Ə. A. Quliyev

q

p

<

<

0

 olduqda 

(

)

6

q

p

+

 v

ə ya 

(

)

6

6

32

q

p

+

 böyükdür? 

73. İxtiyari müsbət a, b, c  ədədləri üçün 

0

3

3

3

3

≥

−

+

+

ab

c

b

a

 

b

ərabərsizliyi doğrudurmu? 

74. Bütün h

əqiqi x ədədləri üçün 

(

)

16

1

1

5

5

≥

−

+

x

x

 b

ərabərsizliyinin 

doğru olduğunu yoxlayın. 

75. F

ərz edək ki, a, b, p, q  müsbət ədədlərdir. 

1

1

1

=

+

q

p

 

(1) is

ə 

q

p

b

q

a

p

ab

1

1

+

<

 

(2) b

ərabərsizliyinin 

doğruluğunu yoxlayın. 

76. B

ərabərsizliyi isbat edin: 

a

a

a

a

1

3

ln

2

ln

2

2

−

≤









+

, burada 

1

≥

a

. 

 

137 

77. Üç r

əfdə 44 kitab vardır. Üçüncü rəfdən ikinciyə 3 kitab qoy-

duqda, birinci v

ə  üçüncü rəfdəki  kitabların  sayı  bərabər, ikincidə  isə 

birincid

ən 2 dəfə çox kitab oldu. Hər rəfdə neçə kitab vardır? 

78. Tör

əmənin tətbiqilə eyniliyi isbat edin:  

2

2

1

arccos

9

1

3

arccos

3

x

x

x

x

x

arctg

arctgx

+

+

+

=

+

 

79. Funksiyanın dövrünü tapın: 

( )

cx

C

bx

B

ax

A

x

f

cos

sin

sin

+

+

=

, 

burada 

c

b

a

C

B

A

,

,

,

0

,

0

,

0

≠

≠

≠

 müxt

əlif müsbət ədədlərdir. 

80. Eyniliyi isbat edin (t

əyin oblastında):  

(

) (

) (

)

(

)

α

α

α

α

α

α

9

9

160

...

60

40

20

0

0

0

0

tg

tg

tg

tg

tg

tg

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

 

81. 

(

)

101

26

5

+

 

binomunun açılışında onluq yazılışda vergüldən 

sonra ilk 100 işarəni tapın. 

82. Hesablayın: 

∑

=

+

+

+

n

k

k

k

k

1

2

3

6

11

6

1

 

83. 

Funksiyanın yazılışını sadələşdirin: 

( )

x

x

x

x

x

F

3

3

sin

3

cos

cos

3

sin

+

=

. 

84. C

əmi hesablayın: 

( )

1

1

...

4

3

2

1

3

2

1

0

+

−

+

+

−

+

−

=

n

C

C

C

C

C

n

n

n

n

n

n

n

σ

. 

Burada 

k

n

C

-binomial 

əmsallardır, 

(

) (

)

1

;

2

1

1

...

1

0

=

⋅⋅

⋅

⋅

+

−

−

=

n

k

n

C

k

k

n

n

n

C

. 

85. Çoxh

ədlinin yazılışını sadələşdirin:  

( ) (

) (

) (

) (

)

3

3

3

3

b

a

x

b

a

x

b

a

x

b

a

x

x

F

+

+

−

−

+

−

−

−

+

−

+

+

=

 

86. Eyniliyi isbat edin: 

x

ctg

ctgx

x

tg

x

tg

x

tg

tgx

16

16

8

8

4

4

2

2

−

=

+

+

+

 

87. Fun

ksiyanın yazılışını sadələşdirin: 

( )











 +

+











 −

+

=

3

3

π

π

ϕ

x

tg

x

tg

tgx

x

. 

88. Nyuton binomu düsturunu isbat edin:  

(

)

n

n

n

p

p

n

p

p

n

n

n

n

n

x

C

x

C

x

C

x

C

x

C

C

x

+

+

+

+

+

+

+

=

+

−

−

...

...

1

1

1

2

2

1

0

. 

İnteqralın tətbiqilə bərabərsizlikləri isbat etmək olar. 

Mü

əyyən  inteqralın  bərabərsizliyin  doğruluğunun  yoxlanılmasına 

bir sıra tətbiqləri aşağıdakı teoremə əsaslanır. 

Teorem 1. F

ərz edək ki, f və g funksiyaları hər-hansı 

[

)

b

a ,

 

yarım 

intervalında  kəsilməzdir və  bu  intervalın  hər yerində 

( ) ( )

x

g

x

f

≤

 

 

138 

b

ərabərsizliyi ödənilir. Onda 

[

)

b

a

x

;

∈

  olduqda 

( )

( )

∫

∫

≤

x

a

x

a

dt

t

g

dt

t

f

. 

Əlavə olaraq hər hansı 

[

)

b

a

x

,

0

∈

 üçün 

( ) ( )

x

g

x

f

<

0

 ciddi b

ərabər-

sizliyi öd

ənilərsə, onda 

0

x

x

>

  olduqda 

( )

( )

∫

∫

<

x

a

x

a

dt

t

g

dt

t

f

  ciddi 

b

ərabərsizliyi də ödənilir. 

Bu teoremd

ən bərabərsizliyin yoxlanmasının belə priyomu alınır:  

( ) ( )

x

G

x

F

≤

 

(

)

b

x

a

<

≤

  b

ərabərsizliyini yoxlamaq tələb olu-

nursa  onda  bu  funksiyaların  törəmələri olan f və  g  funksiyaları  üçün 

(

)

G

g

F

f

′

≡

′

≡

,

  analoji b

ərabərsizliyi 

( ) ( )

x

g

x

f

≤

 

(

)

b

x

a

<

≤

 

yoxlamaq fay

dalıdır.  Sonuncu  bərabərsizlik  doğrudursa,  onda 

( )

( )

∫

∫

≤

x

a

x

a

dt

t

g

dt

t

f

  b

ərabərsizliyi də doğrudur. Bu bərabərsizliyin sol 

v

ə sağ tərəfləri uyğun olaraq ya F(x) və G(x) ilə üst-üstə düşür, yaxud 

onlardan h

ər hansı sabitlə fərqlənir. 89-93 məsələləri bu baxımdan ma-

raqlıdır. 

89. 

0

sin

≤

x

 

(

)

∞

<

≤ x

0

  b

ərabərsizliyindən istifadə  edərək hə-

min x üçün  

1) 

2

1

cos

2

x

x

−

≥

, 2) 

!

3

sin

3

x

x

x

−

≥

, 3) 

!

4

!

2

1

cos

4

2

x

x

x

+

−

≤

 

b

ərabərsizliklərin doğruluğunu yoxlayın. 

90. B

ərabərsizliyin doğruluğunu yoxlayın: 

x

x

x

x

x

sin

2

cos

1

sin

−

≤

−

≤

−

 













≤

≤

2

0

π

x

. 

91. M

əlumdur ki, 













<

≤

2

0

π

x

 olduqda 

x

tgx

≥

 v

ə 

x

x

≤

sin

. x-

in h

əmin qiymətlərində 

x

x

tgx

2

sin

≥

+

 b

ərabərsizliyi doğrudurmu? 

92.  İsbat edin ki, 

2

6

π

π

<

< x

  olduqda 

(

)

(

)

2

72

5

2

1

sin

2

ln

π

π

−

−

>

x

x

x

 

b

ərabərsizliyi doğrudur. 

 

139 

93. Aşağıdakı ikiqat bərabərsizliyin (

0

≥

x

 

olduqda) doğruluğunu 

yoxlayın: 

(

)

1

2

...

3

2

1

ln

2

2

1

2

...

3

2

1

2

3

2

2

2

1

2

3

2

+

+

−

+

−

≤

+

≤

+

−

+

+

−

+

−

+

+

+

n

x

x

x

x

x

n

x

n

x

x

x

x

n

n

n

. 

94. Aşağıdakı funksiyaların tərsini tapın:  

1) 

2

1

2

−

−

=

x

x

y

 

2) 

x

x

x

x

y

5

3

2

2

−

+

=

 

3) 

x

x

x

y

2

+

=

 

95. T

ənliyi həll edin: 

yztu

xy

y

x

=

:

. 

96. 

İsbat edin ki, ixtiyari 

N

n

∈

 

üçün 

3

1

2

...

2

2

2

2

...

2

2

2

2

<

+

+

+

−

+

+

+

+

−

  b

ərabərsizliyi ödənilir, burada surətə 

n, m

əxrəcdə isə n-1 radikal işarəsi daxildir. 

97.  İxtiyari 

R

x

∈

  üçün ikinci tör

əməsi 

x

-

ə  bərabər olan 

funksiyanı tapın. 

98. T

ənliyi həll edin: 

(

)

xyz

z

x

x

=

+

. 

99. 

( )

2

3

3

1

2

+

−

=

−

x

x

x

x

f

, 

( )

1

1

3

3

2

+

+

+

=

x

x

x

x

g

 

funksiyalarının 

qrafikl

əri və x=2, x=3  düz xətləri arasındakı fiqurun sahəsini tapın. 

100. Bütün 

R

x

∈

  üçün 

(

) ( )

x

f

x

f

=

+1

2

  b

ərabərliyinin 

öd

ənildiyi bütün kəsilməyən f funksiyalarını tapın.  

101. B

ərabərsizliyi isbat edin: 

(

)

2

1

6

4

1

2

e

n

n

n

<

−

∑

∞

=

 

102. İnteqralı hesablayın: 

(

)

∫

+

+

1

0

2

2

6

5x

x

dx

 

103. C

ədvəldən istifadə etmədən bərabərsizliyi isbat edin:  

 

140 

3

3

3

3

3

3

2

3

3

3

3

<

−

+

+

. 

104. Ard

ıcıllığn limitini tapın: 

n

n

n

−

!

. 

105. B

ərabərsizliklər sistemini həll edin: 

( )( )













>

−

−

>

−

+

+

>

+

−

−

+

0

1

1

0

2

0

1

2

3

2

2

3

2

4

5

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

106. T

ənliklər sistemini həll edin: 

















=

+

−

−

−

=

+

−

−

−

b

y

x

y

x

x

y

a

y

x

y

x

y

x

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

  

b

a,

 - 

verilmiş ədədlərdir. 

107. Müsb

ət  ədədlər  çoxluğunda  təyin  olunmuş  və 

0

1

2

2

=

+

′

+

′′

y

x

y

x

 diferensial t

ənliyini ödəyən bütün f funksiyalarını 

tapın, burada 

( )

x

f

y

=

. 

108. T

ənliyi həll edin: 

(

)

x

x

x

9

4

12

log

2

1

log

=

+

. 

109. T

ənliyi həll edin: 

∑

∑

−

=

−

=

=

1

0

2

1

0

n

i

i

n

i

i

x

x

. 

110. 

(

)

∞

+

;

0

 

aralığında 

x

x

y

x

y

1

1

3

−

+

′

=

′′

  t

ənliyini ödəyən 

bütün y funksiyalarını tapın.  

111. B

ərabərsizliyi isbat edin: 

2

ln

cos

1

0

<

∫

dx

x

x

. 

112. 

n

x

y

=

 

funksiyasının  qrafikinin  iki  nöqtəsindən 

( )

[

]

1

;

0

∈

x

 

absis oxuna paralel düz x

ətlər çəkilmişdir.  Verilmiş  qrafiklə, çəkilən 

düz x

ətlərlə  və  x=0, x=1  düz xətləri ilə  əhatə  olunmuş  əyrixətli 

üçbucaqların sahələri cəmi hansı nöqtədə ən kiçik olar? 

 

141 

113. Ciddi artan v

ə diferensiallanan y=f(x) funksiyasının qrafikinin 

nöqt

ələrindən 

( )

[

]

b

a

x

;

<

  absis oxuna paralel düz x

ətlər keçirilmişdir. 

Verilmiş  qrafiklə, çəkilmiş  düz  xətlərlə  və  x=a, x=b  düz xətləri ilə 

əhatə  olunmuş  əyrixətli  üçbucaqların  sahələri cəmi  hansı  nöqtədə  ən 

kiçik olar. 

114. Eyniliyi isbat edin: 

2

3

2

cos

sin

2

4

cos

2

1

2

sin

2

2

=

+

+

+

x

x

x

x

. 

115. Funksiyanln ibtidai funksiyasını tapın: 

( )

x

x

x

f

2

cos

5

sin

=

. 

116. 

( )











−

∈

+

+

−

+

=

2

,

2

,

cos

sin

1

cos

sin

1

π

π

x

x

x

x

x

x

f

  funks

iyasının  tək 

olduğunu isbat edin. 

117. T

ənliyi həll edin: