Ə. A. Quliyev

32

2

. T

ənliyi həll edin: 

1

13

4

15

4

2

3

2

3

+

=

+

−

−

+

+

+

−

x

x

x

x

x

x

x

 

33. B

ərabərsizliyi isbat edin: 

c

b

a

a

c

c

c

b

b

b

a

a

a

c

b

+

+

≥

+

+

+

+

+

9

log

log

log

2

2

2

. 

34.  İsbat  edin  ki, 

(

)

(

)

(

)

(

)















+

−

=

=

−

+

+

=

−

+

+

b

a

b

a

tgxtgy

y

x

btg

y

x

atg

y

x

b

y

x

a

,

2

,

2

sin

sin

2

2

2

2

  t

ənliklər 

sisteminin h

əlli vardırsa, onda 

(

)

ab

b

a

4

2

2

2

−

=

−

. 

35. T

ənliklər sisteminin müsbət həllərini tapın:  







+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

=

=

=

n

m

x

x

x

x

x

x

x

x

mx

x

x

x

x

x

x

nx

8

7

6

5

4

3

2

1

8

7

6

5

4

3

2

1

,

 

36. Eyniliyi isbat edin: 

k

n

n

k

n

i

k

i

n

i

n

C

C

C

+

−

=

+

=

∑

2

0

 

37. T

ənliyin tam həllərini tapın: 

10

3

4

2

2

1

2

4

3

=

−

+

−

+

−

x

y

x

 

38. 

α

=

1

1

log

M

N

  verilir. 

2

2

log

M

N

-

ni  hesablayın,  burada 

2

1

2

1

,

,

,

N

N

M

M

 

ədədlərindən hər biri vahiddən fərqli  a  və  b  

ədədlərinin qüvvətləri hasilləridir, yəni 

1

1

1

n

m

b

a

M

=

, 

2

2

2

n

m

b

a

M

=

, 

1

1

1

q

p

b

a

N

=

, 

2

2

2

q

p

b

a

N

=

. 

 

133 

39. 

α

=

56

98

log

 verilir. 

14

log

7

-

ü hesablayın. 

40. 

α

=

1

1

log

M

N

, 

β

=

2

2

log

M

N

  verilir. 

3

3

log

M

N

-

ü  hesablayın, 

burada 

3

3

2

2

1

1

,

,

,

,

,

N

M

N

M

N

M

 

ədədlərindən hər biri üç müsbət 

a,b,c 

ədədlərinin qüvvətləri  hasilidir, yəni 

1

1

1

1

k

n

m

c

b

a

M

=

, 

2

2

2

2

k

n

m

c

b

a

M

=

, 

3

3

3

3

k

n

m

c

b

a

M

=

, 

1

1

1

1

r

q

p

c

b

a

N

=

, 

2

2

2

2

r

q

p

c

b

a

N

=

, 

3

3

3

3

r

q

p

c

b

a

N

=

. 

41. 

α

=

63

log

6

, 

β

=

18

log

21

 verilir. 

147

42

log

-

ni hesablayın. 

42. 

( )

x

y

y

x

f

=

,

 

funksiyasının 

( )

y

x,

  nöqt

ələr  çoxluğunda 

0

1

1

=

−

+

−

y

x

 t

ənliyini ödəyən ən kiçik qiymətini tapın. 

43. B

ərabərliyi isbat edin: 

433

70

50

10

0

6

0

6

0

6

=

+

+

tg

tg

tg

 

44. 

1

2

=

x

x

 t

ənliyinin kökünü tapın. 

45. T

ənliyi həll edin: 

0

6

7

1

5

2

5

4

=

+

−

−

−

x

x

x

 

46. T

ənliklər sistemini həll edin: 









=

=

−

5

3

4

1

2

y

y

x

x

 

47. T

ənliklər sistemini həll edin: 









=

=

+

+

3

12

x

y

y

x

y

x

y

x

 

48. T

ənliyi həll edin: 

(

)

(

)

2

2

1

37

5

cos

3

sin

3

y

y

x

x

+

=

+

+

 

49

. İsbat edin ki, 

2

0

π

α

≤

<

 is

ə 

α

α

<

2

tg

 b

ərabərsizliyi ödənilir. 

50. 

π

≤

≤ x

0

, 

π

≤

≤ y

0

, 

π

≤

≤ z

0

  is

ə tənliklər sistemini həll 

edin: 

y

x

sin

sin

2

=

, 

z

y

sin

sin

2

=

, 

x

z

sin

sin

2

=

 

51. H

əqiqi 

{ }

n

a

  v

ə 

{ }

n

b

 

ədədlər  ardıcıllığı  aşağıdakı  qaydada 

verilir: 

1

1

1

b

a

<

<

, 

1

1

−

−

=

n

n

n

a

b

a

, 

(

)

2

1

1

1

1

≥

−

−

=

−

−

n

a

b

b

n

n

n

. 

 

134 

1

a

  v

ə 

1

b

 

ədədlərinin  hansı  qiymətində  bu  ardıcıllıqların  ikisi  də 

yığılır?  

52. B

ərabərliyi isbat edin: 

(

) (

)

dx

x

e

k

n

n

n

k

n

x

∑∑

∫

∞

=

∞

=

−

=

+

+

1

1

1

0

1

...

1

1

 

53. T

ənliyi həll edin: 

(

)

x

x

3

1

2

log

log

=

+

 

54. 

(

)

bt

az

bz

az

b

ax

by

ax

t

z

y

x

f

+

+

+

+

+

=

2

2

2

2

,

,

,

 

funksiyasının  ən 

böyük v

ə  ən kiçik qiymətlərini 

1

=

+ z

x

; 

1

=

+ t

y

; 

0

,

,

,

≥

t

z

y

x

 

şərtləri olduqda tapın. (a, b – müsbət sabitlərdir). 

55. 

d

c

b

a

abcd

+

+

+

=

3

 t

ənliyinin neçə həlli vardır? 

56. İsbat edin ki, n natural ədəddirsə, onda 

n

n

n

2

1

+

<

 

57. T

ənliyi həll edin: 

x

xtg

ctg

x

x

3

2

2

3

sec

sec

2

=

+

. 

58. T

ənliklər sistemini həll edin: 









=

+

+

+

+

=

+

+

288

,

6

4

12

13

5

10

3

3

3

2

2

2

z

y

x

yz

xz

xy

z

y

x

 

59. B

ərabərsizliyi isbat edin:  

(

) (

)

2

2

2

1

2

2

1

cos

...

cos

cos

sin

...

sin

sin

n

n

n

≤

+

+

+

+

+

+

+

α

α

α

α

α

α

 

60. B

ərabərsizliyi isbat edin: 

2

2

n

n

>

  (n-

in  hansı  natural 

qiym

ətlərində bərabərsizliyin doğru olduğunu müəyyən edin). 

61. C

əmin qiymətlər çoxluğunu tapın:  

d

c

a

d

d

c

b

c

c

b

a

b

d

b

a

a

S

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

, burada a, b, 

c, d – ixtiyari müsb

ət ədədlərdir. 

62. 

( )

1

3

2

2

3

+

+

=

x

x

x

f

 

funksiyasının 

[

]

5

;

2

−

 

aralığında  ən 

böyük v

ə ən kiçik qiymətlərini tapın. 

63. T

ənliyi həll edin: 

(

)

1

cos

1

sin

cos

2

2

6

12

=

+

+

x

x

x

. 

64. T

ənliyin natural həllini tapın: 

1

5

4

3

2

1

=

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

y

y

y

y

y

y

x

x

x

x

x

x

 

 

135 

65. İsbat edin ki, tənliyin yalnız sonlu sayda tam həlli vardır:  

0

3

12

21

2

4

3

2

2

=

−

+

−

+

−

y

x

y

xy

x

 

66.  x  v

ə y  -in arasında hansı asılılıq olduqda 

2

2

2

4

3

y

x

xy

y

+

−

  ifad

əsi 

ən böyük və ən kiçik qiymət alır? 

Diferensial  hesabı  elementlərinin məktəb təliminə  daxil edilməsi 

ənənəvi  “Elementar  riyaziyyatın”  müxtəlif bölmələrinin çətin məsələ-

l

ərinin həlli  üçün  şagirdlərin  əlində  olduqca güclü  alətdir. Odur ki, 

riyazi analiz üzr

ə orta və ali məktəblər üçün gələcəkdə yazılacaq dərs-

likl

ərdə  (vəsaitlərdə) bu cəhətə  xüsusi diqqət verilməlidir. Məktəbdə 

funk

siyanın törəməsinin işarəsinə görə onun artma və azalma aralıqla-

rının  tapılmasının  mümkünlüyünü  izah  etdikdən sonra çox vaxt bu 

m

əlumat yalnız konkret funksiyalar üçün belə aralıqların tapılmasına və 

qrafikl

ərinin  qurulmasına  tətbiqi ilə  məhdudlaşdırılır.  Halbuki  bu  ma-

terial daha çox müxt

əlif tətbiqlərə və şablonluqlardan qaçmağa imkan 

verir. Habel

ə  nəzərə  almaq  lazımdır  ki,  şagirdləri  maraqlandıran  və 

onlara  aşkar  olan  müxtəlif tətbiqlərin göstərilməsi riyazi analizin əsas 

an

layışlarının,  düsturlarının  və  teoremlərinin daha dərindən və  məz-

munlu öyr

ənilməsi üçün ciddi həvəs və maraq oyadıcı amildir. 

67-75 m

əsələləri törəmənin tətbiqilə bərabərsizliklərin doğruluğu-

nun 

əsaslandırılmasına nümunələrdir. 

Şagirdlərin bu məsələləri yaxşı başa düşməsi üçün onlar: 1) törə-

m

ənin tərifini, 2) əsas  diferensiallama  qaydalarını  (cəmin, fərqin, ha-

silin, qism

ətin, qüvvətin, mürəkkəb  funksiyanın,  çoxhədlinin və 

u

a

tgu

u

u

u

ln

,

,

,

cos

,

sin

 

funksiyalarının),  3) 

2

0

π

α

<

<

  olduqda 

α

α

α

tg

<

<

sin

 b

ərabərsizliklərini bilməlidirlər. 

Baxılan  bərabərsizliklərin  doğruluğunun  göstərilməsində  analizin 

m

əlum teoremindən (1. 

( )

x

f

 

funksiyasının  hər  hansı 

( )

b

a,

  interva-

lında  törəməsi  vardırsa  və  bu intervalda 

( )

0

>

′ x

f

  is

ə 

( )

x

f

  h

əmin 

intervalda  monoton  artır; 

( )

0

<

′ x

f

  is

ə  monoton  azalır.  əlavə  olaraq 

( )

x

f

-in 

[ ]

b

a;

 

parçasında  (və  ya 

(

] [ )

b

a

b

a

;

,

;

 

yarım  intervalında) 

k

əsilməyən  olduğu  məlumdursa, onda artma (və  ya  azalma)  uyğun 

 

136 

olaraq 

[ ]

b

a ;

, 

(

] [

)

b

a

b

a

;

,

;

 

çoxluqlarında da ödənilir) istifadə yeganə 

priyomdur. 

67. F

ərz edək ki, 

2

1

0

<

< c

. B

ərabərsizliyin  doğruluğunu 

yoxlayın: 

5

1

2

2

>

+

c

c

 

68. 

2

>

x

 is

ə 

(

)

4

9

6

2

2

3

+

>

+

x

x

x

 

olduğunu yoxlayın. 

69. M

əlumdur ki, 

β

α

,

 

ədədləri 0 və 

2

π

 

arasındadırsa və 

β

α

<

 

is

ə, onda 

β

α

cos

cos

>

. 

β

β

α

α

cos

cos

+

<

+

  b

ərabərsizliyi 

doğrudurmu? 

70. F

ərz edək ki, p, q müsbət ədədlərdir, 

q

p

<

. Onda aşkardır ki, 

2

2

q

p

<

, 

3

3

1

1

q

p

>

. Dem

ək olarmı ki: a) 

5

,

1

>

p

 olduqda, b) 

1

>

p

 

olduqda 

3

2

3

2

1

1

q

q

p

p

+

<

+

 b

ərabərsizliyi ödənilir? 

71. Ədədlərdən hansı böyükdür: 100

101

  v

ə ya 101

100

; 107

113

  v

ə ya 

113

107

; 1979

2001

 v

ə ya 2001

1979

; 

π

e

 v

ə ya 

e

π

; 

( )

3

2

 v

ə ya 

( )

2

3

. 

72.