

x

y

y

y

y

−

−

−

=

−

 

və  ya 

1

2

1

1

2

1

x

x

x

x

y

y

y

y

−

−

=

−

−

 

alırıq. 

Aşkardır  ki,  deyilənlər  yalnız 

2

1

x

x

≠

 

olduqda  doğrudur. 

2

1

x

x

=

 

olduqda  isə  bu  nöqtələrdən  keçən  düz  xətt  absis  oxuna perpen-

dikulyardır və onun tənliyi 

a

x

=

 

şəkildədir (burada 

2

1

x

x

a

=

=

).  

13. 1) 

0

≥

x

  olduqda 

x

y

=

 

funksiyasının  qrafiki 

birinci koordinat bucağının, 

koordinat  başlanğıcı  daxil 

olmaqla,  tənbölənidir, 

0

<

x

 

olduqda 

1

+

−

= x

y

 funksi-

yasının  qrafiki  isə,  ordinat 

oxunun  nöqtələri  müstəsna 

olmaqla 

1

+

−

= x

y

  düz 

xəttinin  ikinci  kvadratına 

yer

ləşən  hissəsidir  (Şəkil 

33).  

2) 

( )

( )

( )

3

1

2

3

1

2

2

2

2

−

+

−

+

+

=

−

+

−

+

+

=

x

x

x

x

x

x

y

  yazmaq 

olar.  

a) 

2

−

≤

x

  olarsa, onda 

0

3

,

0

1

,

0

2

<

−

<

−

≤

+

x

x

x

.  Beləliklə, 

( )

2

2

2

−

−

=

+

−

=

+

x

x

x

, 

( )

1

1

1

+

−

=

−

−

=

−

x

x

x

, 

( )

3

3

3

+

−

=

−

−

=

−

x

x

x

, 

odur ki, 

2

3

3

1

2

+

−

=

+

−

+

−

−

−

=

x

x

x

x

y

. 

b) 

1

2

≤

≤

−

x

 

isə,  onda 

0

2

≥

+

x

, 

0

1

≤

−

x

, 

0

3

<

−

x

. 

Beləliklə, 

6

3

1

2

+

−

=

+

−

+

−

+

=

x

x

x

x

y

 

c) 

3

1

≤

≤ x

 

isə, onda 

0

2

>

+

x

, 

0

1

≥

−

x

, 

0

3

≤

−

x

. Beləliklə, 

4

3

1

2

+

=

+

−

−

+

+

=

x

x

x

x

y

 

ç) 

3

≥

x

 

isə,  onda 

0

2

>

+

x

, 

0

1

>

−

x

, 

0

3

≥

−

x

. 

Beləliklə, 

2

3

3

1

2

−

=

−

+

−

+

+

=

x

x

x

x

y

 

 

184 

Deməli, 













≤

−

≤

≤

+

≤

≤

−

+

−

−

≤

+

−

=

x

x

x

x

x

x

x

x

y

3

,

2

3

3

1

,

4

1

2

,

6

2

,

2

3

 

Bundan sonra verilmiş funksiyanın qrafikini asanlıqla qurmaq olar. 

Bu  qrafik  göstərilən  şərt-

lərlə  dörd  düz  xəttin  hissə-

lərindən ibarət olar. 

14.  1)  Bütün  nöqtələr 

0

1

,

0

1

,

0

1

,

0

1

=

−

−

=

+

−

=

−

+

=

+

+

y

x

y

x

x

y

y

x

 

düz  xətlərinin  əmələ  gətir-

diyi  kvadratın  daxilində 

yerləşir (Şəkil 34).  

2) 

Axtarılan  nöqtələr 

birinci kvadrantda 

1

=

+ x

y

 

düz  xəttindən  aşağıda  başqa 

söz

lə düz bucaq təpəsi koor-

dinat başlanğıcında olan, katetləri isə koordinat oxları üzərində yerləşən və 

vahidə  bərabər  olan  bərabəryanlı  düzbucaqlı  üçbucağın  daxili  oblastında 

yerləşir (Şəkil 35). 

3)  Əvvəlcə  qeyd  edək  ki,  koordinat  oxları  üzərində  koordinatları 

verilən tənliyi ödəyən nöqtə yoxdur. 

Doğrudan  da  ordinat 

oxunun  ixtiyari  nöqtəsinin 

absisi  x=0  dır,  x=0  olduqda 

isə 

x

x

-

in  mənası  yoxdur;  ab-

sis oxunun ixtiy

ari  nöqtəsinin 

ordinatı y=0 dır, y=0 olduqda 

isə 

y

y

-

in  mənası  yoxdur. 

Dörd kvad

ratın  hər  birində 

yerləşən  nöqtələrə  baxaq.  Fərz  edək  ki,  P  birinci  kvadrantın  ixtiyari 

nöqtəsidir, yəni 

0

,

0

>

>

y

x

. Onda 

2

=

+

y

y

x

x

 

və ya 2=2  

 

185 

Deməli,  birinci  kvadrantın 

ixtiyari  nöqtəsinin  koordinatları 

(oxlar 

üzərindəki 

nöqtələr 

müstəsna  olmaqla)  verilmiş 

tənliyi ödəyir. 

P  ikinci  kvadrantdadırsa, 

yəni 

0

,

0

>

< y

x

, onda 

2

0

1

1

≠

=

+

−

=

+

−

y

y

x

x

 

Deməli,  ikinci  kvadrantda 

axtarılan nöqtə yoxdur.  

P üçüncü kvadrantda

dırsa, 

yəni 

0

<

x

, 

0

<

y

 

isə  onda 

2

2

≠

−

=

−

−

y

y

x

x

. 

Deməli,  axtarılan  nöqtə 

üçüncü kvadrantda da yoxdur.  

Nəhayət  P  nöqtəsi  dör-

düncü  kvadrantdadırsa,  yəni 

0

>

x

, 

0

<

y

 

isə, 

onda 

2

0

1

1

≠

=

−

=

−

y

y

x

x

. Be

ləliklə,  dör-

düncü kvadrantda da koordi

natları verilmiş tənliyi ödəyən nöqtə yoxdur.  

Deməli, axtarılan nöqtələr yalnız birinci kvadrantda yerləşir (Şəkil 36). 

15.  1)  Funksiya  bütün  ədəd  oxunda  təyin  olunmuşdur. 

0

≥

x

 

olarsa, onda ve

rilmiş  funksiyanı 

2

x

y

=

 

şəklində  yazmaq  olar.  Belə-

liklə, 

0

≥

x

 

olduqda baxılan funksiyanın qrafikinin bir hissəsi 

2

x

y

=

 

parabola

sının birinci kvadranta yerləşən hissəsidir, koordinat başlanğıcı 

da parabolanın bu hissəsinə daxildir. 

0

<

x

 

olduqda isə, onda funksiya 

2

x

y

−

=

 

şəklinə düşür. Odur ki, 

2

x

y

−

=

 

parabolasının üçüncü kvadranta 

yerləşən,  koordinat  başlanğıcı  müstəsna  olmaqla,  hissəsi  verilmiş 

funksiyanın  qrafikinə  aiddir.  Beləliklə,  verilmiş  funksiyanın  qrafiki 

koordinat  başlanğıcına  nəzərən  simmetrik  olan 

2

x

y

=

 

və 

2

x

y

−

=

 

parabolalarının  hissələrindən  ibarətdir  (Şəkil  37).  Şəkildə  bu  qrafik 

bütöv xətlə göstərilir.  

 

186 

2) Funksiya bütün ədəd oxu-

nda təyin olmuşdur. 

1

−

<

x

 

və ya 

1

>

x

  olduqda 

2

x

y

=

  oldu

ğun-

dan bu paroba

lanın 

1

=

y

 

düz xət-

tindən  yuxarıda  yerləşən  hissəsi 

verilmiş funksiyanın qrafikinə da-

xildir. 

1

1

≤

≤

−

x

 olduqda 

1

=

y

 

ol

duğundan  uc  nöqtələrinin  koor-

dinat

ları 

(

)

1

;

1

−

 

və 

( )

1

;

1

  olan 

1

=

y

 

düz xətti parçası da verilmiş 

funk

siyanın  qrafikinə  aiddir.  Araşdırılan  funksiyanın  qrafiki  38-ci  şəkildə 

səlis xətlə göstərilmişdir.  

3) 

( )

y

x

x

x

x

=

+

−

=

+

−

−

−

1

2

1

2

2

2

 

olduğundan funksiyya cütdür və 

onun qrafiki ordinat oxuna nəzərən simmetrikdir. Funksiyanın kökləri -

1  və  1  ədədləridir,  yəni  absis oxunun -1  və  1  nöqtələri  qrafikin 

üzərindədir. 

0

=

x

 olduqda  

1

=

y

  odur ki, qrafik or-

dinat oxunu 

( )

1

;

0

  nöq

təsində 

kəsir.   

1

2

2 =

−

−

=

x

  olduqda 

funk

siyanın minimumu vardır. 

Funksiya cüt oldu

ğundan 

1

−

=

x

 

olanda da funksiyanın 

minimumu  vardır. 

(

)

2

1

−

= x

y

 

olduğundan 

x

-in ixtiyari 

qiymətində funksiya mənfi deyildir. Qrafik 39-cu şəkildə göstərilir. 

4) 

Funksiya,  sıfırdan  fərqli  bütün  ədəd  oxunda  təyin  olunmuşdur. 

( ) ( )

y

x

x

x

x

x

x

−

=

+

−

=

−

−

+

−

3

3

 

olduğundan  funksiya  təkdir  və  onun  qrafiki 

koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir. 

0

>

x

 

isə, onda 

x

x

=

 

və 

1

2

+

= x

y

, 

0

<

x

 

isə, onda 

x

x

−

=

 

və 

(

)

1

2

+

−

= x

y

. 

Beləliklə, 

0

>

x

 olduqda qrafik 

1

2

+

= x

y

 

parabolasının sağı, 

0

<

x

 

olduqda isə 

(

)

1

2

+

−

= x

y

 parabo

lasının soludur. Qrafik 40-cı şəkildə səlis 

xətlə göstərilir. 

 

187 

5)  Funksiyanın  təyin  oblastı 

bü

tün ədəd oxudur. 

1

−

=

x

 olduqda 

funksiya 

0

=

y

  oldu

ğundan qrafik 

absis oxunu 

(

)

0

;

1

−

  nöq

təsində 

kəsir. 

0

=

x

 

isə  onda 

1

=

y

, odur 

ki, qrafik ordinat oxunu 

( )

1

;

0

 nöq-

təsində  kəsir. 

3

x

y

=

 

tək  funksiya 

oldu-

ğundan, onun qrafiki koor-

dinat başlanğıcına nəzərən simmet-

rikdir. Odur ki, 

(

)

3

1

+

= x

y

  funk-

siya

sının  qrafiki 

(

)

0

;

1

−

 

nöqtəsinə 

nəzərən  simmetrikdir  (Şəkil  41). 

Ümu

miyyətlə  verilmiş  funksiyanın 

qrafikini  belə  qirmaq  olar:  əvvəl 

3

x

y

=

  kub parabo

lasını  qurub, 

sonra  onu  absis  oxu  üzrə  -1  qədər 

köçürməli. 

6)  Funksiya  bütün  ədəd  oxu 

üzərində  təyin  olmuşdur.  Verilmiş 

funksiyanı 

(

)

1

2

2

+

−

=

x

x

x

y

 

şəkildə 

yazaq. 

1

2

+

− x

x

  kvadrat üç

hədli-

sinin  kökləri  xəyali  olduğundan 

x

-

in  ixtiyari  həqiqi  qiymətində 

0

1

2

>

+

− x

x

.  Beləliklə,  araşdırılan 

funksiyanın  yalnız  bir  (ikiqat)  sıfır 

kökü 

vardır. 

(

)

0

1

2

2

≥

+

− x

x

x

 

olduğundan  funksiyanın  qrafiki 

absis  oxundan  aşağıda  yerləşmir, 

yalnız  koordinat  başlanğıcı  qrafikin 

üzərindədir,  qrafik  nöqtələrə  görə 

qurulur (Şəkil 42).  

7)  Sürət  və  məxrəcin  kökləri  xəyali  olduğundan  kəsr  müsbətdir, 

deməli 

x

-

in  ixtiyari  qiymətində  funksiya  müsbətdir  və  onun  qrafiki 

 

188 

absis  oxundan  yuxarıda  yerləşir. 

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

x

x

x

x

x

x

x

x

y

+

−

+

+

=

+

−

+

+

=

  yazmaq 

olar. Buradan görünür ki, 

±∞

→

x

  olduqda 

1

→

y

. Odur ki, 

1

=

y

 

qrafikin  asimptotudur. 

0

=

x

 

isə,  onda 

1

=

y

,  yəni 

( )

1

;

0

 

nöqtəsi 

qrafikin 

üzərindədir. Verilmiş funksiyanı 











 +

+

−

+

=

+

−

+

=

+

−

+

+

−

=

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1

2

2

2

  

şəklində göstərmək olar. 

0

>

x

 

isə,  məlum  olduğu  kimi 

2

1 ≥

+

x

x

,  yəni 

1

=

x

  olduqda 

x

x

1

+

 

ifadəsi 2-yə bərabər minumum qiymətini alır. 

0

<

x

 

olduqda isə, 

2

1

−

≤

+

x

x

,  yəni 

1

−

=

x