Ə. A. Quliyev

1.4.  İnformatikada  kəmiyyət  anlayışı.  Bu  kursun  başlanğıcında 

“k

əmiyyətlərlə işləmə alqoritmləri” mövzusuna baxılır. Burada “kəmiy-

y

ətlər” mövzusunu öyrənərkən  şagirdlərin fizika və  riyaziyyat kursla-

rında  bu  haqda  aldıqları  biliklərdən istifadə  etmək  lazımdır.  İnforma-

tika, fizika v

ə  riyaziyyat  kurslarında  istifadə  edilən kəmiyyətlərin 

xüsusiyy

ətlərinə diqqət vermək məqsədəuyğundur.  

Fizika v

ə  riyaziyyatda  əsasən  ədədi kəmiyyətlərə  baxılır.  Bunlar 

is

ə iki qrupa bölünür: Vektorial və skalyar. Odur ki, çox vaxt şagird-

l

ərdə belə təsəvvür yaranır: kəmiyyəti həmişə ölçmək mümkündür. Par-

 

24 

çanın uzunluğu, fiqurun sahəsi və həcmi, cismin hərəkət sürəti, qüvvə 

v

ə s. bunlar şagirdlərin tanıdıqları kəmiyyətlərdir. İnformatikanın öyrə-

nilm

əsi  zamanı  kəmiyyət  anlayışını  genişləndirmək  lazım  gəlir. Yeni 

anlamda k

əmiyyət təkcə ədədi deyil, qrafiklər, mətnlər, həndəsi fiqur-

lar, ümumiyy

ətlə  müxtəlif təbiətli obyektlər də  kəmiyyətdir. Belə  kə-

miyy

ətlərə  baxmağın  zəruriliyi kompüterin müxtəlif  informasiyaların 

işləməkdə  hərtərəfli  imkanların  olması  ilə  əlaqədardır.  Bu  informasi-

yalar xüsusi halda 

ədədlər (ədədi kəmiyyətlər), qrafiklər (qrafik kəmiy-

y

ətlər), mətinlər (liter kəmiyyətlər) ola bilər.  Ədədi kəmiyyətlər ara-

sındakı  münasibətlər (kiçikdir, böyükdür, bərabərdir)  şagirdlərə  cəbr 

kursundan m

əlumdur, liter kəmiyyətlər  arasındakı  münasibətlər isə 

m

əktəblilər üçün yenidir. Qiymətləri sözlər və ya mətnlər olan kəmiy-

y

ətlər liter kəmiyyətlər  adlanır.  Şagirdlər sözlərlə  və  ya münasibət 

işarələri ilə  (

y

x

x

b

a

≠

=

>

,

0

,

 

v

ə  s.) ifadə  edilmiş  münasibətlərə 

bax

dıqdan sonra dəyişən kəmiyyətlər  arasındakı  münasibət  anlayışı 

ümumil

əşdirmə nəticəsində yaranır. Belə ümumiləşdirmə üçün “infor-

matika” v

ə “riyaziyyat” fənlərinin sıx əlaqəli öyrənilməsini məqsədəuy-

ğun hesab edirəm. Şagirdlər “casio” firmasının yeni təhsil kalkulyator-

la

rından istifadə etməyi bacarmalıdırlar.  

1.5. Fermanın kiçik teoremi (X s). Asanlıqla isbat etmək olar ki, 

...

,

,

,

5

3

2

n

n

n

n

n

n

−

−

−

  f

ərqləri  uyğun  olaraq  2,  3,  5,  ...  sadə 

ədədlərinə bölünür. Fermanın məlum kiçik teoremini həmin sadə çalış-

ma

ların ümumiləşdirilməsi kimi daxil etmək olar: 

n

n

m

−

 f

ərqi ixtiyari 

N

n

∈

 v

ə ixtiyari sadə m ədədi üçün m-ə bölünür. Teoremin isbatında 

n üzr

ə  riyazi indukiya mtodundan istifadə  etmək olar. Belə  ki, n=0 

olduqda hökm doğrudur. n=k üçün teoremin doğruluğunu qəbul edək. 

Onda 

nA

S

S

k

k

+

=

+1

, burada A –  tam 

ədəddir, Nyuton binomunun 

açılışından  istifadə  etməklə  bunu  asanlıqla  əsaslandırmaq  olar.  Be-

l

əliklə tələb ediləni alırıq. Bu teoremdən belə bir nəticədə alınır: n və p 

ədədləri qarşılıqlı sadədirsə, onda 

1

1

−

−

p

n

  ifad

əsi p-yə bölünür. Doğ-

rudan da 

(

)

1

1

−

=

−

−

p

p

n

n

n

n

 -d

ən bu aydın görünür.  

1.6.  İnteqral  (XI  s).  Keçmiş  sovet  dövründə  istifadə  etdiyimiz 

d

ərslikdə [15] “qeyri müəyyən inteqral” istilahı heç bir yerdə işlədilmir, 

( )

∫

b

a

dx

x

f

 (1) “mü

əyyən inteqrala” isə sadəcə inteqral deyilir və ibtidai 

 

25 

funksiyanın 

( ) ( )

a

F

b

F

−

 

artımı  kimi  tərif verilir. Həmin vəsaitin 

1976-

cı  il  nəşrində  məcburi olmayan 104-cü bənddə  və  tarixdən 

m

əlumatda (b107), habelə  1991-ci il nəşrinin  əyrixətli  trapesiyanın 

sah

əsi  (b29)  anlayışı  və  tarixi məlumatla  əlaqədar  inteqralın  cəmin 

limiti kimi alına bilməsindən danışılır. Hazırkı dərslikdə “qeyri-müəy-

y

ən inteqral” işlənir. Lakin əsas fikir qalır. İşə belə yanaşma ali mək-

t

əbdə  illərdən bəri  olan  yanaşmadan  fərqlənir. Odur ki, A.N.Koloqo-

rovun m

əktəb üçün münasib hesab etdiyi bu ideyaya etiraz edənlər də 

olmuşdur.  Məsələn  Doneski Dövlət Universitetinin bir qrup elmi 

işçiləri “Cəbr və  analizin  başlanğıcı”  dərsliyində  “inteqral” mövzusu-

nun şərhini ətraflı təhlil edərək aşağıdakı nəticələrə gəlmişlər. 

1) Mövzunun öyr

ədilməsində məqsəd şagirdləri diferensiallamanın 

t

ərsi olan ibtidai funksiya və  müəyyən inteqral əməliyyatları  ilə  tanış 

etm

ək olmalıdır. Bu anlayışlar, onların mahiyyətini, müasir təbiətşünas-

lıqda yerini göstərməklə, az sayda hesablamalarla möhkəmləndirməklə, 

d

əqiq verilməlidir. 2) Dərslikdə  ibtidai  funksiya  anlayışı  yaxşı  şərh 

edilmişdir.  Yalnız  müəllif qeyri müəyyən  inteqral  istilahından  istifadə 

etmir. 

( )

∫

dx

x

f

 

işarəsinin köməyi ilə  ibtidai  funksiyanın  xassələrini 

asanlıqla  ifadə  etmək və  hesablanmasını  göstərmək olar. Zənnimizcə 

h

əmin istilahı XI sinifdə daxil etmək mümkündür. 3) Müəyyən inteqral 

anlayışı nəzəri və metodik cəhətdən təminedici verilməmişdir. Məlum-

dur ki, mü

əyyən  inteqralın  mahiyyəti inteqral cəmində  limitə  keç-

m

əkdən ibarətdir. Məktəbdə  də  əsas tərif belə  verilməlidir. Çünki bu 

t

ərif inteqral anlayışının mahiyyətini ifadə edir, riyazi anlayışların təc-

rüb

ənin tələbi nəticəsində  necə  yarandığını  göstərir,  terminologiyanı 

(integrtio)  v

ə 

( )

∫

b

a

dx

x

f

 

işarəsini izah edir, inteqralın tətbiqi üzrə məz-

munlu m

əsələlərin əksəriyyətinin həlli belə təriflə əlaqədardır. Baxılan 

v

əsaitdə isə əksinə: müəyyən inteqralın mənası haqqında düzgün təsəv-

vür verilmir, onun mahiyy

əti açılmır, nəzəri olaraq ciddi deyil, birbaşa 

t

əcrübəyə  tətbiq  üçün  yaxşı  uyğunlaşdırılmamışdır.  Hər dəfə  Nyuton-

Leybni

s  düsturunun  isbatına  yaxın  mühakimə  aparmaq  lazım  gəlir. 

“İnteqral  tipdə” bir çox məsələləri  (ağırlıq  mərkəzinin  tapılması, 

fırlanma fiqurların səthinin sahəsi və s.) dərslikdə təklif edilən sxemlə 

 

26 

daxil etm

ək olduqca çətindir; bu tərifdə, elementlərini 

( )

∫

b

a

dx

x

f

  -in 

daxil edilm

əsilə sinifdən kənar məşğələdə vermək mümkün olan, ikiqat 

v

ə əyri xətli inteqrallara ümumiləşdirməyə demək olar ki, imkan yarat-

mır.  Müəlliflər  mövzunu  aşağıdakı  sxemdə  şərh etməyi məsləhət 

bilirl

ər: 1) İbtidai funksiya; 2) qeyri-müəyyən inteqral; 3) müəyyən in-

teqrala g

ətirilən məsələlər; 4) inteqral cəmin limiti kimi; 5) inteq-

rallanan funksiyalar sinfi; 6) Nyuton-Leybnis teoreminin ifad

əsi; 7) 

( )

∫

b

a

dx

x

f

-

in hesablanması və onun tətbiqləri; 8) Əyri xətli trapesiyanın 

sah

əsi,  yuxarı  sərhəddi dəyişən inteqral, Nyuton-Leybnis  teoreminin 

isbatı;  9)  İnteqralın  hesablanmasının  üç  qaydası  və  bunlara  aid  çalış-

malar h

əlli. 

Bu sxemd

ə ümumiləşdirməyə nisbətən xüsusiləşdirməyə daha çox 

üstünlük verilir. Lakin A.N.Kolmoqorovun onlara verdiyi cavabdan 

görünür ki, o ümumil

əşdirməyə xüsusi diqqət vermişdir. İndi bu nöq-

teyi n

əzərə baxaq.  

1)  İbtidai  funksiya  və  qeyri-müəyyən inteqral “Qeyri-müəyyən 

inteqral”  anlayışı  riyazi  istilahlara  hazırda  verilən tələblərdən uzaq 

dövrl

ərdə  yaranmışdır.  Anlaşılmazlıq  ali  məktəblərin  hazırkı  dərslik-

l

ərində  də  qalır.  Çox  vaxt  ibtidai  funksiyada  qeyri-müəyyən inteqral 

deyilir. B

əzən bunun əvəzində bütün ibtidai funksiyaların ümumi şəkli 

olan 

( )

C

x

F

+

  ifad

əsinə  (F ibtidai funksiyalardan biridir) 

( )

∫

dx

x

f

 

(2) qeyri mü

əyyən inteqralı  deyilir.  Göründüyü  kimi  sonuncu  halda 

ibtidai  funksiyalar  çoxluğu  əvəzində  yeganə  bir ifadənin  alındığı 

n

əzərdə tutulur. Nahaq belə ümumiləşdirmə aparılır, çünki həmin tərifə 

əsaslandıqda iki müxtəlif 

(

)

C

x

+

−

2

1

 v

ə 

C

x

x

+

− 2

2

 ifad

ələrinin hər 

ikisi eyni bir 

( ) (

)

1

2

−

= x

x

f

  funksiya

sının  “qeyri  müəyyən  inteqralı” 

olar. Şübhəsiz (2) hesablamalarda ixtiyari ibtidai funksiyanın işarəsi kimi 

faydalıdır.  O,  “additiv  sabitə  qədər dəqiqliklə”  aparılan  hesablamalarda 

yararlıdır. Lazımı şərtləşmə ilə 

(

)

∫

∫

+

−

=

−

=

C

x

x

dx

x

x

xdx

1

ln

ln

ln

 

yazılışı  doğrudur.  Lakin  nəzərə  almaq  lazımdır  ki,  buradakı  bərabərlik 

“additiv sabit

ə  qədər dəqiqliklə  bərabərlik”  kimi  başa  düşülür  və 

( )

x

x

f

ln

=

-

in bütün ibtidai funksiyalarını almaq üçün yalnız axırda C 

 

27 

sabiti  yazılır.  Lakin  hazırda  məktəbdə  “çoxqiymətli  funksiya”  işarə-

sind

ən istifadə  edilmir. Məsələn,  əvvəllər kvadrat kökün 

 

işarəsi 

bel

ə  idi.  “İbtidai  funksiyanın  tapılması  çoxqiymətli  əməliyyat üçün 

işarə daxil etməkdə xüsusi izahat tələb olunardı bunu, məktəbdə ibtidai 

funksiyaların hesablanmasında cəld texnikanı mənimsətmək tələb olun-

ma

dığından, artıq hesab edirik. Bu zaman “qeyri müəyyən inteqralın” 

sad

əcə ibtidai funksiyanın başqa adı olduğunu, (2) işarəsinin isə hesab-

lamalarda işlədilməsi üsullarını izah etməklə ixtiyari ibtidai funksiyanın 

yazılışı olması fikrinə əsaslanmağı lazım bilirik. 

2) T

ərifin seçilməsinə  gəldikdə  bilmək  lazımdır  ki,  şagirdlər sis-

tematik olaraq riyaziyyatda eyni bir anlayışın müxtəlif tərifləri ola bil-

diyini anlamalıdırlar. Odur ki, (1) inteqralına ibtidai, funksiyanın artımı 

v

ə  cəmin  limiti  kimi  baxmağın,  zərərli  olmasını  demək  doğru  deyil. 

Mü

əllim isə  cəmin limitindən istifadə  olunmayan müəyyən inteqralın 

v

ə bilavasitə diferensiallama əməlinin tərsi kimi inkişaf edən inteqral-

lamanın  geniş  ümumiləşdirmələri  olduğunu  bilməlidir.  İxtiyari  sayda 

ölçü-f

əzasında  və  ixtiyari 

µ

  ölçüsünd

ə 

( )

( )

∫

=

A

dx

x

f

A

F

 

inteqralına 

tör

əməsi 

( )

dx

dF

x

f

=

  olan additiv funksi

yalar  çoxluğu  kimi  tərif 

verm

ək  olar.  İnteqral  anlayışının  ən ümumi vəziyyətdə  belə  yanaşma 

tex

nikası  üzərində  dayanmağa  ehtiyac  yoxdur.  Tamamı  ilə  elementar 

şəkildə  ali texniki məktəblər  üçün  baxılan  törəmə  sahəsində  additiv 

funksiyalar kimi çoxqat inteqrallar daxil edil

ə bilər. Məsələn, A.F.Ber-

man

tın analiz kursunda belə yanaşma vardır. 

İnteqrala  cəmin limiti və  törəməsi  verilmiş  additiv  funksiya  kimi 

bax

maq  olar.  Bu  inteqral  anlayışının  iki  eyni  mənalı  cəhətləridir. Bir 

ölçülü halda v

ə ikinci konsepsiya parçasında məhdudlaşmada (1) inteq-

ralının ibtidai funksiyanın artımı kimi tərifini alırıq. İnteqral anlayışının 

t

ərifinin  əsaslandırılması  bu  deyilənlərlə  əlaqədardır.  İnteqral  cəminin 

limitin

ə keçmək yanaşması kimi dərslikdəki ibtidai funksiyanın artımı 

kimi veril

ən tərifindən  ilk  addım  olaraq  gələcəyi  vardır.  Belə  yanaş-

mada  inteqralın  əsas xassələri olduqca sadəliklə  isbat  edilir.  İnteqrala 

c

əmin limiti kimi baxmağı şagirdlərə öyrətmək məsləhətdir. İnteqralın 

t

ətbiqləri ilə əlaqədar dəyişən qüvvənin işi üçün düsturun çıxarılışı ona 

c

əmin limiti kimi baxmaq nöqteyi nəzərdən  verilir.  Aşkardır  ki,  bu 

düsturu  inteqralın  ibtidai  funksiyanın  artımı  kimi  tərifinə  əsasən sahə 

 

28 

düsturunun çıxarılması nümunəsi üzrə də almaq olar. Dərslikdəki fizika 

v

ə mexanikadan götürülmüş digər məsələlər üçün də işə belə yanaşmaq 

mümkündür. D

ərsliyin  son  variantında  baxılan  mövzu  bu  ardıcıllıqda 

izah edilir: ibtidai funksiya onun 

əsas xassələri və tapılmasının üç qay-

dası, əyrixətli trapesiyanın sahəsi, inteqral cəmin limiti kimi, Nyuton-

Leybnis düsturu, inteqralın tətbiqləri, tarixi məlumat. Beləliklə əsas tən-

qidi qeydl

ər və ümumiləşdirmə . 

3) K

əsilməyən  funksiyanın  inteqrallanması  haqda.  İbtidai  funksi-

yanın  artımı  kimi  (1)  müəyyən  inteqralı  kəsilməyən  funksiya  halında 

inteqral c

əminin limiti tərifi ilə birgüclüdür.  

Bir t

ərəfdən Rimana görə  inteqrallanmayan dəqiq törəmə  vardır. 

Onun üz

ərində, ümumiyyətlə  yalnız  Danjua  inteqralının  köməyi ilə, 

ibtidai funksiya additiv sabit

ə  qədər birqiymətli bərpa olunur. Digər 

t

ərəfdən Rimana görə  inteqrallanan, dəqiq törəməsi olmayan, funk-

siyalar vardır. İki tərif arasında uzlaşmanın elementar vasitələrlə bərpa 

olunan k

əsilən funksiyalar sinfini göstərək. Bu sonlu sayda kəsilməsi 

olan birinci növ funksiyalardır. Bir çox elementar məsələlərin həlli ilə 

əlaqədar belə funksiya yaranır. Məsələn [16]-da 

( ) ( )

x

f

x

F

=

′

 b

ərabər-

liyini, sonlu sayda nöqt

ələr çoxluğu müstəsna olmaqla, ödəyən ixtiyari 

k

əsilməz  F  funksiyasına  f  funksiyasının  ümumiləşdirilmiş  ibtidai 

funksiyası deyil. (1) inteqralına ümumiləşdirilmiş ibtidai funksiyasının 

artımı  kimi  tərif  verilir.  Diferensial  anlayışının  öyrənilməsi  zamanı 

inteqralın daxil edilməsi üçün müəyyən hazırlıq görmək və bu zaman 

müqayis

ədən istifadə etmək mümkündür. Diferensiallanmanın öyrənil-

m

əsi  zamanı,  inteqrallama  haqqında  heç  nə  demədən, müəyyən  çalış-

malardan istifad

ə etməklə, bu haqda hazırlıq işi aparmaq olar. Bununla 

da XI sinifd

ə  “inteqral”ın  öyrənilməsi üçün zəruri  olan  bacarıq  və 

v

ərdişlər yaradılır. X sinifdə qüvvət funksiyasının törəməsi ilə əlaqədar: 

“h

ər hansı funksiyanın törəməsi 2x-dir, bu funksiyanı tapın” kimi tapşırıqlar 

verm

ək məqsədəuyğundur. Bu zaman 

( )

′

=

x

2

 

yazılışından istifadə etmək 

olar. 

( )

( )

( )

′

=

′

=

′

=

x

x

x

5

;

1

;

3

2

2

 

yazılışları  ilə  analoji  çalışmalar 

t

ərtib edilə bilər. Triqonometrik funksiyaların törəməsi ilə əlaqədar olan bu iş 

davam etdirilir: 

( )

( )

( )

′

=

′

=

′

=

x

x

x

3

sin

;

sin

;

cos

 v

ə s. Belə çalış-

malar tör

əmənin öyrənilməsi üzrə  məşğələlərin müxtəlifliyini təmin 

edir,  düşüncənin  inkişafına  səbəb  olur,  başlıcası  inteqrallama  işinə 

 

29 

şagirdləri  hazırlayır.  “İbtidai  funksiya”  istilahı  da  asanlıqla  mənimsə-

nilir. 

4) M

əktəbdə 

( )

∫

b

a

dx

x

f

 mü

əyyən inteqral anlayışına əsasən 

b

a

<

 

halında  baxılır.  İndi  bu  anlayışı  ümumiləşdirək və  tərifə  əsasən 

( )

0

=

∫

b

a

dx

x

f

, 

b

a

>

  olduqda 

( )

( )

∫

∫

−

=

a

b

b

a

dx

x

f

dx

x

f

  yazmaq olar. 

Bu t

əbiidir, çünki, oturacağı bir 

a

 nöqt

əsindən ibarət əyrixətli trapesiyanın 

sah

əsi  sıfra  bərabərdir. 

a

  v

ə 

b

  nöqt

ələri yerlərini dəyişdikdə  isə 

k

k

k

x

x

x

−

=

∆

+1

  f

ərqinin  işarəsi dəyişir,  odur  ki,  inteqralın  da  işarəsi 

d

əyişir.  Fərz edək ki, 

( )

x

f

y

=

 

funksiyası 

[ ]

b

a,

 

parçasında  kəsilmə-

y

əndir və 

c 

bu 

parçanın 

daxili 

nöqtəsidir. Onda 

( )

( )

( )

∫

∫

∫

+

=

b

c

c

a

b

a

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

  b

ərabərliyi  doğrudur. 

c

b

a ,

,

  nöq-

t

ələrinin ixtiyari vəziyyətində bu bərabərlik ödənilir. Məsələn, 

c

b

a

<

<

 

is

ə  onda 

( )

( )

( )

( )

( )

∫

∫

∫

∫

∫

−

=

+

=

b

c

b

a

c

b

b

a

c

a

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

. 

Odur ki, 

( )

( )

( )

∫

∫

∫

+

=

b

c

c

a

b

a

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

. Eyni qayda il

ə qalan hallar 

araşdırılır.  İbtidai  funksiyaya  aid  məsələ  həlli ilə  əlaqədar  şagirdlərin 

diqq

ətini bir çox ümumiləşdirmələrə  yönəltmək olar. Dərslikdəki [3] 

m

ətində həlli ilə verilən 5, sonra çalışma kimi təqdim olunan 35/, 352 N li 

m

əsələlər  bu  baxımdan  maraqlıdır.  Bundan  əlavə  ibtidai  funksiyanın 

( )

C

x

F

+

 

şəkildə yazılışı C-in tamamı ilə konkret, lakin ixtiyari qiymətlər 

ala bilm

əsini göstərir.  Riyazi  analiz  kursunda  f  funksiyasının  bütün 

ibtidai funksiyaları çoxluğuna sonra daxil edilən müəyyən inteqraldan 

f

ərqli olaraq f-in qeyri müəyyən inteqralı deyilir. Məktəb riyaziyyatında 

is

ə “ibtidai funksiya” istilahı işlədilir. Beləliklə, baxılan mövzunun öy-

r

ənilməsi zamanı müəyyən inteqralın qeyri müəyyən inteqralın (ibtidai 

funksiyanın)  xüsusi  halı  olmasına  şagirdlərin diqqətini cəlb etmək 

lazımdır.  Ümumi  və  xüsusi  halları  şagirdlərə  öyrətmək üçün inteqral 

 

30 

hesabından  və  diferensial tənliklərin həlli nümunələrindən istifadə  et-

m

ək məqsədəuyğundur.