Ə. A. Quliyev
Download 10.77 Mb. Pdf ko'rish
|
|
1.19.M əktəb riyaziyyat kursunda ən sadə diferensial tənliklər 1. Bu mövzunun m əktəb riyaziyyat kursunda yeri 2. Diferensial t ənlik anlayışı haqqında 3. M
əktəbdə üstboylu (eksponensial) 1 diferensial t ənliklərin öy- r ənilməsi 4. Orta m əktəbin riyaziyyat kursunda harmonik rəqsin diferensial t ənliyinə baxmaq haqqında. 1. XI sinfin “C əbr və analizin başlanğıcı” kursunda ən sadə di- ferensial t ənliklərə baxmaq nəzərdə tutulur. “Üstlü v ə loqarifmik funksiyalar” mövzusunda şagirdləri üstlü qanun üzr ə artmanın və azalmanın ky y = ′ diferensial t ənliyi ilə tanış etm ək, həlləri bu tənliyə gətirilən müxtəlif elm sahələrindən (fizika, kimya, biologiya, iqtisadiyyat, ictimaiyy ət və s.) olan məsələlərə bax- maq n əzərdə tutulur. Harmonik rəqsin y k y 2 − = ′′ diferensial t ənliyinə “Triqonometrik fun ksiyalar” mövzusunda baxılır. Burada da həlləri bu t ənliyə gətirilən mexanika, fizika, elektrotexnika və başqa mühəndis elml ərindən götürülmüş məsələlərə baxmaq nəzərdə tutulmuşdur. 2. Diferensial t ənlik anlayışını daxil edənə qədər şagirdlərə bil- dirilir ki, elm v ə texnikanın, habelə iqtisadiyyatın müxtəlif sahələrində çox vaxt h əlləri, dəyişəndən, axtarılan funksiyadan əlavə həmin axta- rılan funksiyanın törəməsi daxil olan, bir və ya bir neçə tənliyə gətirilən m əsələlərə baxılır. Sonra bildirilir ki, belə tənliklərə diferensial tənliklər deyilir. Qeyd edilir ki, riyazi analiz kursunun “Diferensial t ənliklər” bölm əsi diferensial və inteqral hesabı metodlarının daha da dərinləş- dirilm əsidir. Diferensial hesabında funksiya verildikdə onun törəməsi tapılırsa, inteqral hesabında törəməyə əsasən bu törəmə üçün ibtidai olan funksiya tapılır, lakin diferensial tənlikıərin nəzəriyyəsinin öy- r ənilməsi və praktik məsələlərinin həlli zamanı funksiya və onun törə- m əsi deyil onları əlaqələndirən tənlik (və ya bir neçə tənlik) verilir. C əbri tənliyin həll edilməsinin nə demək olduğu şagirdlərə xatırladılır. Sonra analogiya üzr ə diferensial tənliyin həlli, bu tənliyi doğru bərabər-
1 Eksponensial funksiya - x e v ə ya x a funksiyalara ( )
> a , y
əni üstlü funksiya, e.f habel ə expx ilə işarə edilir.
105
liy ə çevirən, funksiya kimi daxil edilir. Bundan sonra şagirdlərlə dife- rensial t ənliyə gətirilən bir neçə məsələyə baxmaq faydalıdır. M əsələ 1. Hər bir nöqtəsində, absis oxunun müsbət istiqaməti ilə əmələ gətirdiyi bucağın tangensi toxunma nöqtəsi absisinin iki mislinə b ərabər, toxunanı olan müstəvi əyrisini tapın. H əlli. Fərz edək ki, XOY müstəvisi üzərində axtarılan əyrinin t ənliyi y=f(x)-dir (Şəkil 21). M əsələnin şərtinə görə hər bir N(x, f(x)) nöqtəsində, absis oxunun müsb ət istiqaməti ilə əmələ gətirdiyi bucağın tangensi toxunma nöqtəsi absisinin iki mislin ə bərabər y əni,
x tg 2 = α olan toxu- nan vardır. Törəmənin hən- d əsi mənasından istifadə ed ərək alırıq: ( )
2 = ′ (1) v ə ya
x y 2 = ′ (1 / )
sial t ənlikdir, çünki ona ax- tarılan funksiyanın törəməsi daxildir. (1 /
ə ya 1) tənliyindən görünür ki, axtarılan y funk- siyasının törəməsi 2x-ə bərabərdir, başqa sözlə axtarılan y funksiyasının özü 2x funksiyasının ibtidai funksiyasıdır. Bizə məlumdur ki, verilmiş funksiyanın bütün ibtidai funksiyaları çoxluğu bu funksiyanın qeyri- mü əyyən inteqralıdır, odur ki, ∫ =
y 2 (2 / )
v ə ya
C x y + = 2 (2) burada C-ixtiyari sabitdir.
Bel əliklə (1 / ) (v ə ya 1) diferensial tənliyinin həlli C x y + = 2 , burada C- ixtiyari sabitdir, funksiyasıdır. Deməli verilmiş tənliyin sa- bitl
ə fərqlənən sonsuz sayda həlləri vardır. Beləliklə, məsələnin şərtini bir
əyri deyil sonsuz sayda əyrilər – parabolalar ailəsi (Şəkil 22) ödəyir. 106
M əsələnin yeganə həlli olması üçün onun şərtində axtarılan əyrinin keçdiyi nöqt ə də verilməlidir. Doğrudan da fərz edək ki, ( )
0 , y x (v
ə ya
( ) ( ) 0 0 , x f x ) nöqt
əsindən keçən əyri axtarılır, onda bu nöqtənin koordinatlarını (2) həllində yerinə yazıb alırıq: C x y + = 2 0 0 , y əni
2 0 0 x y C − = Bel
əliklə, verilmiş m əsələnin həlli, başqa sözl ə ( ) 0 0 , y x nöqt
ə- sind
ən keçən əyri tənliyi 2 0 0 2
y x y − + =
şə- klind ə olan əyridir. Xüsusi halda, əyri
ko ordinatları 0 0
= = y x olan nöq- t ədən keçirsə onda mə- s ələnin həlli 2
= pa- ra bolası,
1 0 = x
v ə 2 0 = y olduqda h əll 1
+ = x y para
bolası v ə ya 2 0 = x
v ə 1 0 = y olduqda m əsələnin həlli 3 2 − = x y
parabolasıdır (Şəkil 22). M əsələ 2. Cisim 0 ϑ
başlanğıc sürəti ilə yuxarı atılmışdır. 0 = t
başlanğıc momentində onun 0 S v
əziyyətində olduğunu cismin yalnız ağırlıq qüvvəsinin təsiri ilə hərəkət etdiyini bilərək cismin hərəkət qa- nununu t əyin edin. H əlli: Fizika kursundan məlumdur ki, cisim ağırlıq qüvvəsinin t əsiri altında g-yə bərabər sabit təcillə hərəkət edir. Biz bilirik ki, h ərəkət edən maddi nöqtənin təcili S yolunun t zamana nəzərən ikinci tör əməsi ilə ifadə edilir, odur ki, bu halda diferensial tənlik 107
gm dt S d m = 2 2 v ə ya m-ə ixtisar etdikdən sonra g dt S d − = 2 2 (3) şəkildə olur.
İkinci törəmənin tərifinə əsasən ( )
g S S − = ′ = ′ ′ = ′′ ϑ , odur ki, birinci m əsələdə olduğu kimi mühakimə edərək alırıq ki, S ′ = ϑ
funksiyası ( ) g −
funksiyasına nəzərən ibtidai funksiyadir, başqa sözlə ( )
∫ + − = − = ′ = 1 C gt dt g S ϑ v ə ya 1
gt S + − = ′ = ϑ (4). Sonuncu b ərabərlikdən alınır ki, S ( ) 1 C gt + − - in ibtidai funksiyasıdır, odur ki, ( )
∫ ∫ + + − = + − = + − = 2 1 2 1 1 2 C t C gt dt C tdt g dt C gt S , burada 1 C v ə 2 C - ixtiyari sabitl ərdir. Bel
əliklə diferensial tənliyin həlli 2 1 2 2
t C gt S + + − = (5) funksiyasıdır. Beləliklə həllə iki ixtiyari 1
v ə
C sabitl
əri daxildir. M əsələnin şərtinə görə zamanın 0 =
baçlanğıc anında cisim 0 S
hündürlükd ə olmuşdur, odur ki, (5) düsturundan alırıq: ( )
2 1 0 0 2 0 0 C C g S S + ⋅ + ⋅ − = = , y əni 0 2 S C = (6) Dig ər tərəfdən zamanın 0 =
başlanğıc anında cismin başlanğıc sür əti
0 ϑ
olmuşdur, odur ki, (4) düsturundan alınır: 1 0 0 C g + ⋅ − = ϑ v ə ya 0 1 ϑ = C (7)
Bel əliklə
1 C v
ə 2
-in (6), (7) b ərabərliyindəki qiymətlərini (5) düsturunda yerin ə yazıb, qoyulan məsələnin həllini alırıq: 0 0
2 S t gt S + + − = ϑ Baxılan misallardan diferensial tənliyin həlli xüsusiyyəti görünür. Onun h əlli sonsuz funksiyalar çoxluğundan ibarətdir, verilmiş başlanğıc şərtə əsasən isə bir həll alınır. Bundan sonra diferensial t ənliyin tərtibi, ümumi və xüsusi həll anlayışları daxil edilir. Göstərilir ki, tənliyə daxil olan törəmələrdən ən yüks əyinə diferensial tənliyin tərtibi deyilir. Məsələn yuxarıda baxdı- 108
ğımız (1) tənliyi bir tərtibli (3) isə iki tərtibli tənlikdir. Qeyd edilir ki, bir t
ərtibli diferensial tənliyin ixtiyari C sabiti daxil olan həlli elədir ki, C-in müxt əlif qiymətlərində ondan bu diferensial tənliyin bütün h əllərini almaq olar, belə həll diferensial tənliyin ümumi həlli adlanır. Biz gördük ki, (1) t ənliyinin (2) həllinə bir ixtiyari sabit daxildir, odur ki, o bu t ənliyin ümumi həllidir. Iki tərtibli diferensial tənlik halında ümumi h əllə iki ixtiyari sabit daxil olmalıdır. Məsələn, yuxarıda baxılan (3) t ənliyinin həlli iki ixtiyari sabit daxil olan (5) tənliyidir. Odur ki, o (3) t ənliyin ümumi həllidir. Nəhayət diferensial tənliyin xüsusi həll anlayışı üzərində dayanmaq lazımdır. Göstərilir ki, bir tərtibli diferen- sial t
ənliyin ümumi həllindən ixtiyari C sabitinə müəyyən qiymət ver- m əklə alınan həllə tənliyin xüsusi həlli deyilir. Şagirdlərə aydınlaşdırılır ki, bir t ərtibli diferensial tənliyin ümumi həllindən xüsusi həlli almaq üçün başlanğıc şərt verilməlidir, yəni arqumentin hər hansı 0
x = qiy- m ətində axtarılan ( )
funksiyası verilmiş ( ) 0 0 y x y = qiym ətini almasını tələb etmək lazımdır. Bu sonuncunu 1 məsələsinin həlli üzə- rind ə nümayiş etdirmək olar. Məsələn, C x y + = 2 ümumi h əllindən 1 , 2 2 + = =
y x y , 3 2 − = x y xüsusi h əllərini almaq üçün uyğun olaraq
0 0 0 = = y x ; 1 0 =
v ə
0 =
; 2
= x v ə 1 0 = y
başlanğıc şərtləri verildi. Beləliklə 2
y = , 1 2 + = x y , 3 2 − = x y xüsusi h əlləri C sabitinin verilmiş müəyyən qiymətlərinə uyğundur, məhz ixtiyari C sabiti uyğun olaraq 0, 1 və -3 qiymətlərini aldı. Bundan sonra qeyd edilir ki, iki t ərtibli tənliyə baxılırsa, onda ümumi h
əldən xüsusi həlləri almaq üçün ona daxil olan iki ixtiyari sabit
ə müəyyən qiymət vermək lazımdır ki, buna da başlanğıc şərtlərin verilm
əsi ilə nail olunur. İki tərtibli tənlik üçün başlanğıc şərtin veril- m əsi ondan ibarətdir ki, arqumentin hər hansı 0 x x = qiym ətində axtarılan ( )
funksiyasının bu nöqtədə qiyməti, yəni ( ) 0 0 y x y = ha- bel ə onun törəməsinin, yəni ( ) 1
y x y = ′ qiym əti verilir. Məsələn, 2 m əsələsində aşağıdakı başlanğıc şərtlər verilmişdir: zamanın 0 =
anı
üçün ( )
0 0
S =
başlanğıc vəziyyət (başqa sözlə zamanın başlanğıc anında cismin hündürlüyü) və başlanğıc ( ) ( )
0 0 0 ϑ ϑ = ′ = S sür əti
verilmişdir. 109
Bunlar 2 1 2 2
t C gt S + + − = ümumi h əllindən bizi maraqlandıran 0 0 2 2
t gt S + + − = ϑ xüsusi h əlli və baxılan məsələnin həllini almağı imkan verdi. 3. M
əktəbdə üstboylu diferensial tənliyin ( ky y − = ′ , 0 şəkildədir) öyr ənilməsinə fizika, texnika, biologiya və s. götürülmüş həlləri bu t ənliyə gətirilən müxtəlif məsələlərə baxmaqla başlamaq olar. Artıq sonra isbat etm ək lazımdır ki, bu tənliyin bütün həlləri ( )
− = şəklində funksiyadır, burada C- ixtiyari sabitdir. Bu məsələnin həllinin öyr ənilməsini qurtararaq yenidən üstboylu diferensial tənliyin qurul- ması və həllinə gətirilən praktik və texniki məsələlər həllinə baxmaq laz
ımdır. Məsələn bir sıra tədris vəsaitində belə edilmişdir. Burada əvvəlcə radiumun parçalanma qanununu müəyyən etmək haqqındakı m əsələyə baxılır və göstərilir ki, onun həlli ( ) ( )
0 , > − = ′ k t km t m
şəkildə hər hansı diferensial tənliyin həllinə gətirilir. Sonra bu tənliyin ( ) t k e c t m − ⋅ =
şəklində həlli müəyyən edilir (verilmiş funksiyanın həll olması bilavasitə yoxlama ilə müəyyən edilir), diferensial tənliyin baş- lanğıc şərtləri haqqında anlayış verilir, müəyyən edilir ki, baxılan t ənliyin başqa həlləri yoxdur. Sonra göstəriş verilir ki, bir çox fiziki, iqtisadi v ə bioloji hadisələri araşdırarkən ( ) ( )
t ku t u − = ′
şəklində dife- rensial t ənliyə gətirilən məsələlər həll etmək lazım gəlir. Daha sonra ətraf mühitdə olan cismin soyudulması, barametr vasitəsilə hündür- lüyün ölçülm əsi, əhalinin artımı haqqında məsələlərə baxılır. Nəticədə qeyd ed
ək ki, əlbətdə, məktəbdə ( ) ( ) ( ) ( ) x g x y x f x y = ⋅ + ′
şəklində ( )
( ) x ky x y − = ′ üstboylu t ənlik, burada K – sabitdir, bu tənliyin xüsusi halıdır, belə ki, sabit əmsallı bir tərtibli xətti bircins tənlikdir) bir tərtibli x ətti diferensial tənliklərin ümumi nəzəriyyəsinə baxmaq lazım deyil. Lakin ibtidai funksiya anlayışından istifadə edərək bu ( )
( ) x ky x y − = ′
t ənliyinin ( )
x k ce x y − = şəklində ümumi həllini almaq lazımdır, burada C ixtiyari sabitdir. 4. M
əktəbdə baxılan digər diferensial tənlik, harmonik rəqsin y k y 2 − = ′′ t ənliyidir. Bu tənlik iki tərtiblidir. 110
B əzi tədris vəsaitində bu məsələ aşağıdakı kimi izah edilmişdir: əvvəlcə həlli bu tənliyə gətirilən məsələlərə baxılır, sonra göstəriş verilir ki, bu t ənliyin bütün həlləri ( )
( ) θ + =
A x y sin
şəklində funk- siyadır, burada A və θ ixtiyari sabitl ərdir. Şagirdlərin diqqətini o cəhətə yönəltmək lazımdır ki, baxılan halda ümumi h əllə iki ixtiyari sabit daxildir, odur ki, xüsusi həlli (başqa sözlə m əsələnin həllini) almaq üçün başlanğıc şərt verilməlidir, məhz baş- lanğıc anda təkcə funksiyanın qiymətini deyil habelə onun törəməsinin d ə qiyməti verilməlidir. Məsələn, yaylı rəqqas haqqındakı məsələyə baxark ən zamanın 0 =
başlanğıc anında yekun tarazlıq halından ( ) 0
y y =
başlanğıc meili habelə 0 = t
başlanğıc momentində bu yükün h ərəkət sürəti, yəni ( ) 0
ϑ = ′ y
başlanğıc sürəti verilir. Bir sıra vəsaitlərdə həlləri harmonik rəqqasın baxılan tənliyinə g ətirilən yaylı və riyazi rəqqas, çevrə üzrə bərabərsürətli hərəkət haqqında məsələyə baxılır. Bu m
əsələlərin şərhini mühazirə şəklində aparmaq faydalıdır və bu zaman şagirdlərə diferensial və inteqral tənliklərin müasir fizika və texnikadakı böyük rolundan danışmaq lazımdır. Əlavələr 1. Bir t ərtibli bircinsli diferensial tənliklər. Hər şeydən əvvəl də- yişənlərinə ayrılan bircinsli tənliklərə baxaq. T ərif. f(x, y) funksiyasını öz arqumentlərinin nisbətlərinin funk- siyası şəklində göstərmək mümkün olarsa ( )
y x f y , = ′ (1) t
ənliyinə bircinsli t ənlik deyilir. Yəni ( )
= x y y x f ϕ , şəklində göstərmək mümkün olarsa (1) bircinsli t ənlik adlanır. Məsələn, xy x y xy y 2 2 2 − − = ′
bel ə tənlikdir, çünki onu
= − − = ′
y f x y x y x y y 2 1 2
şəkildə göstərmək olar. xu y =
əvəzləməsi ilə bu tənliyi həll edirik. 111
2. M əktəbdə
( ) ( )
x g y x p y = + ′ x
ətti tənliyin həllini də vermək olar. Bu t ənlik ϑ
y =
əvəzləməsi ilə dəyişmələrinə ayrılan diferensial t ənliyə gətirilir. 3. ( )
( ) n y x g y x p y = + ′ . Bernulli t ənliyi asanlıqla xətti tənliyə g ətirilir. Belə ki, ( ) ( )
x g y x p y y n n = + ′ + − − 1
yazıb z y n = + − 1
əvəz- l əməsi ilə bu tənlik xətti tənliyə gəlir. Bu göst ərilənləri məktəbdə vermək y k y 2 − = ′′ t ənliyinin həl- lind
ən daha münasibdir. Bircinsli t ənliyi hər hansı məsələdən almaq olar: H ər bir nöqtəsində toxunanın ordinat oxu ilə kəsişmə nöqtəsi koordinat başlanğıcından və toxunma nöqtəsindən eyni məsafədə yer- l əşən əyrini tapın. H əlli. Axtarılanı ( )
= -l ə işarə ed ək. Bu əyri üzə- rind ə M(x, y) nöq- t əsi götürək və fərz ed ək ki, AM həmin nöqt ədə əyriyə çə- kil miş
toxunandır (Şəkil 23). Şərtə gö- r ə AM=OA. Toxu- nanın həndəsi məna- sına görə y tg ′ = α
oldu ğundan y x AB ′ − =
(çünki ABM ∆ -d ən x AB tg − = α ) v
ə Pifa- qor teoremin ə görə həmin üçbucaqdan 2 2 2 2 2 x y x BM AB AM + = + =
olar. AM=OA olduğundan 2 2 2 x y x OA + = , y x y AB OB OA ′ − = + = -dir. Onda 2 2 2 x y x y x y + = ′ −
v ə ya
xy x y y 2 2 2 − = ′
alarıq. Bu tənlik bircins tənlikdir və xz y =
112
əvəzləməsi ilə dəyişənlərinə ayrılmış x dx z zdz − = + 2 1 2 t ənliyinə gətirilir. Onun ümumi h əlli
( ) 0 1 2 = − +
z x
şəklindədir və x y z = oldu ğun- dan, alırıq ki, axtarılan əyrilər 0 2
= − + Cx y x
olur. ( ) 2 2 2 1 R y y = + t ənliyinin əlahiddə həllini tapaq (И.С.Писгунов, II hiss ə, səh503). Əvvəl ümumi həlli (inteqralı) tapaq. Tənliyi y ′ - ə nə- z ərən həll edək: y y R dx dy 2 2 − ± = ; D əyişənlərinə ayıraq dx y R ydy = − ± 2 2 . Bunu inteqrallayaq ( )
2 2
y C x = + − ümumi h
əlli (inteqralı) tapırıq. Göründüyü kimi, tapdığımız inteqral xətləri ailəsi, mərkəzi absis oxu üz ərində yerləşən R radiuslu çevrələr ailəsidir. (Şəkil 24). Alınmış t ənliyi c parametrinə nəzərən diferensiallayaq. ( ) 0 2 = − C x . İndi ( ) = − = + − 0 2 2 2 C x R y C x t
ənliklər sistemind ed ərək 0 2 2 = − R y v
ə ya R y ± = t ənliyini alırıq. De- m əli alınmış çevrələr ailəsinin bu t ənlikləri R y R y − = = ,
d ən ibarət iki düz xətdir (Əla- hidd
ə nöqtələrin həndəsi yeri deyildir, çünki ail əni əmələ g ətirən nöqtələrin əlahiddə nöqtələri yoxdur). R y ± = funksiyaları baxılan diferensial tənliyi ödəyir. Deməli
± = əlahiddə inteqraldır. Download 10.77 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|