Ə. A. Quliyev
Download 10.77 Mb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- 1.17. Tör əmə anlayışının daxil edilməsi metodikası
|
4.4. Funksiyanın nöqt ədə kəsilməzliyi- nin alınmış tərifi 13- cü şəkildəki həndəsi m ənzərəyə uyğundur. Ordinat oxu üz ə- rind ə ( )
0 x f
nöqt əsini ixtiyari ε
ətrafını seçsək, onda absis oxu üz ərində 0
nöqt
əsinin aşağıdakı xass
ədə δ
ətrafı tapılar: bu ətrafda hansı x
götürs ək, ordinat oxu 80
üz ərində ona uyğun ( )
nöqt
əsi ( )
0 x f nöqt
əsinin seçilmiş ε
ətrafına düşür. 1.17. Tör əmə anlayışının daxil edilməsi metodikası I.Proqramda diferensial hesabı elementləri II.Tör əməyə gətirilən məsələlər. III.Tör əmə anlayışı haqqında. IV.Tör əmənin həndəsi mənası. V.Elementar funksiyaların diferensiallanmasına aid əsas teorem- l ərin isbatı və düsturların çıxarılması haqqında. VI. Tör əmənin tətbiqləri. I. Funksiyanın törəməsi anlayışı riyazi analiz kursunun ən mühüm anlayışlarından biridir. Çünki bu anlayış diferensial və inteqral he- sabının qurulmasının əsasını təşkil edir. Şagirdlər bu anlayışla XI sinfin “C əbr və analizin başlanğıcı” kursunda “Törəmə və onun tətbiqləri” mövzusunda tanış olurlar. Cəmin, hasilin, qismətin, çoxhədlinin, qüv- v ət, tərs, kəsr-rasional və mürəkkəb funksiyaların törəməsi, funksiyanın art ması və azalması, maksimum və minimum, kvadrat üçhədlinin araş- dırılması, törəmənin həndəsəyə (toxunan) və funksiya (sürət, təcil) t ətbiqləri də bu vaxt öyrənilir. X sinifdə şagirdlər triqonometrik, üstlü v ə loqarifmik funksiyaların törəmələri ilə tanış olurlar. II. Funksiyanın törəməsi anlayışını daxil edərkən hər hansı növ limitl
ərin əhəmiyyətli olduğunu və bununla da onların öyrənilməsinin z əruriliyini göstərən məsələlərə baxmaq faydalıdır. Belə məsələlərə nümun ə olaraq cismin düzxətli hərəkətinin ani sürəti, cərəyan şiddətinin ani qiym əti, cismi nöqtədə istilik tututmu və nöqtədə xətti sıxlığı, funk- siyanın qrafikinə toxunan çəkmək, kimyəvi reaksiyanın sürəti və s. haq- qındakı məsələləri göstərmək olar. Cismin düzxətli hərəkətinin ani sür ətini tapmaq, funksiyanın qrafikinə toxunan çəkmək və nöqtədə xətti s ıxlıq haqqındakı məsələlər X sinfin “Cəbr analizin başlanğıcı” tədris v əsaitində izah edilmişdir. Burada cərəyan şiddətinin ani qiyməti, cismin istilik tutumu, kimy əvi reaksiyanın sürəti haqqındakı məsələlər üz ərində bir qədər müfəssəl dayanırıq. Ani sürət və toxunan haqqındakı m əsələlərdən isə bilavasitə törəmə anlayışını daxil etmək məqsədi ilə istifad ə edirik. C ərəyan şiddətinin ani qiyməti haqqında məsələ H ər hansı mənbəyli cərəyan şiddətinin elektrik dövrəsini təsəvvür ed ək. t müddətində naqilin en kəsiyindən keçən elektrikin miqdarını 81
(kulonla) q=q(t) il ə işarə edək. Elektrik miqdarı zamanın funksiyasıdır. Çünki t zamanın hər bir qiymətinə elektrik miqdarının müəyyən qiym
əti uyğundur. F ərz edək ki, t ∆
zamanın hər-hansı aralığı ( ) ( ) t q t t q q − ∆ + = ∆ göst
ərilən kəsikdən zamanın t anından t t ∆ + anına qədər aralıqda ke- ç ən elektrik miqdarıdır. Onda t q ∆ ∆ nisb ətinə zamanın t ∆
aralığında orta c
ərəyan şiddəti deyilir və or İ il
ə işarə edilir. Başqa sözlə naqildən vahid zamanda keçən elektrik miqdarına orta c ərəyan şiddəti deyilir. Sabit cərəyan halında or İ
sabit olacaqdır. Dövr əyə dəyişən cərəyan buraxılmışdırsa onda zamanın müxtəlif anlarında (və ya zamanın müxtəlif aralıqlarında)
müxt
əlif olacaq- dır. Odur ki, dəyişən cərəyan dövrəsi üçün ani cərəyan şiddəti və ya zamanın verilmiş anında cərəyan şiddəti anlayışı daxil edilir. Elektrik miqdarının q ∆
artımının bu artımın yayındığı t ∆ zama- nına nisbətinin 0 → ∆t
şərtində limitinə t momentində (anında) ani c ərəyan şiddəti deyilir. O belə işarə edilir. ( )
∆ ∆ = = → ∆ → ∆ 0 0 lim lim .
Cismin istilik tutumu haqqında məsələ Kütl
əsi 1q olan cismin temperaturu 0 0 1 =
dan τ
0 2
q ədər
artırsa, onda bu onun nəticəsində olur ki, cismə müəyyən Q miqdarında istilik verilir, dem əli Q cismin qızdırdığı τ temperaturunun (cisim τ
temperaturuna q ədər qızdırılır) funksiyasıdır. ( )
τ Q Q = . F ərz edək ki, cismin temperaturu τ -dan
τ τ ∆ + q ədər artmışdır. Bu qızdırılmaya sərf edilən Q ∆
istilik miqdarı ( ) ( ) τ τ τ Q Q Q − ∆ + = ∆ - ya b
ərabərdir. τ ∆ ∆Q nisb
əti – temperaturun τ = 0 1
-dan τ
∆ + = 0 2
- ya q ədər
d əyişməsində cismi “orta hesabla” 0 1
qızdırmaq üçün lazım olan istilik miqdarıdır. Bu nisb ətə verilmiş cismin ] [ τ τ τ ∆ + , temperatur intervalında orta istilik tutumu deyilir v ə
C il
ə işarə edilir. 82
Orta temperatur τ temperaturunun ixtiyari qiym əti üçün istilik tutumu haqqında təsəvvür yaratmadığından, verilmiş τ temperaturunda (verilmiş τ nöqt əsində) istilik tutumu anlayışı daxil edilir. İstilik miq- darının
Q ∆
artımının τ ∆ temperatur artımına nisbətinin 0 →
τ
şərtində limitinə τ temperaturunda ( τ nöqt
əsində) istilik tutumu deyi- lir. O, bel ə ( )
τ τ τ ∆ ∆ = = → ∆ → ∆
C C t or 0 0 lim lim
işarə olunur. Kimy əvi reaksiyanın sürəti haqqında məsələ F ərz edək ki, hər hansı cisim kimyəvi reaksiya daxil edilir. Zamanın t anında, artıq reaksiyaya daxil edilmiş bu cismin miqdarını y(t) il
ə işarə edək. Beləliklə y zamanın başqa sözlə t dəyişəninin funk- siyasıdır. t ∆ - zamanın hər hansı aralığıdırsa, onda zamanın t anından t t ∆ + momentin
ə qədər aralıq vaxtında daha bir qədər ( ) ( ) t y t t y y − ∆ + = ∆ cisim daxil olar. Bel əliklə,
∆ ∆ nisb əti zamanın t ∆
aralığında kimyəvi reaksiyanın orta sürətini ifadə edir. Verilmiş t anında kimyəvi reaksiyanın sürətini xarakterizə etmək üçün 0 → ∆t olduqda bu nis- b ətin limitinə baxmaq lazımdır, başqa sözlə t y t ∆ ∆ → ∆ 0 lim . Bel əliklə nəticədə şagirdlərin diqqətini o cəhətə yönəltmək lazım- dır ki, baxdığımız məsələlərdə zaman ərzində elektrik miqdarının dəyiş- m ə sürətini xarakterizə edən kəmiyyət olaraq ani cərəyan şiddəti an- layışı temperaturun dəyişməsi zamanı istilik miqdarının dəyişmə sürəti kimi verilmiş temperaturada cismin istilik tutumu anlayışı zaman ər- zind ə reaksiyada iştirak edən cismin miqdarının dəyişmə sürəti kimi za- man anında kimyəvi reaksiyanın sürəti haqqında söhbət gedir. Qeyd edilir ki, yuxarıda baxılan anlayışların hamısının daxil edilməsində xü- susi növ limitd ən belə ki, arqument artımı sıfıra yaxınlaşmaqla funksiya artımını arqument artımına nisbətinin limitindən istifadə edildi. H əllində hər hansı funksiyanın dəyişmə sürətinin tapılması lazım olan çox m əsələlər göstərmək olar. Məsələn: Müyyən anda məhlulun kon sentrasiyasının, mayenin məsarifinin, fırlanan cismin bucaq sürəti- nin, nöqt ədə xətti sıxlığın tapılması və s. 83
Bu növd ən olan məsələlərin nəzərdən keçirilməsi ilə şagirdlər belə n əticəyə gəlməlidirlər ki, funksiyanın dəyişmə sürəti anlayışı praktik c əhətdən əhəmiyyətli olan çoxlu sayda məsələlərin həllində lazımdır. III. Tör əmə anlayışının daxil edilməsinin hamıya məlum və geniş yayılmış yanaşılması (ali məktəb kursundan istifadə edilən) aşağıda- kından ibarətdir. (1) Verilmiş t momentində hərəkət edən cismin (məsələn, sərbəst düşən) sürətinin tapılması haqqında fiziki məsələ; (2) Əyriyə (verilmiş funksiyanın, məsələm 2
y = qrafikind ən ibar
ət) onun üzərində verilmiş nöqtədə toxunanın qurulması haqqında h əndəsi məsələ. Mü əyyən edilir ki, məzmunlarına görə müxtəlif olan bu iki mə- s ələnin həlli eyni bir əməliyyata gəlir. Bu əməliyyatı ümumi şəkildə aşağıdakı şəkildə izah etmək olar. ( )
x f y = t ənliyi ilə ifadə edilən hər hansı funksiya verilir ((1) mə- s ələsində bu tənlik zamanın funksiyası kimi yolu, (2) məsələsində f funksiyasının qrafiki kimi əyrini ifadə edir). H ər iki məsələnin həlli zamanı (eləcə də əvvəldə baxdığımız mə- s ələlərin) biz aşağıdakı əməliyyatı yerinə yetiririk. 1 0
baxılan aralığının başlanğıcı, (2) məsələsində əyrinin verilmiş M nöqt
əsinin absisi) yenə funksiyanın təyin oblastına daxil olan yeni x x x ∆ + = 1 qiym ətinə keçirik və funksiyanın yeni ( ) x x f y y y ∆ + = ∆ + = 1
( ( )
x f - h
ər-hansı ] [
b a inte
rvalında təyin ola bilər) qiymətini tapırıq ( (1) m
əsələsində zamanın baxılan aralığının sonunda düşən cismin keçdiyi yol; (2) m əsələsində - əyrinin yeni P nöqtəsinin ordinatı) 2 0 . Funksiyanın ( ) ( ) x f x x f y − ∆ + = ∆ artımını tapırıq ((1) mə- s ələsində zamanın baxılan aralığında düşən cismin getdiyi yol; (2) mə- s ələsində M və P nöqtələri ordinatlarının fərqi) 3 0
( ) ( )
( ) x F x x f x x f x y ∆ = ∆ − ∆ + = ∆ ∆
((1) m əsələsində x ∆
aralıq vaxtında düşən cismin orta sürəti; (2) m əsələsində MP kəsəninin bucaq əmsalı). Verilmiş nisbət 0 = ∆x -dan 84
başqa x ∆ -in ] [
b x a − − , intervalından olan bütün qiymətlərində t əyin olunmuşdur. 4. Arqument artımı sıfıra yaxınlaşdıqda funksiya artımının ar- qument artımına nisbətinin limitini (əgər varsa) tapırıq: x y x ∆ ∆ → ∆ 0 lim .
Başqa sözlə 0 → ∆x
şərtində ( ) x F ∆
funksiyanın limitini axtarırıq (varsa). ( (1) m əsələsində x momentində düşən cismin ani sürəti; (2) mə- s ələsində M nöqtəsində əyriyə toxunanın bucaq əmsalı). 1 0
0
əməllər ardıcıllığına bir mürəkkəb əməliyyat kimi baxılır və f funksiyasının diferensiallanmanın adlanır. Arqumentin müəyyən qiy- m əti qeyd edilirsə, diferensiallanmanın nəticəsi müəyyən ədəd olur. Arqumentin müxt əlif qiymətlərinə diferensiallanmanın nəticəsi kimi ümumiyy ətlə müxtəlif ədədlər uyğundur. (zamanın müxtəlif moment- l ərində cismin hərəkət sürəti müxtəlifdir, əyrinin müxtəlif nöqtələrində toxunanın bucaq əmsalı müxtəlifdir). Bel
əliklə, funksiyanın diferensiallanması nəticəsində həmin x ar- qumentinin yenid ən hər-hansı funksiyası alınır. Bu yeni funksiya
′ il ə işarə edilir və törəmə funksiya və ya sadəcə: verilmiş f funksiyasının tör əməsi adlanır. Bel əliklə, törəmənin arqument artımı sıfra yaxınlaşdıqda funksiya artımının arqument artımına nisbətinin limitindən ibarət məlum tərifinə g əlirik. Göründüyü kimi törəmə anlayışını vermək üçün 2-3 konkret m əsələyə baxmaq lazım gəlir. Bel əliklə, təbii olaraq belə tərif alınır: Verilmiş f(x) funksiyasının x nöqtəsindəki artımının onu yaradan arqument artımına nisbətinin, arqument artımı sıfra yaxınlaşdıqda, li- mitin ə, əgər bu limit varsa, f(x) funksiyasının x nöqtəsində törəməsi de- yilir. Bu t ərifi almaq üçün ani sürət, xəttə toxunan haqqında məsələlər- d ən başlayıb, sonra isə funksiyanın dəyişmə sürəti haqqındakı məsə- l ələrə keçmək məsləhətdir, başqa sözlə funksiyanın törəməsi anlayışı bu anlayışa gətirilən məsələlər əsasında formalaşdırılmalıdır. Qeyd edək ki, m
əsələlər nə qədər müxtəlif olsa bir o qədər yaxşıdır, çünki məhz t ətbiqin müxtəlifliyi törəmə anlayışının ümumiliyini göstərir. Onu da qeyd ed ək ki, baxdığımız ani sürət haqqında məsələ törəmənin mexa- niki, x əttə toxunan haqdakı məsələ ilə həndəsi mənalarını izah etməyə imkan verir. 85
Funksiya artımının onu yaradan arqument artımına nisbətinin bu axırıncı sıfra yaxınlaşdıqda, limitinin hesablanmasına gətirən məsələləri şagirdlərlə nəzərdən keçirərkən ixtiyari funksiya üçün belə limitə bax- mağın məqsədəuyğunluğunu qeyd etmək lazımdır. Əvvəl baxdığımız ani cərəyan şiddəti, istilik tutumu və kimyəvi reak
siyanın sürəti məsələləri haqqında da aşağıdakıları qeyd etmək z əruridir. a) t momentind ə ani cərəyan şiddəti t İ
elektrik miqdarının ( ) t q
zamana n əzərən törəməsidir, yəni ( )
( ) ( )
t q dt t dq t İ ′ = =
b) τ temperaturunda ( ) τ
istilik tutumu cismin aldığı ( ) τ
istilik miqdarının τ temperaturuna n əzərən törəməsidir. Yəni ( )
( ) ( )
t Q d dQ c ′ = = τ τ τ
c ) zamanın verilmiş t anında kimyəvi reaksiyanın sürəti reaksiyada iştirak edən maddənin ( )
miqdarının t zamanına nəzərn törəməsidir, y əni
( ) ( )
t y dt t dy ′ = . Şagirdlərin diqqətini cəlb etmək lazım gələn başqa bir mühüm cə- h ət də aşağıdakından ibarətdir. Tör əmənin tərifindən alınır ki, ( )
=
funksiyanın x nöq- t əsindəki törəməsi, x-in seçilməsindən asılı olan, lakin x ∆ -in seçil- m əsindən asılı olmayan funksiyadır. ( )
funksiyasının törəməsinə müxtəlif x nöqtələrində baxsaq, onda biz ümumiyy ətlə desək müxtəlif qiymətlər alarıq. Bel əliklə,
( ) x f ′ tör əməsi verilmiş ( )
x f y =
funksiyasının təyin oblastı yaxud onun hər hansı hissəsi ilə ( ( )
=
funksiyasının özü- nün bütün t əyin oblastında törəməsi olmadığı hal üçün sonuncu doğ- rudur) üst-üst ə düşən çoxluqda təyin olunmuş, x dəyişməsindən asılı funksiyadır. M əsələn,
2 x y = funksiyas ı bütün ədəd düz xətti üzərində +∞
< ∞ − x t əyin olunmuşdur, törəməsi x y 2 = ′ dir ki, o da bütün +∞
∞ − x
ədəd düz xəttində təyin olunubdur, x y
funksiyası isə 86
+∞ < ≤ x 0 da t
əyin olub, x y 2 1 = ′ tör əməsi isə +∞
< x 0 da t əyin olunubdur. Başqa sözlə x=0 qiymətini ataq y ′ -in t əyin oblastına daxil deyil. Funksiyanın törəməsinin təyin edilməsinin alqoritmik olduğunu başqa sözlə funksiyanın törəməsinin tapılması əməliyyatının daha sadə əməllərə-addımlara ayrıldığını şagirdlərin başa düşmələri faydalıdır. Doğrudan da f(x) funksiyasının x nöqtəsində törəməsini tapmaq üçün 4 addımdan (bəzən 3 və ya 5 addımdan ibarət sxem təklif olunur) ibarət h ər hansı qayda-sxem göstərmək olar: 1 0 . x arqumentin ə
∆
artımı vermək və arqumentini x x ∆ + qiym
əti üçün funksiyanı nəzərdən keçirmək, yəni ( ) x x f ∆ + .
2 0 . Funksiyanı arqumentin x ∆
arqumentinin doğurduğu f ∆
artı- mını hesablamalı: ( ) ( )
x f x x f f − ∆ + = ∆ .
3 0 . Funksiya artımının arqumenti artımının nisbətini tapmaq. 4 0
0 → ∆x - da bu nisb ətin limitini hesablamaq: ( )
∆ ∆ = ′ → ∆ 0 lim . Qeyd yuxarıda konkret misallarla yanaşı olaraq bu sxem göstə- rilmişdir. Orada funksiyanın törəməsinin tapılması əməliyyatının alqo- ritmik olduğunu qeyd etməklə qurtarmaq olardı. Tör əmənin tapılmasının bu qaydasını misallar üzərində ətraflı araş- dırmaq lazımdır. Belə misallardan birinə baxaq. ( )
3 x x f =
funksiyası verilir. ( )
x f ′ tör əməsini tapaq. 1.
x arqumentin ə
∆
artımı verək və x x ∆ + arqumenti üçün funksiyanın qiymətinə baxaq, yəni ( ) (
) 3
x x x f ∆ + = ∆ + 2.
f ∆ -i hesablayaq: ( ) ( ) (
) ( ) ( )
3 2 2 3 3 3 3 x x x x x x x x x f x x f f ∆ + ∆ + ∆ = − ∆ + = − ∆ + = ∆
3. x f ∆ ∆ nisb
ətini tapaq: ( ) ( )
( ) 2 2 3 2 2 3 3 3 3 x x x x x x x x x x x f ∆ + ∆ ⋅ + = ∆ ∆ + ∆ + ∆ ⋅ = ∆ ∆
4. 0 → ∆x -da
x f ∆ ∆ nisb ətinin limitini hesablayaq: 87
( ) ( )
( ) 2 2 2 0 0 3 3 3 lim
lim x x x x x x f x f x x = ∆ + ∆ ⋅ + = ∆ ∆ = ′ → ∆ → ∆ , y
əni ( )
( ) 2 3 3x x x f = ′ = ′
Şagirdlərdə belə bir təsəvvürdə yaratmaq lazımdır ki, bütün funk- siyaların (hətta kəsilməyən) təyin oblastının hər-bir nöqtəsində törə- m əsinin varlığını demək olmaz. Bunun üçün şagirdlərlə bir neçə misala ba xmaq lazımdır: Misal 1. ( )
][ ][ ] ] [ [ ∞ + ∪ − ∞ − ∈ − − − ∈ + + − = − − = , 2 1 , , 2 2 , 1 , 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x f
funksiyasının törəməsini tapın (Şəkil 14). H əlli: a) Fərz edək ki, ] [
, 1 − ∈ x , onda
( ) 2 2 + + − = x x x f , bel əliklə ( )
1 2 + − = ′ x x f
b) F ərz edək ki, ] ] [ [ ∞ + ∪ − ∞ − ∈ , 2 1 , x , onda
( ) 2 2 − − = x x x f . Tör əmənin tərifindən istifad
ə edərək verilmiş funksiyanın törəməsini ixtiyari nöqt ədə tapaq: ] [ ]
[ ∞ + ∪ − ∞ − ∈ , 2 1 , x : ( ) 1 2 − = ′
x f
c ) İndi isbat edək ki, verilmiş funksiya- nın x=-1 və x=2 nöqt
ələrində törəməsi yoxdur.
1. F ərz edək ki, 1 −
x , onda
( ) 2 2 + + − = x x x f .
∆ -i el
ə seçək ki, 1 1 − > ∆ + −
, başqa sözlə 0 > ∆x olsun. Odur ki, ( )
0 1 = − f
olduğunu nəzərə alıb ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 lim 1 lim
1 1 lim 1 lim
2 0 0 0 0 0 0 0 0 = ∆ ∆ − ∆ = ∆ ∆ + − = ∆ − − ∆ + − = ∆ − ∆ > ∆ → ∆ > ∆ → ∆ > ∆ → ∆ > ∆ → ∆ x x x x x f x f x f x f x x x x x x x x
tapırıq. 88
2. F ərz edək ki, 1 −
x , onda
( ) 2 2 − − = x x x f . İndi
x ∆ -i el ə seç
ək ki, 1 1 − < ∆ + − x , y
əni 0
∆x olsun. Odur ki, ( ) 0
= −
olduğunu nəzərə alıb tapırıq. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 lim 1 lim
1 1 lim 1 lim
2 0 0 0 0 0 0 0 0 − = ∆ ∆ + ∆ − = ∆ ∆ + − = ∆ − − ∆ + − = ∆ − ∆
∆ →
< ∆ → ∆ < ∆ → ∆ < ∆ → ∆ x x x x x f x f x f x f x x x x x x x x
3 3 − ≠ olduğundan ( ) 2
− − = x x x f
funk- siyasının x=-1 nöqtəsində tör
əməsi yxdur. Analoji ola- raq isbat etm ək olar ki, ve- rilmiş funksiyanın x=2 nöq- t əsində də törəməsi yoxdur. X sinifd ə aşağıdakı mi- sala da baxmaq olar. Misal 2. ] [
π , − intervalında ( )
sin
=
funksiyanın törəməsini tapın (şəkil 15). Modul anlayışından istifadə edərək verilmiş funksiyanı aşağıdakı şəkildə yazaq: ( )
< < − − < ≤ = 0 , sin 0 , sin x x x x x f π π x arqumentinin π
≤ x 0 b
ərabərliyini ödəyən qiymətləri üçün verilmiş funksiya ( )
sin
= il
ə üst-üstə düşdüyündən π
< x 0 üçün ( ) x x f cos
= ′ , 0 =
nöqt əsində isə alırıq: ( ) ( )
1 0 sin sin lim
0 0 lim 0 0 0 0 = ∆ − ∆ = ∆ − ∆ + > ∆ → ∆ > ∆ → ∆ x x x f x f x x x x
Analoji olaraq x-in 0 < < −
π b
ərabərsizliyini ödəyən qiymət- l əri üçün, verilmiş funksiya ( ) x x f sin
− =
funksiyası ilə üst-üstə düşür, odur ki, 0
−
π üçün
( ) x x f cos
− = ′ , 0 = x nöqt
əsində is ə alırıq: ( ) ( )
1 0 sin sin lim
0 0 lim 0 0 0 0 − = ∆ − ∆ − = ∆ − ∆ + < ∆ → ∆ < ∆ → ∆ x x x f x f x x x x
89
Bel əliklə,
( ) x x f sin
=
funksiyasının ( π < x üçün) ixtiyari x nöqt əsində burada 0 < < −
π v
π < < x 0 , tör əməsi vardır, 0 = x
nöqt əsində isə 1 1 − ≠
olduğundan verilmiş funksiyanın törəməsi yox- dur. Baxılan misallar göstərir ki, təyin oblastının hər-hansı nöqtəsində tör əməsi olmayan funksiyalar vardır. Maraq m əşğələlərdə törəmənin varlığının zəruri şərtini nəzərdən keçirm ək, başqa sözlə aşağıdakı teoremi öyrənmək faydalıdır: ( ) x f
funksiyasının a nöqt
əsində törəməsi vardırsa, onda o bu nöqtədə kəsil- m əyəndir. İsbatı: Şərtə görə a nöqt
əsində ( )
x f
funksiyasının törəməsi, başqa sözlə sonlu limiti vardır. ( ) ( ) ( ) a f x a f x a f x ′ = ∆ − ∆ + → ∆ 0 lim
( ) ( )
a f x f a x = → lim münasib
ətin ödənildiyini göstərsək, teoremi isbat et miş olarıq. Beləliklə ( ) x f
funksiyasının a nöqtəsində limitinin var- lığını və f(a) -ya bərabər olduğunu başqa sözlə bu nöqtədə funksiyanın qiym
ətinə bərabər olduğunu isbat etmək lazımdır. Bu m
əqsədlə aşağıdakı limitə baxaq: ( ) ( )
[ ] ( ) ( ) ( ) a x a x a f x f a f x f a x a x − ⋅ − − = − → → lim lim
. a x →
şərtindən 0 → ∆x
şərtinin alındığını nəzərə almaqla d əyişəni
x a x ∆ + = il
ə əvəz edək, onda alırıq: ( ) ( )
[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 lim lim
lim lim
0 0 0 = ⋅ ′ = ∆ ⋅ ∆ − ∆ + = ∆ ⋅ ∆ − ∆ + = − → → → →
f x x a f x a f x x a f x a f a f x f x x x a x
Bel əliklə, ( ) ( )
[ ] 0 lim = − → a f x f a x , y
əni ( ) ( )
a f x f a x = → lim . O c əhətə diqqət verilir ki, funksiyanın nöqtədə kəsilməzliyi funksiyanın bu nöqtədə törəməsinin varlığı üçün zəruri şərtdir. Sonra qey d edilir ki, funksiyanın nöqtədə kəsilməzliyi həmin funksiyanın baxılan nöqtədə törəməsinin varlığı üçün kafi şərt deyildir. Ola bilər ki, funksiya nöqt ədə kəsilməyəndir, lakin həmin nöqtədə onun törəməsi yoxdur. Əvvəl baxdığımız funksiyalar buna misal ola bilər. Məsələn ( ) 2
− − = x x x f
funksiyası x=-1 və x=2 nöqtələrində k əsilməyəndir, lakin bu nöqtələrdə onun törəməsi yoxdur. 90
( ) π
=
, sin funksiyası x=0 nöqtəsində kəsilməyəndir, lakin bu nöqt ədə onun törəməsi yoxdur. IV. Funksiyanın verilmiş nöqtədə törəməsinin həndəsi mənası bu nöqt
ədə funksiyanın qrafikinə çəkilmiş toxunanla əlaqədardır. Bu əlaqəni aydınlaşdırmaq üçün əvvəlcə nöqtədə funksiyanı qrafikinə toxunan t ərifini vermək lazımdır. F ərz edək ki, kəsilməyən ( ) x f y = f unksiyası verilir (Şəkil 16). Onun qrafiki çertyojda göst ərilib. Funksiyanın qrafiki üzərində absisi 0
olan M v ə absisi x x ∆ + 0 -
ə bərabər olan ixtiyari N nöqtələrinə baxaq. M v ə N nöqtələrindən funksiyanın qrafikinin kəsəni adlanan MN düz x
əttini çəkək. MN kəsəninin bucaq əmsalı x y tg k ∆ ∆ = = β -dir. İndi fərz edək ki, 0 →
. Bu o dem əkdir ki, N nöqtəsinin absisi M nöqt əsinin absisilə ya- xınlaşır; bu sonuncu isə öz növb
əsində o demək- dir ki, N nöqt əsi funk- siyanın qrafiki üzərində qalmaqla M nöqt əsinə
ya xınlaşır. Bu şərtlər da- xilind ə, ümumiyyətlə de- s ək, MN kəsəni M nöq- t əsi ətrafında fırlanaraq öz v əziyyətini dəyişib (MT) v əziyyətini tutur. N nöqt əsi əyri üzrə M nöqt əsinə yaxınlaşdıqda kəsənin limit vəziyyəti olan MT düz xətti vardırsa, onda bu düz xəttə M nöqtəsində funksiyanın qrafikinə toxunan deyilir. Bu zaman “k əsənin limit vəziyyəti” istilahı altında MN kəsənin tutduğu elə (MT) vəziyyəti başa düşülür ki, N nöqtəsi funksiyanın qrafikind ən ibarət xətt üzrə M nöqtəsinə yaxınlaşdıqda MT və MN şüalarının əmələ gətirdiyi TMN bucağı sıfıra yaxınlaşsın. Başqa istilah- larla
, absisin funksiyası kimi baxılan TMN bucağının qiyməti 0 → ∆x
olduqda sıfıra yaxınlaşarsa, onda (MT) vəziyyəti MN kəsənin limit v əziyyəti qəbul edilir. Beləliklə, Tərif: Funksiyanın qrafikindən ibarət əyrinin ixtiyari N nöqtəsi əyri üzərində qalmaqla M nöqtəsinə ya-
91
xınlaşdıqda MN kəsənin limit vəziyyətinə funksiyanın qrafikinə M nöqt
əsində toxunan deyilir. Bel
əliklə, toxunan vardırsa alırıq: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 lim
lim lim
x f x x f x x f x y k tg x x x ′ = ∆ − ∆ + = ∆ ∆ = = → ∆ → ∆ → ∆ α .
Yuxarıda deyilənlərin hamısı törəmənin həndəsi mənasını verməyə imkan yaradır. Funksiyanın nöqtədə törəməsi vardırsa, onda bu nöqtədə qrafikə toxunan vardır, habelə nöqtədə funksiyanın törəməsi bu nöqtədə funksiyanın qrafikinə çəkilmiş toxunanın bucaq əmsalı ilə üst-üstə düşür.
Misallar üz ərində şagirdlərə izah etmək lazımdır ki, funksiyanın qrafikind ən ibarət əyriyə hər hansı nöqtədə toxunan çəkmək mümkün deyil. M əsələn, 17-ci şəkildə çəkilmiş əyrinin M nöqtəsində toxunanı yoxdur, çünki bu nöqt ədə əyriyə sol və sağ hissədən çəkilmiş toxunanlar müxt əlifdir. Bu növdən olan əyrilərə misal ( )
sin
= v ə ( ) 2 2 − − = x x x f
funksiyaların qrafikləri ola bilər. Məsələn, ( ) x x f sin
= üçün absisi x=0 nöqt əsində toxunanı yoxdur, ( )
2 2 − − =
x x f
funksiyası qrafikinin isə absisi x=-1 və x=2 olan nöqt ələrdə toxunanı yoxdur. V. Tör əmə haqqında əsas teoremlərin (cəbri cə- min, hasilin, iki funksiya- nın nisbətinin törəməsi haq
qında teoremlər) isbatı habel
ə hər hansı funksi- yanın kvadrat kökünün tö- r əməsinin tapılması, tərs funk siyanın (ümumi teo- rem) diferen siallanması tə- rif ə əsasən, belə ki, dörd addımdan ibarət məlum sxem-alqoritm üzr ə, yerinə yetirilir. Bu sxemd ən isti- fad
ə bilavasitə diferensial- 92
lama il ə əlaqədar misallar üzərində öyrədildiyindən göstərilən tək- lifl ərin isbatı bir qayda olaraq şagirdlərdə çətinliyə səbəb olmur. Tör əmə haqqında əsas teoremlərdən istifadə edərək tam üstlü qüv- v ət funksiyasının diferensiallanması düsturunu, çoxhədlinin (tam ra- sional funksiya), k əsr-rasional funksiyanın diferensiallanma qaydasını çıxarmaq olar. Triqonometrik funksiyaların diferensiallanması düsturları haqqında b əzi qeydlər edək. Şagirdlər tam aydın başa düşməlidirlər ki, prinsip etibarı ilə yalnız bir düsturu çıxarmağı bacarmaq lazımdır: x x cos
n si = ′ . Bütün qalan düsturlar ondan mür əkkəb funksiya və qismətin diferensiallama qay- dasının tətbiqinə aid çalışma kimi alınır. Bu onunla izah edilir ki, bütün triqonometrik funksiyalar sonlu sayda c əbri əməliyyatın tətbiqi ilə bir triqonometrik funksiya, m əsələn sinus vasitəsilə ifadə edilə bilər. Lakin bu düstur tamamı ilə xüsusi qayda ilə çıxarılır. Birincisi, ikinci addımın yerinə yetirilməsi zamanı (funksiya artımının axta- rılması) xüsusi priyomdan istifadə etmək-triqonometrik funksiyalardan f ərqindən onların hasilinə keçmək lazım gəlir. İkincisi isə limitə ke- ç ərkən xüsusi metoda müraciət etmək – birinci mühüm limiti tətbiqi la- zım gəlir. Bütün bunlar artıq o qədər çətin deyil, lakin bir qədər göz- l ənilməzdir və müəllimin triqonometrik funksiyaların cəbri funksiya- lardan f ərqli bir sıra məxsusi xüsusiyyətlərinə şagirdlərin diqqətini cəlb etm əyə müəyyən qədər vaxt sərf etməsinə dəyər ki, bəzi prinsipial m əsələləri təkrar edə bilsin. İş burasındadır ki, məktəblilərin müəyyən hissəsi üçün triqono- metriya J.Dedonnenin ifad əsinə görə “düsturlar damıdır”. Həqiqətən düsturlar çoxdur, lakin mü əllim heç də həmişə qeyd etmir ki, onların mü əyyən hissəsi təriflərin birbaşa nəticəsidir və yalnız sinusların (kosi- nusların) cəmi əsl yeni faktdır, deməli məhz bu düsturları yaxşı bilmək v ə çıxarmağa bacarmaq lazımdır. Sinusun diferensiallanması düsturu- nun çıxarılmasının “ikinci addımı” onun nəticəsinə əsaslanır. Lakin şa- girdl
ər adətən bu vaxtda toplama teoremini xatırlamırlar. Mü əllimin təkcə sinusların fərqi düsturunu yenidən şagirdlərin sa- d əcə əzbərləməyə məcbur etmək imkanı deyil aşağıdakı sxem üzrə t əkrarı təşkil etmək imkanı vardır: triqonometrik funksiyaların tərifi – vektorun koordinatları, toplama teoremləri – triqonometrik funksiya- ların cəmi və fərqi düsturları. 93
Mür əkkəb funksiyanın diferensiallanması haqqında teorem “Cəbr v ə analizin başlanğıcı” kursunun proqramına daxildir, odur ki, ondan m əsələn
( )
ax + sin , x sin
lg v
ə ya ( ) 100 b ax +
kimi funksiyaların diferensiallanmasında istifadə etmək lazımdır. Vaxta q ənaət etmək məqsədi ilə göstərilən teoremi şagirdlərlə n əzərdən keçirmək və elementar funksiyaların törəmə düsturlarının çoxalmasında mümkün qədər geniş istifadə etmək məqsədəuyğundur. M əsələn, ( ) [ ] ( ) b ax a b ax + = ′ + cos sin ;
( ) [ ] ( ) b ax a b ax + − = ′ + sin cos
;
d üsturları aşağıdakı kimi çıxarılır: ( ) [ ] ( ) [ ] ( )
ax a b ax b ax b ax + = ′ + ⋅ + = ′ + cos
cos sin
, ( ) [ ] ( ) [ ] ( )
ax a b ax b ax b ax + − = ′ + ⋅ + − = ′ + sin sin
cos
“C əbr və analizin başlanğıcı ” kursunda (X sinif) üstlü və loqarifmik funksiyaların törəməsinə baxılır. Metodik c əhətdən çətin olan bu məsələnin izahatın bir neçə variantı vardır. 1) Əvvəlcə natural loqarifmin törəməsi tapılır, sonra isə tərs funksiyanın diferensiallanması haqqında teoremdən istifadə edərək
üstlü funksiyasının törəməsi tapılır; sonra mürəkkəb funksiyanın diferensiallanması qaydasını nəzərə almaqla üstlü funksiyanın törəməsi düsturu çıxarılır, nəhayət loqarifmik funksiyanın törəməsi düsturu mü əyyən edilir. 2) a x a x x ln 1 lim 0 = ∆ − ∆ → ; Burada c a = ln götürm ək olar. Şəkildə limitin varlığını qəbul edib və törəmənin tərifindən istifaə edib üstlü funksiyanın törəməsi üçün aşağıdakı düsturun doğruluğu müəyyən edilir: ( )
x x ca a = ′ . Sonra c=1 baxılır, bu hal üçün a
əsasının qiyməti tapılır, yəni l a =
tapılır. Bel
əliklə, x e
üstlü funksiyanın törəməsi üçün düstur müəyyən edi- lir. Sonra mür əkkəb funksiyanın diferensiallanması haqqında teorem- d ən istifadə edərək natural loqarifmin, üstlü və loqarifmik funksiyanın 94
tör əmələri tapılır. Üstlü və loqarifmik funksiyaları törəməsinin tapıl- masının bu üsulu, yeni proqramın izahat vərəqəsində uyğun məsləhət verilm
əsinə baxmayaraq, bizə belə gəlir ki, şagirdlər üçün çətindir. 3)
( )
x = + → α α 1 0 1 lim
şəkildə limitin varlığını (ikinci mühüm limit) isbatsız qəbul etsək, onda asanlıqla müəyyən etmək olar ki, ( ) k e k = + → α α α 1 0 1 lim
. Doğrudan da β α
k
əvəz edib, yəni k β α = , üstlü funksiya k əsilməyən olduğundan alırıq:
( ) ( ) ( ) k k k e k = + = + = + → → → β β β β α α β β α 1 0 1 0 1 0 1 lim 1 lim 1 lim
. Sonra tör əmənin tərifindən istifadə edərək
log
= loqarifmik funksiyanın diferensiallanması düsturunu çıxarmaq olar. a)
x arqumentin ə
∆
artımı verək. Onda funksiyanın yeni qiyməti ( ) ( )
x x x f a ∆ + = ∆ + log . b) ( ) ( )
( ) ∆
+ = ∆ + = − ∆ + = − ∆ + = ∆
x x x x x x x x f x x f f a a a a 1 log log log
log ; c) x a a x x x x x f ∆ ∆ + = ∆ ∆ + = ∆ ∆ 1 1 log
1 log
α
d) x a x x x x x f ∆ → ∆ → ∆ ∆ + = ∆ ∆ 1 0 0 1 log lim
lim
Sonra loqarifmik funksiyanın kəsilməzliyindən və yuxarıdakı limit ə baxmaqla loqarifmik funksiya üçün axtarılan düsturu tapırıq: ( )
x e x e x x x f x a x a x x a x a ln 1 log 1 log 1 lim
log lim
log 1 1 0 0 = = = ∆ + = ∆ ∆ = ′ ∆ → ∆ → ∆ . Bu düsturdan xüsusi halda alırıq: 95
( ) x x 1 ln = ′ . Mür əkkəb funksiyanın törəməsi haqqında teoremdən alınır:
( ) ( ) ( ) ( )
x u x u x u ′ = ′ ln v ə ya ( )
( ) ( ) ( ) a x u x u x u a ln log ′ = ′ . İndi loqarifmik funksiyanın törəməsi düsturundan istifadə edərək üstlü funksiyanın törəməsini müəyyən edək.
= baxaq. Bu b əra- b ərliyi loqarifmalayaraq alırıq: a x y ln ln = . Sonra alınmış bərabərliyi diferensiallayırıq. ( )
( ) (
) ′ = ′ a x x y ln ln , y əni
a y y ln = ′ , bel
əliklə a y y ln = ′ , n əticədə ( )
a a a x x ln = ′ . N əticədə loqarifmik funksiyanın törəməsi düsturundan və mürəkkəb funksiyanın diferensiallanması teoremindən istifadə edərək α
= , bura- da α -ixtiyari h əqiqi ədəddir, qüvvət funksiyasının törəməsi düsturunu ne- c ə çıxarmaq mümkün olduğunu göstərək. α x y =
nı loqarifmalayıb alırıq: x y ln ln α = , sonra bu b ərabərliyi diferensiallayıb alırıq: x y y 1 ⋅ = ′ α
, y əni
1 − = ⋅ = ⋅ = ′ α α α α α x x x x y y
Bel əliklə, nəticədə ( )
1 − ⋅ = ′ α α α
x . Tör əmə anlayışı təkcə riyaziyyatın deyil, habelə başqa elmlərin (fizika, kimya v ə s.) və texnikanın bir çox məsələlərinin öyrənilməsində qüvv
ətli vasitədir. Bu fikir törəmənin öyrənilməsinin bütün mərhələ- l ərinə də daxil olmalıdır. Download 10.77 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|