Ə. A. Quliyev
Download 10.77 Mb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- 1.14.Triqonometrik b ərabərsizliklər və tənliklər (X s.).
|
T ərif. Hər hansı funksiyalar sinfinin mənsub olduğu müəyyən xass
əni ifadə edən münasibətə funksional tənlik deyilir. Belə tənliklərə ən sadə misal 1-6 münasibətləridir. Arqumentin bütün mümkün qiym ətlərində verilmiş funksional tənliyi ödəyən ( ) x f
funksiyası hə- min t ənliyin həlli adlanır. Məsələn, ( )
log
, , , sin , , cos 3 = uyğun olaraq (1, 2, 3, 4, 5, 6) tənliklərinin həlləridir. Funksional tən- liyin h əlli ilə əlaqədar aşağıdakı şərtləri qəbul edək: 1) ( )
x f
funksiyası mənsub olduğu funksiyalar sinfinin hər bir elementind ən ixtiyari sabitlə fərqlənərsə, yaxud həmin sinfin bütün funksiyalarını özünə daxil etmirsə, ona funksional tənliyin xüsusi həlli deyilir. 60
2) ( )
x f
funksiyası müəyyən şərti ödəyən funksiyalar çoxluğunun ixtiyari elementini özün ə daxil edirsə, o, ümumi həll adlanır. 3) İxtiyari xüsusi və ümumi həllərin ( )
x f
funksiyasına daxil ol- duğu isbat edildikdə ona tam həll deyilir. Habelə müəyyən əlavə şərtlər olmaqla
( ) x f -in yegan əliyi isbat edildikdə onu da tam həll qəbul etm
ək olar. x ax x sin
, , cos 3
funksiyaları uyğun olaraq (1, 2, 3) tən- likl ərinin xüsusi həlləridir. ( ) ( ) ( )
( ) ( ) (
) x x f ax x f x x f sin
, , sin 3 φ φ φ = = = is
ə uyğun olaraq həmin tənliklərin ümumi həlləridir. Burada φ - il
ə göst
ərilən elementar funksiyalar daxil olan ixtiyari funksiya işarə edilmişdir. ( )
= is ə özünün kəsilməzlik şərti daxilində (4)-ün k əsilməyən tam həllidir. Hər hansı ( ) x ψ
funksiyasında x əvəzində ( )
x ψ götürs ək, onda ( )
x ψ - in ikinci iterasiyasını, yəni ( )
[ ] ( )
x x 2 ψ ψ ψ = alırıq. Buna ikitərtibli funksiya da deyilir. Məsələn, ( )
+ = ψ is
ə ( ) (
) b ab x a b b ax a x + + = + + = 2 2 ψ . Buna
uyğun olaraq müxtəlif tərtibli funksional tənliklər vardır. Birtərtibli funksional t ənliyə yalnız bir tərtibli funksiyalar daxil olur və s. Funksional t ənliklər axtarılan funksiyanın ona hansı dərəcədən daxil olması ilə də fərqlənirlər. Funksional tənliyin tərtibi və dərəcəsi ona daxil olan ən yüksək tərtibli və dərəcəli funksiya ilə müəyyən edilir. M əsələn,
( ) x x = 2 ψ t ənliyi iki tərtibli, bir dərəcəlidir. ( ) ( ) ( )
x x x 2 2 ψ ψ ψ = −
iki d ərəcəli və iki tərtibli tənlikdir. Funksional tənliklər dəyişənlərinin sayına gör ə də fərqlənirlər. (1, 2, 3) bir dəyişənli, (4, 5, 6) isə iki dəyişənli t ənliklərdir. Funksional tənliklərə aid ümumi anlayış verdikdən sonra, onun yaranması, inkişafı və burada ümumiləşdirmələrin rolu haqqında şagirdlərə qısa məlumat vermək olar. Bu tənliklərin öyrənilməsinə başlandığı vaxtdan çox (200 ilə yaxın) keçmişdir. Buna baxmayaraq onun vahid n əzəriyyəsi, həllinin varlığı, yeganəliyi və ümumi metodları dem
ək olar ki, yoxdur. Bir sıra funksional tənliklər isə bu vaxta qədər h əll edilməmişdir. Dalanber, Eyler və laqranjın əsərlərində bu tənliklərə aid nümun ələr vardır. Həmin tənliklərin nəzəriyyəsi ilə 1773-cü ildə Q.Monj v ə P.S.Laplas məşğul olmuşdur. Bir çox funksional tənliklərin elm ə daxil edilməsi və həlli Koşinin adı ilə bağlıdır. (5), (6) və ( ) ( ) ( ) y f x f y x f = , (7) t ənliklərini o, daxil etmişdir. (7)-in həlli 61
( ) α
y x f = , - dır. Son vaxtlarda alimlər funksional tənliklərin nə- z əriyyəsinə kompleks dəyişənli funksiyalar nəzəriyyəsini tətbiq etməyə başlamışlar. Bu tənliklərə Veyerştras, Bebec, Livensov, Sinsov və b. Mühüm
əlavələr etmişlər. Bizim dövrümüzdə isə bu sahəyə Kolmo- qorov v
ə Atsel diqqət vermişdir. Qısa tarixi məlumatdan sonra ən sadə funksional tənliklərin həlli üsulları ilə şagirdləri tanış etmək lazımdır. Funksional tənliyi həll et- m ək, bunun olub olmadığını müəyyənləşdirmək və varsa onu tapmaq dem əkdir. Adətən xüsusi, ümumi və ya tam həllər axtarılır. Bu tənliklər limit ə keçmə, diferensiallama, kompleks dəyişənli funksiyalar və sonlu f ərqlər metodlarının köməyi ilə həll edilir. Göst ərilən metodlarla həll, axtarılan funksiyanın təbiəti üzərinə ciddi m əhdudluq qoyur. Bu da verilmiş funksional tənliyin həllini axtarmağın süni üsullarını tapmağa imkan verir. Məsələn, ( ) ( ) ( ) y f x f y x f + = + t ən- li yinin, axtarılan funksiyanın kəsilən olmaması şərti ilə, yeganə ( )
= h əlli vardır. Lakin kəsilməzlik şərtindən istifadə etməsək h əmin tənliyi ödəyən kəsilən funksiya da tapmaq olar. Deməli, bu üsul- la h əll daha geniş funksiyalar sinfini əhatə edir. Ona görə də qiymət- lidir. Funksional t ənliklərin həlli metodlarının lazımı səviyyəyə çatdı- rılması, bu həllin varlığını, ümumiliyini və yeganəliyini əsaslandırmaq ciddi t
ədqiqatlar tələb edir. Biz məktəbdə bu və ya digər mövzularla əlaqədar qarşıya çıxan elementar funksional tənliklərin bəzi həlli üsul- larını verməklə kifayətlənirik. (1, 2, 3) t ənliklərinin həlli uyğun olaraq funksiyanın cüt, tək və dövrü olması xassələrinə əsasən müəyyən edilir. İsbat edilmişdir ki, (4, 5, 6, 7) t ənliklərinin həlli isə uyğun olaraq x a y ax y = = , v ə α x y x y a = = , log
funksiyalarıdır. Aydındır ki, (1, 2, 3) tənliklərinin h ər birinin sonsuz sayda həlləri vardır. (4, 5, 6, 7) tənliklərinin həlləri is ə bir birindən onlara daxil olan parametrlərlə fərqlənən xətti, üstlü, lo- qarifmik v ə qüvvət funksiyalardır. (4, 5, 6, 7) funksional tənlikləri Koşinin tətbiq etdiyi eyni bir metodla həll edilir. Koşi metodunun mahiyy
əti ondan ibarətdir ki, (4, 5, 6,7) funksional tənliklərin həlli (və ümumiyy
ətlə) tədricən arqumentin bütün natural, rasional, daha sonra h əqiqi qiymətləri üçün axtarılır. Bu metodla həll, axtarılan funksiya üz ərinə kəsilməzlik şərti qoymaqla məhdudlaşdırılır. B əzi funksional tənlikləri həll etmək üçün əvəzləmə üsulundan istifad ə edilir. Bu metod axtarılan funksiyanın təyin oblastı ilə məhdud- 62
laşdırılır. İstifadə edilən əvəzləmə yeni məchulun həmin oblastdan götürülmüş qiymətlərində mənalı olmalıdır. Funksional tənliyi əvəz- l əmə metodu ilə həll etməyin mahiyyəti belədir: verilmiş tənliyə daxil olan x-in (v ə ya y-in) əvəzində müvafiq qiymətlər götürülür. Alınmış yeni t ənlik (və ya tənliklər) verilmiş tənliklə kombinasiya edilməklə axtarılan funksiyaya nəzərən cəbri tənlik alınır. Belə tənliyi isə məlum aradan çıxarma üsulu ilə asanlıqla həll etmək olar. Lakin müxtəlif funksional t ənlik üçün aparılan əvəzləmənin xarakteri müxtəlifdir. M əsələn,
( ) ax x x a = + 1 ψ ψ (8) funksional t ənliyi həll etmək üçün x yerind ə
1
yazıb ( ) x a x a x = + 1 ψ ψ (9) alırıq. (8) və (9) – dan
x 1 ψ - i k ənar edib ( ) (
( ) 2 2 1 1 a x ax a x − − = ψ
tapırıq. Sonra ( )
x ψ -in qiym ətini (9)-da yerinə yazıb ( )
) 2 2 1 1
x a x a x − − = ψ
alırıq. İndi ( )
x x a a f x f =
− − 2 (10) t
ənliyini ödəyən ( )
x f
funksiyasının təyin edilm əsinə də şagirdlərin diqqətini cəlb etmək olar. ( )
funksiyasını t əyin edən (10) bərabərliyindən görünür ki, bu funksiya x-in hər hansı qiym ətində təyin olunmuşdursa o, x a a − 2 qiym ətində də təyin olunmuşdur. Odur ki, x yerində həmişə
− 2 yazmaq olar. Onda x a a x a ax f x a a f − = − + − 2 2 2
(11) alırıq. Yenidən (11)-də x yerind
ə x a a − 2 yazsaq ( )
x a ax x f x a ax f 2 2 − = + − (12) b ərabərli- yi ni yazarıq. (11) bərabərliyini -1-ə vurub alınan bərabərliyə (10) və 63
(12) –i əlavə edib ( ) (
a x x a x a x x f − + − = 2 3 2 3 tapırıq. Bilavasitə yoxlama il ə şagirdlər alınmış funksiyanın verilmiş tənliyi ödədiyini müəyyən- l əşdirilər. Bel əliklə,
( ) ( ) ( ) ( ) a x x a x a x a x ax a x x a kx x f a a x − + − − − = 2 , 1 1 , , log
, , 3 2 3 2 2
funksiyalarının uyğun funksional tənliklərlə verilməsi üsullarını izah etdik. Eyni zamanda h əmin funksional tənliklərin həlli üsullarını da göst ərdik. Funksiyanın, təkliyi, cütlüyü və dövrülüyünü ifadə edən b ərabərliklərin funksional tənlik olduğunu xatırlatdıq. Məktəbdə öyrə- nil ən funksiyaların hamısı haqqında belə məsələ qoymaq olar. Deməli, funksiyanın funksional tənliklər vasitəsilə verilməsi məsələsini daha ətraflı işləmək maraqlıdır. (8) v ə (9) tənliklərinin həllindən sonra ( ) x x f x f 3 1 2 = + funk- sional t
ənliyini, şagirdlər (8) dən istifadə ilə müstəqil həll edib ( )
x x x f x x x f 1 1 , 2 1 − = − =
(12) olduğunu tapa bilərlər. Funksional t ənliklərin məktəb riyaziyyatına tətbiqinə də nümunə göst ərmək olar. “Hansı diferensiallanan funksiyaların belə xassəsi vardır: c b a , ,
ədədləri ədədi silsilə əmələ gətirərsə, onda ( ) ( ) ( ) c f b f a f , , ədədləri də ədədi silsilə əmələ gətirir”. Üç h əddən ibarət hər bir ədədi silsiləni y x y x x 2 , , + + şəkildə
yazmaq olar. f funksiyası tələb olunan xassəni ödədiyindən ixtiyari R y x ∈ , üçün ( ) (
) ( ) y x f y x f x f + = + + 2 2 (13) b
ərabərliyi ödə- nilir. Bu is ə funksional tənlikdir. Bəzi funksional tənlikləri törəmənin t ətbiqi ilə də həll etmək olar. Bu üsulu (13)-ün həlli üzərində göstərmək olar. (13) funksional t ənliyinin hər iki tərəfinə R y ∈ d əyişəninin funksiyası kimi baxıb diferensiallasaq ( )
) y x f y x f + ′ = + ′ 2 2 2 eyni- liyini alırıq. Buradan alınır ki, ( )
′
sabit funksiyadır. Odur ki, ( )
b kx x f + = , burada R b k ∈ , . T ərsinə,
( ) b kx x f + = olduqda (13) b ərabərliyi ( ) (
) ( ) [ ]
y x k b y x k b kx + + = − + + + 2 2
şəklə düşür, 64
bel əliklə, ixtiyari R b k ∈ , üçün öd ənilir. Deməli məsələnin şərtini yal- nız və yalnız xətti funksiyalar ödəyir. Aşkardır ki, buradan daha ümumi hökm alınır: hər bir ədədi silsiləni ədədi silsiləyə yalnız xətti funk- siyalar çevirir. Onu da bilm ək lazımdır funksional tənliklərin həllində ixtiyari t ərtibdən törəmədən istifadə edilə bilər. Bel əliklə, funksional tənlik anlayışına baxmaqla şagirdlərin tən- liyin növl əri haqqında məlumatlarını genişləndirmək və onların mü- vafiq ümumil əşdirmə imkanlarını artırmaq mümkündür. (1-6) tənlikləri haqq ında deyilənlərdən aydındır ki, şagirdlər funksional tənliklərlə m əktəbdə qarşılaşırlar, lakin belə istilahdan istifadə etmirlər. 1.14.Triqonometrik b ərabərsizliklər və tənliklər (X s.). Belə b ərabərsizliklərin həllində aşağıdakı ümumi priyomdan istifadə etmək olar. F ərz edək ki, ( ) 0
x f (1) t
ənliyi həll edilmişdir, yəni onun bütün kökl
əri məlumdur və artma ardıcıllığında yazılmışdır. Bu köklər ( )
x f
funksiyasının təyin oblastını sonlu və ya sonsuz sayda aralıqlara bölür. F ərz edək ki, 1 −
x v ə i x (1) t
ənliyinin iki qonşu kökləridir; ( )
x f funk-
si yası kəsilməyəndirsə, onda ( )
i x x , 1 − intervalında, sıfıra çevrilmədi- yind ən, onun işarəsi sabitdir. Baxılan halda (1) tənliyinin kökləri ( ) x f
funksiyasının təyin oblastını sabit işarəli intervallara bölür. ( ) 0 > x f
b ərabərsizliyinin ümumi həlli ( )
x f
funksiyasının müsbət olduğu bütün in tervallardır. ( )
funksiyası k f f f f ...
2 1 = vuruqlarına ayrılmış- dırsa və ayrı-ayrılıqda hər bir vuruq üçün işarə sabitliyi intervalları mü əyyənləşdirilmişdirsə, onda bu intervalların hamısını bir çoxluqda birl əşdirib
( ) x f -in t
əyin oblastının sabit işarəli intervallara ayrılmasını alırıq.
( ) 0 > x f (v
ə ya ( )
0 < x f ) b
ərabərsizliyi mənfi vuruqların sayı cüt (t
ək) olan intervallarda ödənilir. Məsələn, x x 3 sin sin > (2) b əra- b ərsizliyinin həllinə baxaq. (2) b ərabərsizliyi 0 sin
2 cos
, 0 sin 2 cos
2 , 0 3 sin
sin < ⋅ > − > − x x x x x x b ərabərsizlikləri ilə birgüclüdür. 0 sin 2 sin
= x x t ənliyinin [ ] π π , − seqmentind ə sol tərəfin dövrünü əhatə edən köklərini tapaq. 0 2
= x v ə 0 sin
= x t ənliklərini 65
h əll edib 0 ,
3 , 4 = ± = ± =
x x π π v ə π ± =
alırıq. Tapılan köklərin [ ] π π , − seqmentini böldüyü intervalların hər biri üçün işarələrin paylanması cədvəlini tərtib edək.
π
< 4 3 π −
< 4 π −
0
4
π 4
3
π
+ + 0 - 0 + + + 0 - 0 + + sinx 0 - - - - - 0 + + + + + 0 cos2x
sinx 0 - 0 + 0 - 0 + 0 - 0 + 0
Bel əliklə (2) bərabərsizliyi
− − − π π π π π 4 3 , 4 , 0 , 4 , 4 3 ,
intervallarında ödənilir. Ümumi həll üç həllər seriyasından ibarətdir: ( ) − − π π 4 3 2 , 1 2 k k ; − π π
k 2 , 4 1 2 ; + + π π 4 3 2 , 4 1 2 k k
Bu zaman c əbri bərabərsizliklərin həllində intervallar metodunun əhəmiyyətini və bu metodun ümumiləşdirilməsini xatırlatmaq lazımdır. T əcrübə göstərir ki, şagirdlər triqonometrik tənliklərə nisbətən triqo- nometrik b ərabərsizliklərin həllində daha çox çətinlik çəkirlər. Xüsusən son n əticədə alınmış əsas bərabərsizliklərin həllini yazmaqda səhvlərə yol verirl ər. Bu da əsas triqonometrik bərabərsizliklərlə birgüclü bəra- b ərsizlikləri düzgün yazmamaqla əlaqədardır. Bununla əlaqədar müəl- lifin [14] kitabından istifadə etmək olar. Səhvlər triqonmetrik funk- s iyaların və onların daxil olduğu bərabərsizliklərin əsas xassələri başa düşülmədiyi üçün yaranır. Yoxlamalarda buna kömək etmir. Aşağıda triqonometrik b ərabərsizliklərin son mərhələsinə, şagirdlərə xüsusi tər- tib edilmiş alqoritmik yazılışın köməyi ilə izah edilən, çatmağın ümumi metodikasını göstərək. 1) B
ərabərsizliyi tərəflərindən biri (məsələn sagtərəfi) sıfır olan şəklə gətirmək; 2) Bərabərsizliyin sol tərəfindəki funksiyanın sıfırlarını v ə kəsilmə nöqtələrini təyin etmək; 3) bütün tapılmalı nöqtələrin nümay əndələri olan nöqtələri vahid çevrə üzərində göstərmək; 4) Əvvəl alınmış ədədlərdən heç biri ilə üst-üstə düşməyən ixtiyari ϕ
ədədini 66
seçm ək (bərabərsizliyin sol tərəfindəki funksiyanın arqumentinin qiym əti; 5) Ox koordinat şüası ilə ϕ
bucağı əmələ gətirən OX /
şüasını ç əkmək; 6) OX /
K X yoxlama nöqt əsini almaq. Bunun üçün
ϕ
ədədini bərabərsizliyin sol tərəfində yerinə yazmaq və alınmış ifad ənin işarəsini təyin etmək. İfadə sıfırdan böyükdürsə, onda K X
nöqt əsi OX /
şüasının vahid çevrənin xaricində yerləşən ixtiyari nöqt
əsidir, əks halda K X h əmin OX /
şüasının vahid çevrənin daxilində yerl əşən ixtiyari nöqtəsidir. 7.
nöqt
əsindən başlayaraq vahid çevrə üzrə saat əqrəbinin əksinə hərəkət etməklə onu bütün qeyd olunmuş nöqtələrdə kəsən səlis x ətt keçirmək. Bütün nöqtələrdən keçməklə bu xətt K X nöqt
əsinə qa- yıtmalıdır; 8) Çəkilmiş xəttin əmələ gətirdiyi fiqur kombinasiyasının la- zımı hissələrini seçmək. Bunun üçün bərabərsizliyin sol tərəfindəki ifad
ə sıfırdan böyükdürsə, onda fiqurun vahid çevrə xaricindəki hiss
əsini, əks halda fiqurun vahid çevrə daxilindəki hissəsini götürməli. 9) vahid çevr ənin götürülmüş hissələrə düşən qövslərinin müsbət istiqam
ətlərini oxlarla qeyd etmək. Bu qövslər bərabərsizliyin həlləri çoxluğuna uyğundur. Həllin sonunda alınmış əsas triqonometrik bəra- b ərsizliklərlə birgüclü bərabərsizlik, yəni əsas bərabərsizliyin həlli ya- zılır. Deyil
ənlər müvafiq çalışmalarla möhkəmləndirildikdə ümumiləş- dirm
ə başa çatmış olar. Belə misallar işin həcmini artırdığından onların üz ərində dayanmırıq. Baxılan üsulun nəzəri əsası belədir. Fərz edək ki, ( ) 0 > x f triqonometrik b ərabərsizlikdir, T isə x-in bütün seriyalarının yerl
əşdiyi ən kiçik düvrdür. (OX oxunun hissəsi)) Oxun bu hissəsində intervallar metodu üzr ə ( )
x f
funksiyasının işarə sabitliyi sxemini quraq. O, dalğavari xətt üzərində [ ]
T O;
parçasında olacaqdır. Uzun- luğu T olan çevrə götürək və onun üzərində [ ]
T O;
parçasını “qeyd ed ək”. Onda dalğavari xətt çevrəni “mənfi” hissəsi onun daxilində “müsb ət” hissəsi isə xaricində olmaqla bürüyər. Çevrə üzərində uzunluğu [ ] T T 2 , , [ ]
T 3 , 2 v ə s. olan parçaları OX oxunun müsbət hiss əsi boyunca “dolamağı” davam etsək mənzərə təkrar olunacaqdır. Triqonometrik b ərabərsizliklərin və tənliklərin həlləri seriyalarının birl əşdirilməsinə xüsusi diqqət vermək lazımdır. Bu şagirdlərdə ümu- 67
mil əşdirmə qabiliyyətini inkişaf etdirmək üçün yaxşı vasitədir. Triqo- nometrik t ənliyin həlləri seriyalarını ümumiləşdirmək [18]-də yaxşı verilmişdir. Odur ki, onun üzərində dayanmırıq.
Download 10.77 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|