Ə. A. Quliyev
Download 10.77 Mb. Pdf ko'rish
|
|
2.5.Bir neç ə konkret belə halları diqqətlə nəzərdən keçirdikdən sonra artıq ümumiləşdirmə aparmaq olar. F ərz edək ki, ,... ...,
, , 2 1 n a a a ard
ıcıllığı verilir və onun hədləri hər- hansı
l nöqt
əsi ətrafına toplanır. Bu o deməkdir ki, hər-hansı istənilən q ədər kiçicik müsbət ε
ədədi verilərsə elə nömrə tapmaq olar ki, ondan (bu nömr ədən) başlayaraq ardıcıllığın bütün hədləri ilə l -in f
ərqi ε - dan kiçik olar. H əndəsi dildə bu o deməkdir ki, n a nöqt
əsindən ( ε - dan asılı hər hansı
0 n nömr
əsindən başlayaraq) l nöqt
əsinə qədər məsafə ε -dan kiçikdir, y əni
ε < − l a n v ə ya ε ε + < < −
a l n
74
Bu b ərabərsizliyin aşağıdakı həndəsi mənası vardır: ( )
ε + − ∈ l l a n , , n a nöqt
əsi uzunluğu ε 2 ortası
l nöqt
əsində olan ( ) ε ε + − l l ,
parçasına daxildir. Burada
nöqt
əsinin ε
ətrafı anlayışını da daxil etmək yerinə düşər.
Bu anlayışdan istifadə etməklə ardıcıllığın hədlərinin l nöqt
əsi ətrafına “toplanması” adlandırdığımız vəziyyəti aşağıdakı kimi izah etm ək olar: l nöqt
əsinin istənilən qədər kiçik ε - ətrafında, ardıcıllığın h ər-hansı həddən başlayaraq, bütün hədləri, bu ətrafın xaricində isə ardıcıllığın həmişə sonlu sayda hədləri yerləşir. Beləliklə, ardıcıllığın limitinin m əlum tərifinə gəlirik və məntiqi-riyazi dildən istifadə etm
əklə bu tərifin aşağıdakı tam və dəqiq yazılışını alırıq: ( )( )( ) [ ] ε ε < − ⇒ > ∀ ∃ > ∀ ⇔ = l a n n n n l a n Df n 0 0 0 lim
.
T ərifin bu yazılışı l a n = lim t əklifinin inkarını (sadə qaydanın köməyi il ə) almağa imkan verir: ( )( )( )
[ ] ε ε ≥ − ∧ > ∃ ∀ > ∃ ⇔ ≠
a n n n n l a n n 0 0 0 lim
. Bu inkarlıqdan hər-hansı ədədin hər-hansı ardıcıllığın limiti olmasını yalana çıxarmaqda istifadə olunur. Məsələn, 1 1 2 lim
= +
n t
əklifinin yalan olduğunu göstərmək üçün 3 1
ε götürm
ək kifayətdir və hər hansı 0
götürdüks ə onda elə 0
n >
vardır ki, 3 1 1 2 1 ≥ + − n n . Biz ardıcıllığın limit i anlayışının daxil edilməsi metodikasına ona görə ətraflı baxdıq ki, m əhz bu birinci xüsusi halda “toplanma”, “yaxınlığında”, “ətraf” və s. i ntuitiv anlayışların riyaziləşdirilməsi həyata keçirilir. Bu anlayışlar funksiyanın limiti və kəsilməzliyi anlayışlarında da belə mühüm yer tutur. Funksiyanın limiti və kəsilməzliyi anlayışlarının daxil edilməsi- nin metodikası üzərində ətraflı dayanmayacağıq.
Sonsuzluqda funksiyanın limiti anlayışı ardıcıllığın limiti anla- yışının R çoxluğunda təyin olunmuş funksiya halı üçün sadə ümumiləş- dirilm
əsindən alınır: 75
( ) ( )( )( ) ( ) [ ] ε ε
− ⇒
∀ ∃ > ∀ ⇔ = ∞ →
x f x x x x l x f Df x 0 0 0 lim
Funksiyanın nöqtədə limitinə gəldikdə isə bu anlayışın daxil edil- m əsinə aid müxtəlif yanaşmalar vardır. 3.2.M əktəb təliminə yeni anlayış, göstərilən halda funksiyanın li- miti, daxil edildikd ə və bu anlayışın müxtəlif elmi şərhləri vardırsa, han sı nöqteyi nəzərin məktəb tədrisi üçün münasib olduğunu müəyyən etm ək məqsədi ilə onları müqayisəli təhlil etmək zərurəti yaranır. Funksiyanın nöqtədə limitinin iki ekvivalent tərifi – “Koşi mə- nada”, “Heyni m ənada” məlumdur. Birincidə “ δ ε − dili ” adlanandan, ikincid ə isə bilavasitə ardıcıllığın limitindən istifadə olunur. B əziləri “ δ ε
dilini ” şagirdlər üçün çətin hesab edirlər və funk- si yanın limitinə ardıcıllığın limiti vasitəsilə tərif verməyi məqsədə- uyğun sayırlar. Bu təriflərin məntiqi-riyazi dildə yazılması onların quruluşlarının çətinliyini müqayisə etməkdə və daha əsaslı seçməkdə biz ə kömək edir. Koşi mənada tərif: ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ε δ δ ε < − ⇒ < − ≠ ∀ > ∃ > ∀ ⇔ = →
x f a x a x x f b Df a x 0 0 lim
(1) Heyni m ənada tərif: ( ) { }
( ) { }
( ) ( ) [ ]
x f a x a x x f b n n n Df a x = ⇒ = ≠ ∀ ⇔ = → lim lim
lim (2)
Göründüyü kimi h ər iki tərifin mürəkkəb quruluşu vardır. (1) tərifi ardıcıllıqları mühüm olan, üç kvantorla başlayır. Məhz kvantorların ardıcıllığının pozulması tərifin yanlışlığına səbəb olur. I kurs tələbələri çox vaxt kvantorların yerini dəyişməklə funksiyanın limitinin tərifini ifad
ə edirlər ki, bu da qeyd etdiyimiz kimi səhv nəticəyə gəlməyə səbəb olur. Lakin bu c əhətdən (2) tərifi sadə deyil. Kvantorun { }
n x
ardıcıllığı üzr ə arqumentin qiymətinə aid olması az çətinliyə səbəb olmur. (2) t ərifində ardıcıllığın limiti tərifindən istifadə edilirsə, lakin (1) t ərifi öz quruluşuna görə ardıcıllığın limitinin tərifinə yaxındır. Bundan əlavə (1) tərifinin quruluşu funksiyanın kəsilməzliyinin tərifinin quru- luşu ilə üst-üstə düşür. (1) tərifində b
ədədini ( ) a f il
ə əvəz etmək və əlavə olaraq f
funksiyasının a x = üçün t əyin olmasını tələb etmək kifay
ətdir (bu da funksiyanı a nöqt
əsində limitinin varlığı üçün məc- buri deyil) v ə bununla biz funksiyanın nöqtədə kəsilməzliyinin tərifini alırıq. Habelə qeyd etmək lazımdır ki, (1) tərifi ətraf anlayışından 76
istifad ə etməklə funksiyanın limiti anlayışını həndəsi olaraq daha əyani göst ərməyə imkan verir. Oy oxu üzərində b nöqt
əsinin hər-hansı ε
ətrafını götürdükcə, Ox oxu üzərində a nöqt
əsinin elə δ
ətrafını tapa bil
ərik ki, (bilavasitə qurarıq), bu ətrafa “düşən” bütün x üçün funk- siyanın uyğun qiyməti b nöqt
əsinin ε
ətrafına düşür (başqa sözlə b - d ən ε -na nisb ətən az fərqlənir). “ δ ε − dilin ə” gəldikdə isə uyğun münasib çalışmalardan sonra şagirdlərə aydın olur. Bu çalışmaların köməyi ilə şagirdlər verilən ε
ə δ
− a
-dan
( ) ε
− b
- ın (və ya kəsilməzlik halında ( ) ( ) ε
− a
) alınması üçün δ -
ar. ε v ə δ - ətrafının həndəsi göstərişi ilə birlikdə bu çalışmalar “ δ ε − dilind ən” ona əlavə edilən ənənəvi anlaşılmazlığı kənar edir. Yuxarıda izah edilən mühakimədən istifadə edərək belə nəticəyə g əlmək olar ki, (1) tərifi məktəb təlimində üstün tutulmalıdır. 4. Funksiyanın kəsilməzliyi 4.1. Funksiyanın kəsilməzliyi haqqında intuitiv anlayışı bir tərəfdən bu xass əyə malik olan və olmayan funksiyaların qrafiklərini müşahidə etm əklə, digər tərəfdən isə arqumentin verilmiş təqribi qiymətləri üzrə funksiyanın təqribi qiymətini hesablamaq haqqında məsələdən istifadə etm
ək olar. 1) M
əsələn, R x x x f ∈ → , : 2 1 v ə { } 0 , 1 : 2 2 R x x x f ∈ → funksiyaların qrafiklərini müqayisə etməklə, müəyyən etmək olar ki, 1
funksiyası karandaşı kağızdan (və ya təbaşiri yazı taxtasından) ayırmadan çəkmək mümkün olan “bütöv”, “kəsilməz”, 2
funksi- yasının qrafikini isə belə çəkməni yerinə yetirmək mümkün olmayan “k əsilən” xətdir. 2 f
funksiyasının qrafiki üzrə soldan sağa hərəkət etdikdə çəkməni davam etdirm ək üçün karandaşı kağızdan ayırıb “tullanmaq” lazım g əlir.
Başqa növ kəsilməsi olan başqa qrafiklərə də baxmaq məqsədəuy- ğundur.
77
M əsələn,
( ) = ≠ = 0 , 0 0 , x x x x x f v
ə ya ( )
< ≥ + = 0 , 0 , 1 2 x x x x x f
funksiyalarının qrafikinə baxmaq olar. 2) T əqribi hesablama nöqteyi nəzərdən kəsilməzlik anlayışına yanaşma orta məktəbin riyaziyyat təmaüllü IX-X sinifləri üçün riyazi analiz üzr ə yazılmış tədris vəsaitində 1
yaxşı yerinə yetirilmişdir. Praktik olaraq kvadratın sahəsinin ölçülməsi məsələsi onun tərə- finin ölçülm əsi və alınmış ədədin kvadrata yüksəldilməsi məsələsinə g ətirilir. Lakin ölçmə zamanı xəta labüddür (başqa sözlə mütləq xətti alınır) Kvadratın tərəfini müxtəlif dəqiqliklə ölçməklə kvadratın sahəsi üçün d
ə müxtəlif dəqiqliklə qiymətlər alırıq. Bu zaman müəyyən edirik ki, t
ərəfin ölçülməsi xətası azaldıqca sahənin hesablanması xətası da azalır. Müxtəlif dəqiqlikdə bir neçə konkret hesablamalardan sonra intuitiv olaraq aydın olur ki, kvadratın tərəfini kifayət qədər az xəta ilə (kifay
ət qədər yüksək dəqiqliklə) ölçdükdə onun sahəsini istənilən q ədər az xəta ilə (istənilən qədər yüksək dəqiqliklə) hesablaya bilərik. Bu hadis ə nə ilə izah edilir? Mahiyy ət etibarı ilə biz burada arqumentin verilmiş təqribi qiy- m ətinə əsasən 2
=
funksiyanın təqribi qiymətini hesablamaq məsə- l əsini həll etdik və müəyyən etdik ki, arqument qiyməti az xəta ilə d əyişdikdə (az dəyişmə və ya x-in artımı) funksiyanın qiyməti də az x əta ilə dəyişir (y-in az artımı). Arqumentin kiçik artımının funksiyanın kiçik artımını alınmasına səbəb olması xassəsi funksiyanın, əyani olaraq onun qrafikinin k əsilməzliyini ifadə edən kəsilməzlik xassəsidir (k əsilməsi olmayan). Burada k əsilməzliyə verilən izahat aydındır ki, funksiyanın kəsil- m əzliyi riyazi anlayışının tərifi deyildir. Bu izahata “kiçik artım” kimi d əqiq mənası olmayan ifadə daxildir. Lakin bir daha qeyd edək ki, k əsilməzliyin “dəqiq olmayan” intuitiv izahı olmadan uyğun dəqiq ri- yazi anlayışı ifadə etmək olmaz.
1
пособие для IX-X классов средных школ с математической специали знаней. М., 1969 78
4.2. İndi funksiyanın intuitiv kəsilməzliyi anlayışının riyaziləşdiril- m əsinə başqa sözlə “f funksiyası 0 x nöqt
əsində (və ya 0
x =
olduqda) k əsilməyəndir” cümləsinin dəqiq mənasının izahını (və ya verilm əsinə) keçək. Biz artıq intuitiv səviyyədə müəyyən etdik. Bu o deməkdir ki: 0
- ın qiymətini kifayət qədər dəqiqliklə ölçdükdə ( ) 0
f - ı hesablama zamanı xətanı istənilən qədər kiçik etmək olar. 0
- ın qiyməti δ d
əqiqliklə ölçülmüşdürsə, onda bu o deməkdir ki,
x - in alınan təqribi qiyməti 0 x d əqiq qiymətdən (bu və ya digər tə- r əfə) fərqi δ -
δ < − 0 x x (t
əqribi x qiyməti dəqiq 0
qiym
ətindən böyük və ya kiçik ola bildiyindən 0
x − f ərqinin mütləq qiym
əti götürülür), bu zaman ölçmənin dəqiqliyi həmişə müsbətdir: 0 > δ . “ ( ) 0 x f - in hesablanması zamanı xətanı istənilən qədər kiçik etmək olar” ifad əsi o deməkdir ki, hər hansı 0 >
d əqiqliyi verilərsə verilsin, h əmişə ona nail olmaq mümkündür ki, ( ) ( ) ε
− 0
f x f “h
əmişə ona nail olmaq mümkündür ki, ( ) ( ) ε
− 0
f x f ” ifad
əsinin isə belə d əqiq mənası vardır: “həmişə elə 0 > δ tapmaq mümkündür ki, δ
− 0
x is
ə, onda ( ) ( )
ε < − 0 x f x f ”.
D əqiq olmayan ifadəni dəqiq ifadəyə belə köçürmək nəticəsində aşağıdakı tərifi alırıq: 1. f funksiyası 0
nöqt
əsində təyin olunmuşdursa 2. İxtiyari 0 >
üçün el ə 0 > δ tapmaq mümkündür ki, ixtiyari x üçün (f-in t əyin oblastından) δ
− 0 x x is
ə onda ( ) ( )
ε < − 0 x f x f , başqa sözlə ( )( )( ) ( ) ( )
[ ] ε δ δ ε < − ⇒ < − ∀ > ∃ > ∀ 0 0 0 0
f x f x x x
. f
funksiyası 0 x nöqt
əsində kəsilməyəndir. 4.3.K əsilməzliklə funksiyanın nöqtədə limiti arasındakı əlaqəni aydınlaşdırmaq lazımdır.
79
K əsilməzliyin tərifi ilə funksiyanın nöqtədə limitinin tərifinin (3.2 (1) t ərifi) qarşılaşdırılması ilə asanlıqla müəyyən etmək olur ki, funksiyanın nöqtədə kəsilməzliyi funksiyanın bu nöqtədə limitinin varlığını və limitin funksiyanın bu nöqtədə qiymətinə bərabər olmasını özün ə daxil edir. Sonuncuda bu nöqt ənin funksiyanın təyin oblastına daxil olması şərti implikasiya şəklində ifadə olunmuşdur (bu da limitin varlığı üçün m əcburi deyildir). Bel əliklə “ f
0 x nöqt
əsində kəsilməyəndir” (1) cümləsi üç cüml
ədən ibarət aşağıdakı konyuksiya ilə eynigüclüdür: “ f
0 x
nöqt əsində təyin olub” və “ f -in
0 x nöqt
əsində limiti vardır və ( ) ( )
0 0 lim x f x f x x ≡ → ” Burada (1) t əklifinin inkarı, yəni “
0 x nöqt
əsində kəsiləndir” t əklifi o deməkdir ki: “ f
0 x nöqt
əsində təyin olmayıb” və ya “ f -in
0
nöqt əsində limiti yoxdur” və ya “ ( ) ( ) 0 0 lim x f x f x x ≠ → ” Biz nöqt
ədə kəsilməyən funksiya anlayışı üçün tam müxtəlif əks misalları aldıq. Download 10.77 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|