Ə. A. Quliyev

 

 

III 

FƏSİL.  

 

II fəsilə aid həllər, şərhlər və cavablar 

 

1. 

(

)

n

n 1

...

3

2

1

−

⋅

⋅

⋅

⋅

 

ədədinin 

100

7

-

ə bölünməsi üçün onun sadə 

vuruqlarına  ayrılışında  7  ədədinin  100  dəfə  olması  ayrılışında  7  ədə-

dinin 100 dəfə olması kifayətdir. 

n

,...,

3

,

2

,

1

 

ədədlərini hər birində 49 

ədəd olmaqla qruplara bölək:  

1) 

49

,

48

...,

,

3

,

2

,

1

; 2) 

1

;...

98

,

97

...,

,

51

,

50

+

k

; 

3)  

;...

49

49

,...,

2

49

,

1

49

+

+

+

k

k

k

 

Asanlıqla müəyyən etmək olar ki, bu qrupların hər birində 6 dənə 7 

vuruğu  və  k+1  ədədi  7-yə  bölünmürsə  iki  49ku9  şəkildə  7  vuruğu 

vardır.  7-lərin  sayının  100  olması  üçün  97  dənə  7  daxil  olan  12  tam 

qrup (yeddinci qrupda 9 dənə 7, qalanların hər birində isə 8 dənə 7 var-

dır)  və  daha  üç  7  lazımdır.  On  ikinci  qrupun  sonuncu  ədədi 

588

12

49

=

⋅

  dir. Bunlara daha üç 588+7=595, 595+7=602, 

602+7=609 ədədi də əlavə etmək lazımdır. Beləliklə, 

(

)

n

n 1

...

3

2

1

−

⋅

⋅

⋅

⋅

 

hasilinin 7

100

-

ə bölünməsi üçün ən kiçik n ədədi 609-dur. 

2. 

×

−

⋅

+

−

+

⋅

+

+

⋅

−

⋅

+

=

+

2

cos

2

cos

4

2

cos

2

2

cos

2

cos

2

sin

4

y

x

y

x

y

x

z

y

x

y

x

y

x

bc

ad

 

0

2

sin

2

2

cos

=

+

⋅

+

+

×

y

x

z

y

x

. 

Deməli, 

0

=

+ bc

ad

 

3. 1) 

(

)

0

3

1

3

2

≥

+

+

−

tgx

x

tg

 

(1) olmalıdır. (1) bərabərsizliyi-

nin sol tərəfi  tgx -ə nəzərən kvadrat üçhədlidir, kökləri isə 

3

 

və 1 dir. 

Odur ki, 

3

≥

tgx

 

(2) və ya 

1

≤

tgx

 (3) olduqda 

(1) bərabərsizliyi ödə-

nilir. (2) bərabərsizliyindən 

k

x

k

π

π

π

π

+

<

≤

+

2

3

, (3) bərabərsizliyindən 

isə 

4

2

π

π

π

π

+

≤

<

−

k

x

k

.  

 

174 

Nəticədə 

(

)

(

)

1

2

2

1

3

3

+

<

≤

+

k

x

k

π

π

 

və ya 

(

)

(

)

1

4

4

1

2

2

+

≤

≤

−

k

x

k

π

π

, 

burada 

3

;

2

;

1

;

0

±

±

±

=

k

 

alırıq.  

2) 

1

1

2

≤

− x

 

olmalıdır.  Odur  ki, 

1

2

1 ≥

−

x

 

və  ya 

2

1

≥

−

x

, 

buradan: a) 

2

1

≥

−

x

, 

3

≥

x

; b) 

2

1

−

≤

−

x

, 

1

−

≤

x

. Deməli, 

3

≥

x

 

və 

ya 

1

−

≤

x

 

3) 

(

)

2

log

arcsin

0

2

π

≤

≤

x

 

olmalıdır, odur ki, 

1

log

0

2

≤

≤

x

, bu-

radan 

2

1

≤

≤ x

 

4) 

x

ctg

π

 

funksiyasının  varlığı  üçün 

k

x

π

π

≠

 

və  ya 

k

x

≠   ol-

malıdır,  burada 

Z

k

∈ . 

( )

x

2

arccos

 

funksiyasının  varlığı  üçün  isə 

1

2

1

≤

≤

−

x

 

olmalıdır. 

1

2

−

≥

x

 

bərabərsizliyi  x-in ixtiyari qiymətlə-

rində, 

1

2

≤

x

 

bərabərsizliyi  isə 

0

≤

x

 

olduqda  ödənilir.  Deməli 

bütün mənfi tam ədədlər baxılan funksiyanın təyin oblastıdır.  

5) 

1

1

0

2

≤

−

≤ x

 

və ya 

2

1

2

≤

≤ x

 

olmalıdır. Sol bərabərsizlikdən 

1

≥

x

 

və ya 

1

−

≤

x

 

sağ bərabərsizlikdən isə 

2

2

≤

≤

−

x

 

alınır. 

Beləliklə, iki bərabərsizliklər sistemi müəyyən olunur: 







≥

≤

≤

−

1

,

2

2

x

x

 

və 







−

≤

≤

≤

−

1

,

2

2

x

x

 

Birinci  sistemdən 

2

1

≤

≤ x

,  ikincidən  isə 

1

2

−

≤

≤

−

x

 

alırıq, nəticə isə 

[

]

1

,

2

−

−

, 

[ ]

2

,

1

 olur.  

6) 

1

≤

xy

 

olmalıdır,  buradan 

x

y

1

≤

.  Bu  bərabərsizlik  iki 

bərabərsizliyə ayrılır: a) 

0

>

x

 

isə, onda 

x

y

x

1

1

≤

≤

−

 

və b) 

0

<

x

 

isə, 

onda 

x

y

x

1

1

−

≤

≤

. 

 

175 

a) və b) – dən alınır ki, axtarılan oblast iki hiperbolanın qolları ilə 

əhatə  olunmuşdur,  başqa  sözlə  koordinat  müstəvisinin  26-cı  şəkildə 

göstərildiyi kimi xətlənmiş bütün nöqtələrindən ibarətdir.  

4. 1) Verilmiş funksional asılığı qeyri-müəyyən şəkildə göstərək:  

(

)

(

)

(

)

0

1

2

1

1

2

=

−

+

+

+

−

y

x

y

x

y

                                              (1) 

Buradan 

(

)

1

2

7

18

7

1

2

−

−

+

−

±

+

=

y

y

y

y

x

 

alırıq.  Aşkardır  ki, 

0

7

18

7

2

≤

+

− y

y

 

münasibəti  ödənilməlidir. 

Buradan 

7

2

4

9

7

2

4

2

+

≤

≤

−

y

. 

Bu  əməliyyat 

1

≠

y

  oldu-

ğunu  fərz  etməklə  aparıl-

mışdır.  (1)-də  y  yerində  1 

yazmaqla  müəyyən  edirik 

ki, 

0

=

x

.  Beləliklə, 

1

=

y

 

ola  bilər.  Deməli,  baxılan 

funksiyanın 

dəyişmə 

oblastı 













+

−

7

2

4

9

,

7

2

4

9

-

dir. 

2) Verilmiş funksional asılılığı  











 −

=













+

=









+

=

4

cos

2

4

sin

sin

4

cos

cos

2

sin

2

2

cos

2

2

2

π

π

π

x

x

x

x

x

y

 

şəkilində  göstərək. 

1

4

cos

1

≤











 −

≤

−

π

x

 

olduğundan 

2

2

≤

≤

−

y

 

olar. Deməli baxılan funksiyanın dəyişmə oblastı 

[

]

2

,

2

−

-dir.  

5. 1) 

(

)

(

)

( )

( )

y

x

x

x

x

=

+

+

−

=

−

−

+

+

−

3

2

3

2

3

2

3

2

1

1

1

1

 

olduğundan 

funksiya cütdür. 2) 

( )

y

a

a

a

a

x

x

x

x

=

+

=

+

−

−

−

−

2

2

 

olduğundan  funksiya 

cütdür. 3) 

( )

( )

y

x

x

x

x

±

≠

+

−

=

−

+

−

cos

sin

cos

sin

 

olduğundan 

 

176 

funksiya nə tək, nə cütdür. 4) 

y

x

x

x

x

x

x

−

=

−

+

−

=













−

+

=

+

−

−

1

1

lg

1

1

lg

1

1

lg

1

 oldu

ğundan funksiya təkdir. 

6.  Arqumentin  verilmiş 

aralıqdan  götürülmüş  ixtiyari 

iki  müxtəlif 

2

1

, x

x

  qiy

mət-

ləri üçün 

( ) ( )

2

2

2

1

2

1

x

f

x

f

x

x

f

+

>













+

 

bərabərsizliyini  ödəyən 

( )

x

f

y

=

 

funksiyasına  (əyrisinə)  qaba-

rıqdır deyilir.  

Arqumentin  verilmiş  ara-

lıqdan  götürülmüş  ixtiyari iki 

müx

təlif 

2

1

, x

x

 

qiymətləri 

üçün 

( ) ( )

2

2

2

1

2

1

x

f

x

f

x

x

f

+

<











 +

 

bərabərsizliyini ödəyən 

( )

x

f

y

=

 

funksiyasına  (əyrisinə)  çökük-

dür  deyilir.  Əyrinin çöküklü-

yün

ə  və  qabarıqlığına  verilən 

təriflərin həndəsi mənalarını da 

bil

mək lazımdır. Qabarıq funk-

siya

nın qrafikinin ixtiyari vətə-

rinin ortası qövsün uyğun nöq-

təsindən  aşağıda  yerləşir 

(Şəkil 27), çökük funksiyanın 

qrafikinin ix

tiyari  vətərinin 

o

rtası qövsün uyğun nöqtəsin-

dən  yuxarıda  yerləşir  (Şəkil 

28).  Aşkardır  ki,  eyni 

( )

x

f

y

=

 

əyrisi qabarıq və çökük hissələrdən ibarət ola bilər. Əyrinin 

qabarıq hissəsini çökük hissəsindən ayıran A nöqtəsinə dönmə nöqtəsi 

deyilir (Şəkil 29).  

 

177 

1) F

ərz  edək  ki, 

2

1

, x

x

  arqumentin ixtiyari qiy

mətləridir. Onda 

( )

2

1

1

1

x

x

f

y

=

=

; 

( )

2

2

2

2

x

x

f

y

=

=

, 

2

2

1

2

1

2

2











 +

=











 +

x

x

x

x

f

.  

2

x

y

=

 

funksiyasının  qabarıqlığını  və  çöküklüyünü  araşdırmaq 

üçün 

( ) ( )

=

−

−

−

+

=













+

−

+

=













+

−

+

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

2

2

1

2

2

2

1

2

1

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

x

f

x

f

 

0

2

4

2

2

1

2

2

2

1

2

1

>













=

+

−

=

x

x

x

x

x

x

 

fərqinə  baxırıq.  Baxılan  fərq 

müs

bət  olduğundan,  verilmiş 

funksiyanın  qrafiki  qabarıqdır 

(Şəkil 30).  

2) 

x

  arqumentinin ixtiyari 

iki qiy

məti 

2

1

, x

x

 ol

sun, həm də 

bu  qiymətlərin    hər  ikisi 

( )

π

,

0

 

və  ya 

(

)

π

π

2

,

aralıqlarınadaxil-

dir. 

( )

1

1

sin x

x

f

=

, 

( )

2

2

sin x

x

f

=

, 













+

=













+

2

sin

2

2

1

2

1

x

x

x

x

f

. 

 

 

( ) ( )

=

+

−

+

=













+

−

+

2

sin

2

sin

sin

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

x

x

x

x

x

x

f

x

f

x

f

 













−

−

+

=

+

−

−

+

=

1

2

cos

2

sin

2

sin

2

cos

2

sin

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

fərqinə baxaq. 

1

cos

≤

α

 

olduğundan 

1

2

cos

2

1

−

− x

x

 

ifadəsi mənfidir 

və  ya  sıfıra  bərabərdir. 

π

2

0

<

< x

 

olduğundan 

0

1

2

cos

2

1

<

−

− x

x

. 

π

<

<

1

0

x

 

isə, onda 

π

<

+

<

2

0

2

1

x

x

, beləliklə isə, 

0

2

sin

2

1

>

+ x

x

. 

Deməli, 

2

1

, x

x

 

arqumentləri 

( )

π

,

0

 

aralığına  daxildirsə,  onda 

 

178 

0

1

2

cos

2

sin

2

1

2

1

<













−

−

+

x

x

x

x

, yəni baxılan fərq mənfidir. Beləlik-

lə, 

( )

π

,

0

 

intervalında  funksiyanın  qrafiki  qabarıqdır. 

π

π

2

1

<

< x

, 

π

π

2

2

<

< x

 

isə,  onda 

π

π

2

2

2

1

<

+

<

x

x

,  beləliklə  isə,  

0

2

sin

2

1