Ə. A. Quliyev
Funksiyalar arasında məsafə (XI s)
Download 10.77 Mb. Pdf ko'rish
|
|
1.8. Funksiyalar arasında məsafə (XI s). Məktəbdə riyazi analizin elementl əri öyrənildiyindən burada funksiya anlayışı xüsusi yer tutur. Bununla əlaqədar olaraq müəllimin müasir riyazi analizin əsas anlayışları ilə daha dərindən tanışlığı zəruridir. Bu baxımdan əvvəlcə ümumiyy ətlə məsafə sonra isə onun ümumiləşdirməsi kimi funksiyalar arasındakı məsafə haqda müəyyən məlumatın şagirdlərə verilməsini m əqsədəuyğun sayırıq. “A və B şəhərləri arasında məsafə” konkret şərtdən asılı olaraq müxtəlif məna kəsb edir. Təyyarəçi bu məsafəni daha çox düz x ətt boyunca ölçür, maşının sürücüsü isə onu düz xətdən f ərqli şosse yolu hesab edir. Müstəvidə iki nöqtə arasındakı məsafə ( ) (
) 2 1 2 2 1 2 y y x x d − + − = (1) düsturu il ə hesablanır. Buna Evkilid 39
m əsafəsi deyilir. Bu məsafədən fərqli məsafəyə misal olaraq, düzgün planlaşdırılmış şəhərdə iki məntəqə arasındakı ən qısa yolla gedilən m əsafəni göstərmək olar. “A evindən B məktəbinə qədər 200 m sonra dön ərək 100 m get” riyazi olaraq o deməkdir ki, XOY koordinat müst əvisində, oxlar şəhərin küçələrinə iki istiqamətdə paralel olmaqla, ( ) 1 1 , y x A v
ə ( ) 2 2 , y x B nöqt
ələri arasındakı məsafə (Şəkil 1.) ( )
1 2 1 2 ,
y x x B A S − + − = (2) düsturu il ə hesablanır. Göstərilən nöqt
ələr arasındakı məsafə dedikdə 1 2 x x − v ə 1 2 y y −
ədədlərindən ən böyüyünü, yəni ( ) {
1 2 1 2 , max , y y x x B A m − − = (3) götürm əyin münasibliyi halları da vardır. Buna isə çox vaxt Minkovski məsafəsi deyilir. (1), (2), (3) düsturlarına analoji olaraq üç ölçülü fəzanın ( ) 1 1 1 , ,
y x A v ə ( ) 2 2 2 , , z y x B nöqt
ələri arasındakı ( ) ( ) ( ) B A m B A S B A d , , , , , m əsafələri daxil edilə bilər. Müst əvinin və fəzanın nöqtələri arasında hər hansı ( )
ρ
m əsafəsi müəyyəndirsə, onda göstərilən məsafələr mənada “dairələrə v ə kürələrə” baxmaq olar: m m əsafəsi mənada mər- k əzi
0 A nöqt
əsində ra- diusu r olan dair ə müstəvi üz ərində mərkəzi 0 A nöq-
t əsində və koordinat oxla- rına paralel tərəflərinin uzun
luğu 2r olan kvadrat, m ərkəzi 0 A nöqt
əsində olan kür
ə isə mərkəzi 0
nöqt
əsində və koordinat ox larına paralel tillərinin uzunluğu 2r olan kubdur. d məsafəsinə görə dairə və kürə elə onların özüdür. S m əsafəsinə görə dairə və kürənin nədən ibarət olmasını mü əyyənləşdirməyi şagirdlərə tapşırmaq olar. Şagirdlərin diqqətini nöqt ələr arasındakı məsafə ilə yanaşı, nöqtələr çoxluqlarının, məsələn, əyrilərin, xüsusi halda funksiyaların qrafikləri arasındakı məsafənin hesablanmasına yönəltmək maraqlıdır. Bu zaman hər bir əyriyə və ya funksiyaya vahid obyekt, əyrilər və funksiyalar çoxluğunun ünsürləri 40
kimi baxılır. Bu mənada funksiyaları yenidən “nöqtələr” adlandırmaq olar. Lakin bu adi üç ölçülü f əzanın deyil, mücərrəd funksional fəzanın nöqt
ələridir. Belə funksional fəzanın həndəsi xassələri bu fəzanın “nöqt
ələri” funksiyaları arasındakı məsafəni necə daxil etməkdən asılıdır. Yenə iki əyri arasındakı məsafənin daxil edilməsinin məq- s ədəuyğunluğunu nümayiş etdirən konkret misaldan başlayaq. Fərz ed ək ki, iki əyri xəritə üzərində, kanalla birləşdirmək lazım gələn, iki çayı təsvir edir. Belə hesab edək ki, kanal çayların ən çox yaxın olduqları yerdə çəkilməlidir. Göstərilən yanaşmada 1
v
ə 2
əyriləri arasındakı δ m əsafəsini belə hesablamaq məqsədəuyğundur: 1) düs- turu il
ə müxtəlif A və B nöqtələri arasındakı məsafənin hesablanmasına baxmalı, burada 1
∈ , 2 L B ∈ onlardan ən kiçiyini, yəni ( ) ( ) B A L L L B L A , min , 2 1 2 1 ∈ ∈ = δ (4) götürm əli.
1- ci şəkildə (4) düsturuna görə evklid məsafəsinin minimum olduğu 0
v ə 0 B nöqt
ələri göstərilir. (4) düsturu ilə müstəvi üzərində ixtiyari iki nöqt ələr çoxluğu arasındakı məsafəni təyin etmək olar, lakin bu ümumi halda min yerind ə inf yazılmalıdır, çünki ola bilər ki, minimuma çatılmaz. (4) –dən alınır ki, 1
v
ə 2
çoxluqlarının ortaq nöqt ələri vardırsa, onda ( )
, 2 1 = L L δ . Ümu- miyy ətlə bunun tərsi doğru deyil. Ox oxu ilə x y 1 = funksiyasının qrafiki arasındakı məsafəyə diqq ət etməklə bunu görmək olar. Lakin, çox vaxt baxılan haldan fərqli olaraq əyrilər heç yerdə bir- birind
ən aralanmırsa, yaxın hesab edilirlər. Əlbəttə bu ifad
əni bir qədər dəqiqləşdirmək lazımdır. Bu haqda bir q ədər sonra. Hələlik belə bir misala da baxaq. F
ərz edək ki, 1
v ə
L
əyriləri asfaltlanmış iki yolu t əsvir edir və bunları maşınla sulamaq lazımdır (Şəkil 2). Bunun üçün maşın quruluşuna gör
ə mərkəzi dayandığı nöqtədə olan R radiuslu dair
əni sulaya bilir. Maşının R təsir radiusu elə olmalıdır 2
əyrisi üzrə hərəkət etməklə 1 L
41
yolunu da sulaya bilsin. Ən kiçik belə radius 1
-in v ə
L -d
ən m əsafəsini xarakterizə edir. Bu məsafə riyazi olaraq necə ifadə olunur? 1 L
əyrisinin A nöqtəsini qeyd edək. Bu nöqtənin 2 L -in B nöqt əsindən sulanması üçün maşının təsir raidusu ( )
, - d ən kiçik olmamalıdır. Onun
2 L - in heç olmasa bir nöqt əsindən sulanması üçün maşının təsir radiusu
( ) ( ) 2 , min , 2
B B A d L A R ∈ = olmalıdır. B radius A nöqtəsinin d əyişməsi ilə dəyişir. Lakin 2 L -d ən bütün A nöqtələri sulanmalıdır. Bunun üçün müxt əlif A nöqtələri üçün tapılmış ( )
, L A R
radiuslarından ən böyüyü götürülməlidir. Bu isə 1 L
əyrisinin 2 L -d ən m əsafəsini göstərən axtarılan ifadədir, yəni ( )
1 , 2 1 ) , ( min
max ,
B L A B A d L L R ∈ ∈ = (5).
Eyni qayda il ə maşının 1
yolu boyunca h ərəkət etməklə 2
yolunu suladığı radiusu tapmaq olar: ( ) 1 2 , 1 2 ) , ( min
max ,
A L B B A d L L R ∈ ∈ = . Bir qayda olaraq ( ) 2 1 , L L R v ə ( ) 1 2 , L L R b ərabər deyil, yəni R məsa- f ələri
1 L v
ə 2
əyrilərinə nəzərən simmetrik deyil. Maşın iki yoldan hansı biri ilə gedirsə təsir radiusu elə olmalıdır ki, qonşu yolu sulaya bilsin, onda bu halda maşının hərəkətinin minumum təsir radiusu ( )
1 , L L R v ə ( ) 1 2 , L L R k əmiyyətlərindən ən böyüyü olacaqdır. ( ) ( ) ∈ ∈ ∈ ∈ = 1 2 2 1 2 1 , , min max , ) , ( min max max
, L A L B B A d L B L A B A d L L D (6) k
əmiyyəti 1
v ə
L
əyrilərinin bir-birindən qarşılıqlı uzaqlığını xarakterizə edir və 2 1 , L L - y ə nəzərən simmetrik məsafələrdir. Yalnız və yalnız 1
v ə
L
tamamı il ə üst-üstə düşdükdə ( )
, 2 1 = L L D . (Bunu (4) düsturu il ə daxil edilən m əsafə ilə müqayisə etməli). (6)-da fiqurlu mötərizədəki max və min, sup v ə inf ilə əvəz edilsə onda onu müstəvidə ixtiyari iki çoxluq arasındakı məsafəni ölçmək üçün tətbiq etmək olar. Bu anlayışın mü əllifi alman riyaziyyatçısı Hausdorfdur. Odur ki, ona Hausdorf m əsafəsi deyilir. (6) – da ( )
, -ni ( ) B A m , il ə əvəz etsək onda çox 42
vaxt Hausdorf – Evklid m əsafəsi adlanan ( )
1 , L L D - d
ən fərqli, 1
v ə
L
çoxluqları arasındakı Hausdorf-Minkovski məsafəsi adlanan başqa ( ) 2 1 , L L M Hausdorf m əsafəsini alırıq. Əyrilər arasında Hausdorf mə- saf
əsi anlayışının riyaziyyatda göstərilən tətbiqləri ilə yanaşı onun fak- tik t
ətbiqlərinə aid çoxlu misallar göstərmək olar. Şagirdlərin fizikadan tanış olduqları iki şüalı elektron assioloqrafın ekranında elektron siq- nallarının yaxınlığını qiymətləndirmədə hər hansı real cihazın xarak- teristikasının çıxarılmasında və s. Hausdorf məsafəsindən istifadə edilir ki, bu da ümumil əşdirmə ilə yanaşı fənlər arası əlaqə üçün də fay- dalıdır. Baxılan misallar belə fikir yaradır ki, funksiyalar arasındakı m əsafəni onların müstəvidəki qrafiklərindən ibarət uyğun əyrilər ara- sındakı məsafə kimi başa düşmək olar. Həqiqətən də çox vaxt belə edilir. Xüsusi halda əyrilər və çoxluqlar arasındakı yuxarıda baxılan m əsafə növlərindən funksiyalar arasındakı məsafəni ölçmək üçün də istifad ə edilə bilər. Lakin, məlumdur ki, funksiyanın qrafiki müstəvi üz ərində, x və y koordinatlarının rolu eyni olmayan, (x, y) nöqtələrinin spesifik çoxluğudur. Xatırlayaq ki, koordinat müstəvisində əyri və ya ümumiyy
ətlə nöqtələr çoxluğu hər hansı f funksiyasının qrafikidir, başqa sözlə yalnız və yalnız Ox oxunun hər bir x nöqtəsindən qal- dırılmış perpendikulyar bu çoxluğu birdən çox olmayan nöqtədə kəsirsə f funksiyası qrafik verilir. Bu zaman uyğun perpendikulyarların veril- miş qrafiklə kəsişməsi boş olmayan x-lər alınmış funksiyanın təyin oblastını əmələ gətirir. Funksiya üçün qrafiklərin göstərilən spesifik- liyin ə görə, ümumi halda müstəvi çoxluqlarına tətbiqi münasib ol- mayan, xüsusi m əsafə anlayışı da daxil edilir. Çox vaxt təyin oblastı ədədi çoxluqlar deyil, daha mürəkkəb təbiətli obyektlər olan ədədi funksiyalar arasındakı məsafəni ölçmək lazım gəlir. Bu halda qrafik anlayışı kifayət qədər mürəkkəbləşir və əvvəlki mühakimələr ümu- miyy
ətlə tətbiq olunmayan görünə bilər. [ ]
b a,
parçasında verilmiş iki k əsilməyən 1
v
ə 2
funksiyaları arasındakı məsafə daha ənənəvi ( ) [ ] ( )
( ) x f x f f f C b a x 2 1 , 2 1 max , − = ∈ (7) düsturu il ə təyin edilir. Məsafənin bel
ə verilmə üsulu təyin oblastı parçaya nisbətən daha mürəkkəb olan, h ətta arqumenti ədəd olmayan, funksiyalara tətbiq edilir. (7) ilə daxil edil ən məsafəyə bərabər ölçülü metrika deyilir. Riyaziyyatda məsafəyə, ümumiyy ətlə o, hər hansı xassəyə malikdirsə, metrika deyilir. Bu haqda sonra qeydimiz olacaqdır. Bu metrikaya ona görə bərabər ölçülü deyilir 43
ki, ( ) 2 1 , f f c
m əsafəsinin kiçikliyi eyni zamanda bütün ( )
( ) [ ]
b a x x f x f , , 2 1 ∈ − f
ərqlərinin dərhal kiçik olmasını göstərir. Bu m
əsafə simmetrikdir, yəni ( ) ( ) 1 2 2 1 , , f f c f f c = v ə yalnız və yalnız 2 1 , f f
funksiyaları eyniliklə sıfra bərabər olduqda o, sıfra bərabərdir. Üç ölçülü f əzaya analoji olaraq bütün kəsilməz və verilmiş [ ]
parçasında kəsilməyən ( ) x f funksiyalar “f əzasında” bərabər ölçülü metrikann köm əyi ilə “kürə” anlayışını daxil etmək olar. Belə ki: (7) m əsafəsi mənada verilmiş 0 f
funksiyasından r-dən çox olmayan məsa- f ədə yerləşən, yənibütün f-lər üçün ( )
f f c ≤ 0 , olan f funksi yaları çoxluğuna mərkəzi 0 f nöqt
əsində, başqa sözlə 0
funksi
yasında olan r radiuslu kür ə deyilir. Bu anlayışı h əndəsi şərh etmək çətin deyil. [ ] b a,
parça sının nöqtələrindən OX oxuna qal
dırılmış hər bir perpendikulyar üz ərində ucları bu perpendikulyarların 2 1 , f f funksi
yalarının qrafikləri ilə k əsişmə nöqtələrində olan parçaları göstərək (Şəkil 3). Belə parçalardan ən böyüyünün uzunluğunu 2 1 , f f funksiya ları arasındakı məsafə qəbul edirik. M ərkəzi 0
nöqt əsində olan r radiuslu kür əni uyğun olaraq belə al- maq olar: 0
funksiya sının qrafikini özün ə paralel r qədər yuxarı və aşağı ç əkək. Müstəvidə eni şaquli xətt üzrə 2r- ə bərabər əyri xətli zolaq alırıq (Şəkil 4). Qrafikləri bu zolaqdan k ənara çıxmayan bütün kəsilməz funksiyalar bax dığımız mərkəzi 0
nöqt əsində olan r radiuslu kürədir. 44
B ərabər ölçülü məsafəni Hausdorf metrikasının köməyi ilə ölçülən m əsafə ilə müqayisə etdikdə aydın olur ki, bəzi hallarda ikinci m əsafənin birinciyə nisbətən üstünlüyü vardır. 3-cü şəkildən görünür ki, qrafikl ərin dik hissələrində şaquli xətt üzrə onlar arasındakı, funksiyalar arasındakı bərabər ölçülü məsafəni də verən, məsafə bu funksiyalar arasındakı Hausdorf məsafəsinə nisbətən kifayət qədər böyük ola bil ər. Hələlik söhbət yalnız kəsilməyən funksiyalardan gedir. Hausdorf m əsafəsi bütün məhdud (o cümlədən kəsilən) verilmiş [ ]
par çasında təyin edilmiş funksiyalar üçün də münasib metrika daxil etm
ək imkanı yaradır. Səbəbi odur ki, bu halda funksiyalar arasındakı Hausdorf m əsafəsini onların qrafikləri arasındakı məsafə kimi deyil, nec
ə deyərlər tamamlanmış qrafikləri arasındakı məsafə kimi başa düşmək münasibdir. “Tamamlanmış qrafik” anlayışının mənasını izah etmək üçün
< − = > = 0 , 1 0 , 0 0 , 1
x x signx olduqda. Bu funksiyanın qrafiki (Şəkil 5) kəsilən əyridir. Lakin şagirdlər onu çox vaxt s əhvən 6-cı şəkildəki kimi təsvir edirlər. S əhv ondan ibarətdir ki, yeni əyri funksiyanın qrafiki ola bilməz, çünkü burada x=0 nöqtəsinə y-in bir qiym
əti deyil parçanın bütün nöqtələri qarşı qoyulmuşdur. Lakin səhvin psixoloji s əbəbi onunla əlaqədardır ki, bütün qrafiklər karandaşı kağızdan ayırmadan çəkilməlidir. Burada “tamamlanmış qrafik” anlayışının dəqiq tərifi, ixtiyari funksiya üçün deyil yalnız birinci növ kəsilməsi olan, başqa sözlə hər bir 0
nöqt əsində
0 x x → is ə sağ və sol tərəfli limiti olan funksiyalar üçün y əni ( )
x f x x x x ) ( 0 0 lim < → v ə ( )
x f x x x x ) ( 0 0 lim > → limitl əri varsa, göstərilir. Bu limitl
ər uyğun olaraq ( ) 0 0 + x f v
ə ( ) 0 0 − x f il
ə işarə edilir. Yalnız və 45
yalnız ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 x f x f x f = − = + olduqda ( ) 0
f
funksiyası 0 x
nöqt əsində kəsilməyəndir. Kəsilmə nöqtələrində isə ( ) 0 0 − x f , ( ) 0 0 + x f limitl
ərindən heç birisi, xüsusən, ( )
0 x f il
ə üst-üstə düşməyə bilər. Hər hansı [ ]
, 0 ∈
nöqt əsi götürək və ( )
( ) ( ) (
) { } 0 , 0 , max
0 0 0 0 + − = x f x f x f x M , ( ) ( ) ( ) (
) { } 0 , 0 , min
0 0 0 0 + − = x f x f x f x m
işarə edək. 0 x k
əsilmə nöqt
əsidirsə, onda ( )
x f
funksiyasının qrafikinin ucları ( ) ( ) 0 0 , x m x v ə ( ) ( ) 0 0 , x M x nöqt
ələrində olan şaquli parça ilə tamamlayırıq. K əsilməzlik nöqtələrində tamamlanmanın bu üsulu qrafiki d əyişmir. Nəticədə müs- t əvidə alınmış nöqtələr çoxluğu baxılan funksiyanın tamlanmış qrafiki olur. 7 a şə- klind
ə hər hansı kəsilən funksiyanın qra- fiki 7 b – d ə isə tamlanmış qrafiki göstə- rilir. K
əsilməyən funksiyalar üçün tamam- lan
mış qrafik adi qrafiklə eynidir. Tamamlanmış qrafikin tərifindən alınır ki, Ox oxuna perpendikulyar hər bir düz x
ətt ya onu kəsmir, yaxud nöqtəyə 46
çevril ə bilən qapalı parça üzrə kəsir. Lakin belə xassəyə malik hər bir çoxluq h ər hansı funksiyanın tamamlanmış qrafiki olmaz. Məsələn, 8-ci şəkildə göstərilən xaçvari çoxluq heç bir funksiyanın tamamlayıcı qrafiki deyil. İndi belə bir tərif vermək olar: 1
v ə 2 f
funksiyalarının tamamlanmış qrafikləri arasındakı Hausdorf məsafəsinə onların arasında Hausdorf məsafəsi deyilir. Adi qrafiklə yanaşı tamamlanmış qrafikd ən istifadənin məqsədəuyğunluğu kəsilən funksiyanı təqribən k əsilməyən qəbul etdikdə meydana çıxır. Yenə signx funksiyasına baxaq. Bunu h ər hansı mənada yaxın olduğu kəsilməyən funksiya ilə əvəz etmək istədikdə təbii ki, onun sıçrayışı dik xətlə, lakin kəsilməz qalxma il ə, “əvəz edilir”, yəni ( )
x ε ϕ funskiyasına (Şəkil 9) baxılır. Aşkardır ki, ε n ə qədər kiçik olarsa ( )
x ε ϕ o q ədər signx-ə yaxın olar. Lakin bununla signx funksiyasının adi qrafiki Hausdorf məsafəsi m ənada ε ∀ üçün ( ) x ε ϕ funksiyasının qrafikindən uzaq olacaqdır. Çünki ( )
x ε ϕ funksiyasının qrafiki üzərində signx funksiyasından m əsafəsi
2 1 - d ən böyük və ya bərabər nöqtə vardır. Eyni zamanda 0 → ε da signx funks iyasının tamamlanmış qrafiki ilə ( )
x ε ϕ funksi- ya sının qrafiki arasındakı Hausdorf məsafəsi sıfra yaxınlaşacaqdır. Funk siyalar arasında məsafənin daha bir, inteqral və ya Lebeq metrikası adlanan, verilm ə üsuluna toxunaq: ( )
( ) ∫ − = b a dx x f x f f f J 2 1 2 1 , (8). Bu t ərifdən görü- nür ki, ( ) 2 1 , f f J h
əndəsi olaraq
2 1 , f f funksiya- la rının qrafikləri və a x = , b x = nöqt ələ- rind
ən Ox oxuna qaldı- rılmış perpendikulyar- ların əmələ gətirdiyi müst
əvi fiqurun sahə- 47
sind ən ibarətdir (Şəkil 10). Aşkardır ki, bərabər ölçülü məsafə mənada yaxın olan funksiyalar inteqral metrikası mənada da yaxındır, lakin tərsi doğru deyil. ( )
1 , f f J -in
əvvəlcədən veril- miş kiçik müsbət d ədədindən kiçik ol- ması və eyni za- manda h ər hansı [ ] b a x , 0 ∈
nöqt ə- sind
ə ( )
( ) x f x f 2 1 −
f ərqinin əvvəlcə- d ən verilmiş böyük müsb ət D ədədinə b ərabər olması üçün iki k əsilməz
2 1 , f f
funksiyalarının qrafikini neçə çəkmək lazım gəldiyini asablıqla hiss etm ək olar. Lakin inteqral metrikası mənada iki funksiyanın ya- xınlığı [ ]
b a,
parçasının əksər nöqtələrində hər halda ( ) ( )
x f x f 2 1 −
f ərqinin kiçikliyinə təminat verir; daha doğrusu ( )
x f 1 - i ( ) x f 2 - d ən nisb
ətən çox fərqlənirsə onda bu yalnız nisbətən az davamda yaranan [ ]
b a x , ∈ nöqt ələri çoxluğunda ödənir. Ümumiyyətlə iki funksiya arasındakı inteqral məsafəsinin kiçikliyindən onlar arasındakı Hausdorf m əsafəsinin kiçikliyi alınmır. Habelə, Hausdorf məsafəsi kiçikdirsə, onda inteqral m əsafəsinin də kiçik olması məcburi deyil. Yuxarıda daxil edil ən məsafə anlayışlarının bəzi ümumi cəhətlərini də göstərək. Qeyd etdik ki, (5) halında ( ) 2 1 , L L R m
əsafəsi simmetrik deyil. Lakin bu müst
əsna haldır. Qalan bütün hallarda 1
v ə
X elementl əri arasındakı məsafə (ümumi halda onu ( ) 2 1 , X X ρ il ə işarə edirik) ( ) ( ) 1 2 2 1 , , X X X X ρ ρ = (9) xass əsini ödəyir. Məsafə anlayışının t ətbiqi üçün başqa bir xassə olduqca mühümdür: ixtiyari üç 3 2 1 , ,
X X elementl əri üçün ( ) ( ) ( ) 3 2 3 1 2 1 , , ,
X X X X X ρ ρ ρ + ≤ (10). Bu xass ə üçbucaq bərabərsizliyi adlanır. Ona görə ki, ən sadə halda müst əvinin nöqtələri arasındakı məsafə (1) düsturu ilə verildikdə,
48
bu xass ə belə bir faktı ifadə edir ki, təpələri 3 2
, ,
X X nöqt
ələrində olan üçbucağın bir tərəfinin uzunluğu qalan iki tərəfin uzunluqları c əmini aşmır. (10) xassəsini (4) düsturu ilə veriləndən başqa yuxarıda göst ərilən bütün məsafələr ödəyir. Nəhayət məsafənin daha bir xassəsi bel ədir: Yalnız və yalnız 2 1
X = olduqda ( ) 0 , 2 1 = X X ρ (11). Bu xass əni yuxarıda daxil edilən məsafələrin üçündən başqa qalanları öd əyir. Belə ki, artıq qeyd etdiyimiz kimi həmin xassə (4) məsafəsində habel ə inteqral metrikasında yoxdur. Buna inanmaq üçün bütün [ ]
, ∈ üçün
( ) 0 1 = x f
v ə ( )
= ≤ ≤ = olduqda x olduqda x x f 1 , 1 1 0 , 0 2 funksiyalar arasındakı məsafəyə baxmaq olar. Hausdorf məsafəsinə bütün müst əvilər ailəsində baxılarsa bu xassə burada da ödənilmir. M əsələn, hər hansı sərhədsiz və sərhədli iki eyni dairə arasındakı m əsafə sıfra bərabərdir. Lakin Hausdorf metrikasına yalnız qapalı, yəni t ərkibinə bütün sərhəd nöqtələri də daxil olan çoxluqlar sinifində ba- xılarsa o (11) xassəsini ödəyir. İnteqral metrikası isə baxılan [ ]
b a,
parçasında kəsilməyən funksiyalar sinfində, habelə daha geniş funksi- yalar sinfind ə, tərəflərdən birində hər bir [ ]
, ∈ nöqt əsində (mə- s ələn sağda) bir tərəfli kəsilməyən funksiyalar sinfində (11) xassəsini öd əyir. Beləliklə, ρ m
əsafəsində (11) xassəsinin olması təkcə onun daxil edilm əsi üsulundan deyil, habelə ρ - un baxıldığı elementlər çox- luğundan asılıdır. Deməyəsən, ρ m
xass ələri, elementləri arasındakı məsafə müəyyən edilən, məzmunlu ümumi çoxluqlar n əzəriyyəsini qurmaq üçün kifayətdir. H ər bir
2 1 , X X cütl
əri arasında (9), (10), (11) xassələrini ödəyən m ənfi olmayan ( ) 2 1 , X X ρ m əsafəsi təyin edilən ixtiyari təbiətli ünsür- l ərin M çoxluğuna (məsələn, müstəvinin nöqtələri çoxluğu, funksiyalar çoxluğu, əyrilər çoxluğu) metrik fəza, ρ - m əsafəsinə isə bu fəzanın metrikası deyilir. Metrik fəza anlayışı funksional analizdə, müasir funksional n əzəriyyəsində, topologiyada, riyazi fizikada və digər riyazi elml ərdə mühüm yer tutur. Download 10.77 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|